汪學(xué)清汪壯壯王建華

1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院,北京 100083;2.深海礦產(chǎn)資源開發(fā)利用國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南長(zhǎng)沙 410012

噴射混凝土施工是將混凝土在高壓空氣作用下高速噴向土層表面形成面層,對(duì)基坑邊坡土體起臨時(shí)保護(hù)和加固作用的一項(xiàng)基坑支護(hù)技術(shù),具有工藝簡(jiǎn)單、施工靈活、快速高效等優(yōu)點(diǎn)[1-3]。 隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,該項(xiàng)技術(shù)在大量的地下工程中得到了廣泛的應(yīng)用。 雖然國(guó)內(nèi)外對(duì)其已進(jìn)行一些研究,但對(duì)面層的工作機(jī)理和受力分析的研究還比較少,沒有形成一套較完整的理論體系。

面層的主要作用有承受水土壓力、土釘、錨桿端部拉力、地面超載引起的荷載以及限制土體坍塌等,所以對(duì)面層的受力分析和設(shè)計(jì)非常重要。 現(xiàn)行規(guī)范中面層的施工和設(shè)計(jì)方法多采取經(jīng)驗(yàn)方法,將面層設(shè)計(jì)按構(gòu)造處理[4-6]。 德國(guó)有的工程按85%主動(dòng)土壓力設(shè)計(jì)永久支護(hù)面層,法國(guó)提出按土釘拉力30% ～40% 設(shè)計(jì)面層[7]。 王立峰等[8-9]把土釘墻面層簡(jiǎn)化為文克爾地基上的有限長(zhǎng)梁,通過結(jié)構(gòu)力學(xué)方法推導(dǎo)了土釘墻面層位移和內(nèi)力的解析解,發(fā)現(xiàn)面層的位移和彎矩隨基坑開挖深度的增加呈現(xiàn)出中間大兩頭小的分布特征。 楊茜等[10-11]針對(duì)止水帷幕與土釘聯(lián)合支護(hù)技術(shù),提出了可用無限長(zhǎng)彈性地基梁模型分別對(duì)面層水平和豎直兩個(gè)方向的橫截面內(nèi)力進(jìn)行計(jì)算,并通過機(jī)動(dòng)位移確定外力矩的分析方法推導(dǎo)了面層內(nèi)力的計(jì)算公式。 季玉海[12]根據(jù)彈性梁理論推導(dǎo)出支護(hù)面層的計(jì)算公式,并通過實(shí)例對(duì)面層進(jìn)行了強(qiáng)度驗(yàn)算和設(shè)計(jì)。 成峰等[13]在提出有效下滑力概念的前提下,結(jié)合增量法對(duì)滑楔平衡法進(jìn)行改進(jìn),通過增量法+滑楔平衡法這種復(fù)合型算法計(jì)算得出土釘面層受力的結(jié)論,并與實(shí)測(cè)值進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。 何江飛[14]基于彈性地基梁的理論將面層簡(jiǎn)化成鋼筋混凝土板模型,通過混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理計(jì)算鋼筋混凝土板彎曲破壞和沖切破壞的極限承載力,推演出面層的受力情況,并利用有限元軟件ADINA 建立面層、土體和土釘相互作用的模型,探討了面層的作用機(jī)理,驗(yàn)證了所提出面層計(jì)算方法的正確性和合理性。趙勇[15]結(jié)合某微型樁復(fù)合土釘墻基坑支護(hù)工程,將面層簡(jiǎn)化為兩對(duì)邊簡(jiǎn)支的矩形板彎曲模型,計(jì)算了面層在土釘集中力和土體側(cè)向壓力共同作用下的彎矩和剪力。

上述文獻(xiàn)中,有的將面層轉(zhuǎn)化成彈性地基上的有限或無限長(zhǎng)梁來考慮,這忽略了面層的整體性且推導(dǎo)的公式計(jì)算過于復(fù)雜,不宜工程使用;有的雖考慮了面層的整體性,將其簡(jiǎn)化成混凝土板,卻僅僅提及了面層受力計(jì)算方法的理論依據(jù),沒給出實(shí)際工程面層設(shè)計(jì)所需的一般公式。 本文針對(duì)噴射混凝土這種基坑支護(hù)形式,研究支護(hù)面層在后方土壓作用下的內(nèi)力和變形的計(jì)算方法。 基于薄板小撓度彎曲理論和一定的假設(shè)條件及邊界條件,推導(dǎo)了適合實(shí)際工程計(jì)算面層撓度的簡(jiǎn)單公式,以及面層的橫向彎矩和縱向彎矩一般公式。 運(yùn)用推導(dǎo)的公式計(jì)算某基坑工程中面層的撓度值和彎矩值,并將理論計(jì)算值與FLAC3D數(shù)值模擬值進(jìn)行比較,驗(yàn)證了該公式的有效性,為類似基坑工程面層的設(shè)計(jì)提供借鑒。

