張博俊， 劉占超， 劉剛

(1.北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院， 北京 100191； 2.北京航空航天大學(xué) 前沿科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新研究院，北京 100191)

可重復(fù)使用運載火箭(reusable launch vehicle,RLVs)垂直回收任務(wù)是目前運載火箭軌道設(shè)計領(lǐng)域最復(fù)雜、約束最多的一類任務(wù)[1]。一個典型的RLVs陸地垂直回收過程的真空飛行段先后經(jīng)歷轉(zhuǎn)彎段、滑行段、減速段3個飛行段[2]，改變RLVs速度方向使RLVs飛向著陸點方向。在火箭上升段飛行期間，由于箭體、飛行環(huán)境等因素影響，將積累大量的飛行偏差，若采用分段制導(dǎo)的方式，則轉(zhuǎn)彎段的制導(dǎo)壓力過大，不利于制導(dǎo)參數(shù)設(shè)計。針對這種情況，統(tǒng)籌考慮轉(zhuǎn)彎段、滑行段、減速段RLVs的飛行特點、制導(dǎo)需求，將這3段視為一個整體的邏輯上的飛行段，稱之為飛回段，并使用統(tǒng)一的制導(dǎo)算法。通過這種方式，釋放單個飛行段制導(dǎo)壓力，避免了轉(zhuǎn)彎段、減速段需要裝訂多段制導(dǎo)參數(shù)或者使用不同制導(dǎo)算法的情況。由于垂直回收任務(wù)的推進劑限制，在軌道設(shè)計階段，往往使用直接數(shù)值優(yōu)化算法來同時保證制導(dǎo)精度及推進劑最優(yōu)，如凸優(yōu)化算法[3-4]、偽譜法算法[5]和預(yù)測校正算法[6-8]等。盡管這些算法都是求解多約束最優(yōu)軌道的有效算法，但這些算法都需要多輪次的離散優(yōu)化過程，計算量大，難以應(yīng)用到飛行任務(wù)中，僅作為離線軌道設(shè)計。迭代制導(dǎo)(iterative guidance method，IGM)是一種廣泛應(yīng)用于國內(nèi)外各型運載火箭的真空飛行段的制導(dǎo)算法。文獻[9-15]分析了迭代制導(dǎo)算法各類改進。在此基礎(chǔ)上繼續(xù)開發(fā)適用于RLVs飛回段的制導(dǎo)算法是可行的，且有利于運載火箭的上升段、下降段制導(dǎo)算法的一體化設(shè)計。本文首先分析了RLVs飛回段制導(dǎo)算法設(shè)計難點和需求，針對轉(zhuǎn)彎段、減速段不同的速度方向需求重新推導(dǎo)了姿態(tài)角系數(shù)公式；推導(dǎo)了適用于滑行段的變推力迭代制導(dǎo)算法；推導(dǎo)了轉(zhuǎn)彎段目標速度修正公式。其次通過與預(yù)測校正制導(dǎo)算法進行對比，驗證了飛回段迭代制導(dǎo)算法的有效性。最后開展了初始較大偏差情況下的仿真分析。

1 飛回段迭代制導(dǎo)算法分析

1.1 迭代制導(dǎo)坐標系變更

上升段迭代制導(dǎo)建立在目標點軌道坐標系Os-εζη中，顯然不能用該坐標系來描述飛回段RLVs的運動狀態(tài)。為與上升段火箭的軌跡能夠更好地銜接，RLVs垂直回收任務(wù)一般采用發(fā)射坐標系來描述RLVs運動過程，飛回段迭代制導(dǎo)以發(fā)射坐標系作為基準。發(fā)射坐標系以運載火箭發(fā)射點為坐標原點，x軸指向射向方向，y軸指天，z軸為右手坐標系方向。本文所有公式推導(dǎo)皆基于發(fā)射坐標系，因此不再標出腳標。

在發(fā)射坐標系下 RLVs的飛回段運動方程為：

(1)

(2)

(3)

式中：x、y、z分別為RLVs在發(fā)射坐標系下的3個位置分量；gx、gy、gz分別為引力加速度在發(fā)射坐標系下的3個分量；a為RLVs的瞬時加速度；φ、ψ分別為RLVs在發(fā)射坐標系下控制變量的俯仰姿態(tài)角和偏航姿態(tài)角，姿態(tài)角公式同傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)算法：

(4)

(5)

傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)采用軌道坐標系有效簡化了軌道根數(shù)與飛回段終點的速度、位置之間的非線性關(guān)系，在RLVs垂直回收任務(wù)中，對飛回段終點的速度、位置有著明確的約束，可基于約束直接求解姿態(tài)角φ、ψ。由此可見，當(dāng)變更飛回段迭代制導(dǎo)坐標系后，相關(guān)思路及公式可以繼續(xù)使用。

1.2 飛回段制導(dǎo)算法需求分析

RLVs的上升段、飛回段主要在發(fā)射系射面內(nèi)飛行，側(cè)向速度、位置較小，主要速度增量需求集中在發(fā)射系x和y軸，圖1顯示了RLVs飛回段在射面內(nèi)的速度變化情況。

圖1 RLVs飛回段速度曲線Fig.1 RLVs flyback phase velocity curves

結(jié)合RLVs真空飛行段飛行軌跡及圖1中所示的速度曲線，RLVs飛回段有以下幾個特點：

1)RLVs飛回段速度曲線如圖1所示，轉(zhuǎn)彎段、減速段速度增量需求方向不同，在轉(zhuǎn)彎段不能直接計算到減速段終點的速度需求，需要對傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)算法進行一定的修改；

2)初始速度、位置與飛回段終點速度、位置相差巨大，連續(xù)動力轉(zhuǎn)向方案難以同時滿足速度、位置約束，必須采用帶滑行段的動力切換方案；

3)RLVs基于運載火箭傳統(tǒng)構(gòu)型設(shè)計，火箭發(fā)動機僅能進行開關(guān)控制，控制變量僅有俯仰、偏航姿態(tài)角。單一動力飛行段難以同時滿足本段速度、位置約束，因此需要對飛回段整體進行制導(dǎo)方案設(shè)計，通過將不同約束分配到各個飛行段的方法滿足整體制導(dǎo)精度需求。

2 飛回段迭代制導(dǎo)算法

2.1 發(fā)射系迭代制導(dǎo)公式

2.1.1 偏航方向

在算法計算瞬時，運載火箭的總加速度公式為：

(6)

對z軸積分并將小角度假設(shè)引入到積分公式中，積分1次：

(7)

積分2次：

(8)

式(6)、(7)中各階積分公式為：

(9)

(10)

(11)

(12)

定義z軸速度需求為：

(13)

位置需求為：

(14)

將式(13)、(14)代入到式(7)、(8)并整理，可以得到偏航姿態(tài)角系數(shù)公式：

(15)

2.1.2 俯仰方向

參照式(13)、(14)，定義x軸速度、位置需求公式為：

(16)

(17)

同理，定義y軸速度、位置需求公式為：

(18)

(19)

分別x、y軸進行2次積分，并代入式(16)～(19)可以得到：

(20)

(21)

(22)

(23)

式中：

(24)

其中：

(25)

(26)

(27)

聯(lián)立式(20)、(21)，得到基于x軸的俯仰姿態(tài)角系數(shù)方程：

(28)

聯(lián)立式(22)、(23)，得到基于y軸的俯仰姿態(tài)角系數(shù)方程：

(29)

2套姿態(tài)角系數(shù)方程的主要區(qū)別是分母項不同，由圖2可知，在轉(zhuǎn)彎段速度增量需求主要為x軸負方向，俯仰姿態(tài)角接近-180°，由于三角函數(shù)的特點，該段只能使用式(29)。同理，在減速段只能使用式(28)。

2.1.3 剩余飛行時間迭代

由于迭代制導(dǎo)剩余飛行時間tf是由視加速度及速度需求共同決定的，與坐標系無關(guān)，剩余飛行時間修正公式同原迭代制導(dǎo)：

(30)

式中Δv為根據(jù)目標速度及平均重力計算得出的速度需求。

2.2 變推力迭代制導(dǎo)公式

定義轉(zhuǎn)彎段飛行時間為tt，標稱軌道滑行段飛行時間為tg，則在tt時間點RLVs從正常推力狀態(tài)切換到某一指定節(jié)流幅度PSW，不同推力節(jié)流情況下的τ為：

(31)

對于RLVs陸地垂直回收任務(wù)，滑行段為無推力狀態(tài)，式(31)中PSW在分母項，不能為0，可以設(shè)定PSW=0.000 1，即接近于0也不會造成計算錯誤。

將式(8)按照2段動力模式重新進行推導(dǎo)：

(32)

式中Lu和Ll分別是高低推力工況下的積分公式，同理可得其他各項的2段積分公式：

It=Iu+Il+Lltt

(33)

(34)

St=Sl+Su+Lutg

(35)

Qt=Qu+Ql+Iutg+Sltt

(36)

(37)