1 薄板彎曲理論

板厚與板面內(nèi)最小特征尺寸之比在1/80 ～1/5之間的板稱為薄板[16]。 對(duì)于薄板,當(dāng)全部外荷載作用于中面而不發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象,可以將其作為平面應(yīng)力問題考慮;當(dāng)全部外荷載都垂直于中面時(shí),板主要產(chǎn)生彎曲變形。 由于薄板的厚度遠(yuǎn)小于薄板的平面尺寸,所以與梁彎曲的初等理論相似,完全可以略去某些非重要因素而引用一些能夠簡(jiǎn)化理論的假設(shè)[17]:

(1) 變形前垂直于薄板中面的法線在薄板變形后仍保持垂直。

(2) 垂直于薄板中面方向的正應(yīng)力σz在計(jì)算應(yīng)變時(shí)忽略不計(jì)。

(3) 薄板發(fā)生彎曲變形時(shí),中面內(nèi)各點(diǎn)只有垂直于薄板z方向位移,即撓度w,而無x和y方向的位移u和v。

滿足上述3 條基本假設(shè),根據(jù)薄板小撓度彎曲理論,四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板邊長(zhǎng)分別設(shè)為a和b,受到荷載q(x,y)的作用,如圖1 所示,其彈性力學(xué)邊界條件的聯(lián)立微分方程組為式(1)。 根據(jù)萊維重三角級(jí)數(shù)解,薄板撓度w表達(dá)式可以寫成式(2),不難驗(yàn)證,式(2)滿足了上述所有的邊界條件。

圖1 四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板Fig.1 Rectangular sheet simply supported on four sides

式中,m和n均為正整數(shù);Amn為系數(shù)項(xiàng)。

式(2)除了滿足邊界條件外,還需滿足薄板彎曲的基本方程,又稱彈性曲面微分方程[式(3)],故將式(2)代入微分方程式(3)得到級(jí)數(shù)方程式(4),此時(shí),系數(shù)Amn為求出具體撓度表達(dá)式的關(guān)鍵未知量。

式中,D為薄板的彎曲剛度;▽為拉普拉斯算子。

將式(4)等號(hào)左邊的級(jí)數(shù)項(xiàng)看成q(x,y)的展開式,將其等號(hào)兩邊同乘,然后分別對(duì)x和y從0 到a和從0 到b積分,并利用式(5)、式(6)三角函數(shù)的正交性即可得到系數(shù)Amn的表達(dá)式(7)。

將式(7)代入式(2),即可得出撓度w的具體表達(dá)式,繼而根據(jù)式(8)和式(9)可以求出薄板的橫向彎矩Mx和縱向彎矩My。

式中,μ為薄板的泊松比[17]。

2 一般公式的推導(dǎo)

為滿足彎曲變形的要求,本文研究的基坑面層需滿足以下的假設(shè)條件:

(1) 面層為均質(zhì)線彈性材料。

(2) 面層滿足薄板的基本特征,即面層厚度與面層的短邊的比值在1/80 ～1/5 之間。

(3) 面層與基坑邊坡土體為四邊簡(jiǎn)支的聯(lián)結(jié)方式。

(4) 面層垂直于基坑底面,且只考慮垂直于面層的側(cè)向土壓力作用。

基坑由于每次開挖均會(huì)造成開挖面的變化,而土壓力的大小和分布范圍也隨開挖面變化,在此僅討論基坑開挖噴射混凝土施工完畢后面層的受力狀態(tài)。為給出計(jì)算面層撓度和彎矩的一般公式,同樣設(shè)面層長(zhǎng)為a,寬(沿基坑深度方向)為b,計(jì)算所采用的坐標(biāo)系與圖1 一致。 根據(jù)庫倫土壓力理論,沿基坑水平向同深度處的土壓力均相等,此時(shí)面層所受的荷載q(x,y)可以看成只與y有關(guān)的線性函數(shù)。 在土的黏聚力c可忽略的情況下,荷載可以寫成式(10)。

式中,γ為土的重度;φ為土的內(nèi)摩擦角;y為土層深度。

將土壓力荷載q(x,y)代入式(7)可得到系數(shù)Amn的一般顯示表達(dá)式(11),再將得到的系數(shù)Amn代入撓度表達(dá)式(2),即可求得面層在土壓力作用下的撓度一般公式(12)。 由于式中含有級(jí)數(shù)項(xiàng)求和,不方便工程計(jì)算使用,因此需進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化。

式中,m=1,3,5,…;n=1,3,5,…;D0為面層的彎曲剛度。

在實(shí)際工程中,面層的設(shè)計(jì)往往更關(guān)注其最大撓度值。 根據(jù)面層撓度計(jì)算式(12)不難看出,最大撓度發(fā)生在面層的中點(diǎn),即x=a/2,y=b/2 處。 由于式(12)中級(jí)數(shù)項(xiàng)收斂很快,計(jì)算可知第二項(xiàng)值為第一項(xiàng)的1/729,第三項(xiàng)值為第一項(xiàng)的1/15 625,往后每項(xiàng)依次減小,故只保留第一項(xiàng)作為撓度的計(jì)算值。因此,面層在土壓力下任意一點(diǎn)的撓度計(jì)算可以簡(jiǎn)化為

面層最大撓度的計(jì)算公式為

式中,E0為面層的彈性模量;δ為面層的厚度;μ0為面層材料的泊松比。

同理,將式(12)代入彎矩表達(dá)式(8)和式(9),同樣級(jí)數(shù)項(xiàng)只取第一項(xiàng),即得到面層任意點(diǎn)處x和y方向的彎矩計(jì)算式(16)和式(17)。

3 數(shù)值模擬

3.1 工程概況

某6 m×6 m×6 m 的小型基坑工程采用噴射混凝土支護(hù)形式。 基坑每開挖1.5 m 對(duì)基坑邊坡土體進(jìn)行一次噴射混凝土層施工,施工完成后基坑的支護(hù)面層與基坑底面幾乎垂直。 采用的噴射混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30,支護(hù)面層厚度約為0.2 m。 基坑土層主要為砂土,土層及相關(guān)材料的物理力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 材料物理、力學(xué)參數(shù)Table 1 Physical and mechanical parameters of the materials

3.2 數(shù)值分析

采用有限差分?jǐn)?shù)值軟件FLAC3D對(duì)該基坑工程進(jìn)行模擬。 土層采用的是實(shí)體(Zone)單元,底邊固定,約束前后左右面的法向位移,頂邊為自由面。 由于實(shí)體單元在軟件后處理中無法提取彎曲應(yīng)力,故噴射混凝土面層選用殼(Shell)單元來代替。 用約束面層四周邊緣的法向位移及四個(gè)角點(diǎn)處y、z方向的位移,來近似模擬面層四邊簡(jiǎn)支的邊界條件,計(jì)算準(zhǔn)則采用Mohr-Coulomb。 模型計(jì)算前在面層上布置監(jiān)測(cè)點(diǎn),各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為面層中心點(diǎn)O(0,3 m,3 m)、1(0,3 m,4.5 m)、 2(0,4.5 m,3 m)、3(0,3 m,1.5 m)、4(0,1.5 m,3 m)、5(0,4.5 m,4.5 m)、6(0,4.5 m,1.5 m)、7(0,1.5 m,1.5 m)、8(0,1.5 m,4.5 m),如圖2 所示。 計(jì)算后通過Fish 命令查看面層各個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的撓度值和彎矩值,將其與推導(dǎo)的理論公式計(jì)算值進(jìn)行比較。

圖2 監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置Fig.2 Layout of monitoring points

圖3 為面層上各點(diǎn)的撓度云圖。 根據(jù)任意點(diǎn)撓度計(jì)算式(13)的結(jié)構(gòu)形式可知,撓度值的大小取決于分子的三角函數(shù)項(xiàng)。 因此,當(dāng)兩三角函數(shù)均取1 時(shí),撓度值最大,當(dāng)任意一個(gè)三角函數(shù)取0 時(shí),撓度值即為0。 從幾何角度看,凡過面層中心點(diǎn)O的水平線、豎直線及45°斜直線上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱坐標(biāo)位置處的撓度值應(yīng)相等,且中心點(diǎn)O處撓度值最大,圍繞著中心點(diǎn)O向面層邊界撓度逐漸減小到零。 這與數(shù)值模擬得到的面層撓度分布規(guī)律基本一致。