用式(32)～(37)代替式(15)～(17)、(26)方程中對應(yīng)的積分項，則可以得到多段動力情況下的迭代制導(dǎo)姿態(tài)角系數(shù)方程和剩余飛行時間方程。

2.3 轉(zhuǎn)彎段目標速度修正

由1.2節(jié)分析可知，由于RLVs基于運載火箭傳統(tǒng)構(gòu)型設(shè)計，單一動力飛行段難以同時滿足速度、位置6個約束。由RLVs飛回段動力切換方案可知，轉(zhuǎn)彎段的主要目標是調(diào)整水平速度方向，使RLVs滑行段軌跡近似拋物線，“投”向減速段起點。在飛回段初始較大位置偏差的情況下，若依然要求轉(zhuǎn)彎段速度約束為標稱軌道設(shè)計值，將會造成RLVs滑行段飛行軌跡的大幅平移，難以達到減速段起點。

針對該情況，需要對轉(zhuǎn)彎段迭代制導(dǎo)目標速度進行在線修正，通過分別預(yù)估RLVs在各坐標軸的位移需求的方式，反算目標速度修正量。

定義xt、yt、zt分別為減速段起點位置約束，忽略姿態(tài)角小量，并對式(1)進行2次積分，得到：

(38)

若保證RLVs經(jīng)過滑行段后能準確到達減速段起點位置，則轉(zhuǎn)彎段終點的x軸速度修正量為：

(39)

同理，可得y、z軸速度修正量公式：

(40)

(41)

(42)

(43)

通過式(39)、(41)、(43)的速度修正，解放了轉(zhuǎn)彎段的制導(dǎo)能力，將初始位置偏差轉(zhuǎn)換為速度增量需求，保證RLVs經(jīng)過滑行段飛行后，能夠抵達指定位置，并由減速段修正全部速度增量需求。

2.4 飛回段制導(dǎo)算法流程

由圖1可知，轉(zhuǎn)彎段、減速段速度增量需求方向不同，由2.1.2節(jié)分析可知，在轉(zhuǎn)彎段和減速段使用的俯仰姿態(tài)角系數(shù)計算公式不同。

因此，在整個飛回段迭代制導(dǎo)算法中，將采取雙迭代目標以及俯仰姿態(tài)角系數(shù)計算公式切換的方法實現(xiàn)RLVs不同飛行階段的制導(dǎo)需求：在轉(zhuǎn)彎段，設(shè)置推力低工況時間同滑行段飛行時間tg，制導(dǎo)目標是減速段的起點，使用式(29)計算俯仰姿態(tài)角系數(shù)；在減速段，設(shè)置推力低工況時間為0，設(shè)置制導(dǎo)目標為減速段終點，使用式(28)計算俯仰姿態(tài)角系數(shù)。算法流程圖如圖2所示。

通過以上分析可以看出，飛回段迭代制導(dǎo)算法僅需更改制導(dǎo)目標及低工況工作時間即可實現(xiàn)不同飛行階段的制導(dǎo)需求，算法結(jié)構(gòu)清晰、簡單，便于箭上計算機實現(xiàn)。

3 仿真校驗

以某型號RLVs陸地垂直回收任務(wù)為例，對本文提出的飛回段迭代制導(dǎo)算法進行驗證。并與預(yù)測校正制導(dǎo)算法的進行對比。需要注意的是，預(yù)測校正制導(dǎo)算法是對RLVs垂直回收任務(wù)飛行軌道的全程進行優(yōu)化，在本次對比中截取了飛回段對應(yīng)的姿態(tài)角及飛行軌跡。

3.1 姿態(tài)角輸出對比

為合理對比2類制導(dǎo)算法的輸出情況，分析本算法的有效性，在輸入偏差范圍內(nèi)，隨機生成1 000組偏差，并分別開展仿真，在同偏差輸入情況下開展比較分析。預(yù)測校正制導(dǎo)算法為從RLVs分離后到著陸的整體軌道優(yōu)化，從中截取飛回段制導(dǎo)結(jié)果。由于RLVs主要在射面內(nèi)飛行且偏航姿態(tài)角較小，因此主要分析俯仰姿態(tài)角輸出的正確性。

圖3中畫出了2類制導(dǎo)算法的轉(zhuǎn)彎段俯仰姿態(tài)角曲線。預(yù)測校正制導(dǎo)算法通過工作時間滿足x軸速度需求，輸出俯仰姿態(tài)角保持-180°；飛回段迭代制導(dǎo)算法修正初始偏差，并計算滑行段位移對轉(zhuǎn)彎段目標速度修正，輸出俯仰姿態(tài)角略有角度。