圖3 面層撓度云圖Fig.3 Deflection cloud diagram of surface layer

由于該基坑工程面層的長(zhǎng)度a與寬度b相等,所以Mx、My表達(dá)式相同,計(jì)算出的彎矩值相等。 經(jīng)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),面層彎矩Mx和My云圖也基本相同(圖4),進(jìn)一步證明了理論計(jì)算公式的正確性。 從彎矩計(jì)算公式的形式上看,彎矩的分布主要取決于式中正弦函數(shù)乘積項(xiàng)的取值,而彎矩云圖也基本符合公式的計(jì)算規(guī)律。 面層各監(jiān)測(cè)點(diǎn)撓度和彎矩隨時(shí)間步的監(jiān)測(cè)曲線如圖5、圖6所示。 可以看出,撓度值和彎矩值均隨著時(shí)間步先增大后減小,并最終穩(wěn)定在某一數(shù)值保持平衡。 提取模型計(jì)算平衡后的撓度值和彎矩值,并將其與推導(dǎo)的公式計(jì)算值對(duì)比分析。 各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的撓度及彎矩的計(jì)算值和模擬值以及兩者之間的相對(duì)誤差見表2 和表3。 對(duì)比發(fā)現(xiàn),撓度理論計(jì)算值與數(shù)值模擬值基本接近,最大差值為1.07 mm,其余監(jiān)測(cè)點(diǎn)誤差均在1 mm 以內(nèi),彎矩的理論計(jì)算值和數(shù)值模擬值誤差均在20% 以內(nèi)。 而在工程實(shí)際中,關(guān)注的是面層的最大撓度和最大彎矩值,通過理論計(jì)算和數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn),最大撓度和最大彎矩的誤差分別為6% 和13% ,滿足規(guī)范中誤差不超過15% 的要求。

表2 面層各點(diǎn)撓度的計(jì)算值和模擬值Table 2 Calculation and simulation values of the surface layer deflection

表3 面層各點(diǎn)彎矩的計(jì)算值和模擬值Table 3 Calculation and simulation values of the surface layer bending moment

圖4 面層彎矩云圖Fig.4 Bending moment cloud diagram of surface layer

圖5 撓度監(jiān)測(cè)曲線Fig.5 Deflection monitoring curves

從數(shù)值模擬結(jié)果可以看出:

(1) 面層的撓度、彎矩均是從中點(diǎn)向邊緣逐漸變小的,中點(diǎn)附近處撓度和彎矩最大,面層四周邊緣處撓度和彎矩基本為零,這與推導(dǎo)的公式計(jì)算結(jié)果規(guī)律一致。

(2) 數(shù)值模擬值與理論計(jì)算值得到的撓度和彎矩基本相近。 撓度誤差最大值為1.07 mm,最小只有0.02 mm,平均誤差為0.5 mm,而最大撓度值兩者之間相差0.5 mm,這完全滿足工程上的精度要求;彎矩誤差在0 ～20% 之間,最大彎矩值兩者誤差為13% ,平均誤差為12% 。 誤差可能與模型網(wǎng)格劃分、運(yùn)算過程中數(shù)值迭代產(chǎn)生的誤差及計(jì)算公式忽略的級(jí)數(shù)項(xiàng)等因素有關(guān)。

4 結(jié) 論

(1) 利用薄板小撓度彎曲模型對(duì)噴射混凝土支護(hù)面層的內(nèi)力和變形進(jìn)行分析計(jì)算是可行的。

(2) 通過理論推導(dǎo),得到了主動(dòng)土壓力下面層任意位置處撓度及x與y方向彎矩值的一般表達(dá)式,并用FLAC3D驗(yàn)證了公式的有效性,最大撓度和彎矩的計(jì)算值與模擬值之間誤差分別為6% 、13% 。

(3) 推導(dǎo)的式(15) ～式(17)可用于類似基坑支護(hù)工程面層的內(nèi)力和變形計(jì)算,為面層的設(shè)計(jì)提供參考。