圖4中畫出了兩類制導(dǎo)算法的減速段俯仰姿態(tài)角曲線。預(yù)測校正制導(dǎo)算法采用零攻角減速策略，因此輸出姿態(tài)角略呈弧形；飛回段迭代制導(dǎo)算法采用線性程序角策略，輸出姿態(tài)角呈線性，但兩者間差距較小。

3.2 單條偏差軌道仿真結(jié)果對比

2類制導(dǎo)算法在同一初始偏差下的仿真結(jié)果與標稱軌道的對比見表1。

圖2 RLVs飛回段制導(dǎo)算法流程Fig.2 RLVs flyback phase guidance algorithm process

圖3 RLVs轉(zhuǎn)彎段俯仰姿態(tài)角曲線Fig.3 RLVs turning phase pitch angle curves

圖4 RLVs減速段俯仰姿態(tài)角曲線Fig.4 RLVs deceleration phase pitch angle curves

表1 仿真結(jié)果分析Table 1 Analysis of simulation result

可見，飛回段迭代制導(dǎo)算法可將轉(zhuǎn)彎段、滑行段、減速段作為一個邏輯飛行段統(tǒng)籌考慮，具有較高的制導(dǎo)精度。

3.3 仿真結(jié)果分析

為更好地校驗制導(dǎo)算法的魯棒性和準確性，進行了1 000次蒙特卡洛打靶仿真計算。輸入偏差情況見表2。其中速度、位置偏差按照隨機矢量方向加入到初始偏差。

圖5、6中顯示了RLVs在飛回段制導(dǎo)算法導(dǎo)引下從較大的起始速度、位置偏差飛行至指定目標點的飛行軌道，算法收斂效果較好。

經(jīng)過統(tǒng)計分析，減速段終點的RLVs速度、位置與目標值的偏差的均值、方差情況見表3。

表2 輸入偏差值Table 2 Input deviation values

圖5 RLVs飛回段制導(dǎo)軌道位置曲線Fig.5 RLVs flyback phase guidance trajectory position curve

圖6 RLVs飛回段制導(dǎo)軌道速度曲線Fig.6 RLVs flyback phase guidance trajectory velocity curve

表3 仿真結(jié)果Table 3 Simulation results

為驗證飛回段迭代制導(dǎo)的計算效率，同步使用預(yù)測校正制導(dǎo)算法對同樣的1 000組偏差開展了仿真分析，計算時間對比見表4。

表4 仿真時間Table 4 The simulation time

可見，經(jīng)過飛回段迭代制導(dǎo)算法的修正，在較大的飛回段初始偏差的情況下，制導(dǎo)算法實現(xiàn)了精確的跨飛行段段制導(dǎo)，仿真結(jié)果表明算法除y軸位置偏差較大外，具有較高的制導(dǎo)精度。

y軸位置偏差產(chǎn)生的原因是，在轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)算法計算減速段起點的y軸速度修正量時，使用了平均重力加速度，也就是式(39)、(40)。從圖6可以看出，由于RLVs滑行段飛行時間長、高度變化大，重力存在一定的變化，使用平均重力假設(shè)將造成一定的方法誤差，進而造成y軸位置偏差較大。在減速段時，由于RLVs控制方法限制，無法修正y軸位置偏差。

由于y軸位置偏差主要體現(xiàn)在高度偏差上,對于RLVs垂直回收任務(wù)，約束較為寬松。因此帶有動力切換的飛回段迭代制導(dǎo)算法滿足RLVs垂直回收任務(wù)的制導(dǎo)要求。

4 結(jié)論

1)通過論證、分析，轉(zhuǎn)彎段、滑行段、減速段作為一個整體邏輯飛行段并配備統(tǒng)一構(gòu)架的制導(dǎo)算法的思路是可行的，對初始偏差較大的RLVs垂直回收任務(wù)具有較好適應(yīng)性。

2)通過仿真分析驗證了飛回段迭代制導(dǎo)算法在較大初始偏差情況下的制導(dǎo)效果，統(tǒng)計結(jié)果表明飛回段迭代制導(dǎo)算法計算時間少、精度高、魯棒性強。

本文提出的飛回段迭代制導(dǎo)算法基于平均重力假設(shè)開展算法設(shè)計，除高度偏差較大外，能夠嚴格約束垂直方向速度偏差，以及水平方向速度、位置偏差，整體符合垂直回收再入要求，具有較好的工程實用價值。后續(xù)將進一步在非平均重力情況下開展算法研究，實現(xiàn)對再入點約束的全面滿足。