張偉 劉 爽 毛佳佳,2) 黎紹佳 曹東興

* (北京工業(yè)大學材料與制造學部,機械結構非線性振動與強度北京市重點實驗室,北京 100124)

? (香港理工大學土木及環(huán)境工程學系,香港九龍 999077)

引言

隨著微機電系統、自供電無線傳感網絡、低功耗電子設備以及物聯網的快速發(fā)展,振動能量俘獲技術近年來受到了廣泛關注,已經成功應用在航空航天工程、機械工程、生物醫(yī)學工程以及眾多可持續(xù)能源工程等領域中[1-3].根據俘能器對振動能量的不同轉換機制,振動俘能器可以分為靜電式[4]、電磁式[5]、壓電式[6-7]、磁致伸縮式[8]、摩擦起電式[9-10]等.由于結構簡單、便于組裝,并且具有較高的能量轉換率,壓電式、磁電式以及壓電-磁電耦合的振動俘能器的動力學行為及其俘能特性已成為國內外研究的熱點之一.

傳統的線性振動俘能器的工作效率過于依賴自身的共振頻率,微小的制備誤差便可能導致系統的輸出功率急劇下降[11];并且,傳統的振動俘能器工作頻帶過窄,無法與環(huán)境中隨機、寬頻的振動頻率匹配,導致不能實現預期的俘能效果[2].為了提高振動能量俘獲系統的效率和實用性,急需設計能夠與環(huán)境振動特征相匹配的振動能量俘獲結構[1],實現低頻寬帶的俘能效果.

非線性系統復雜的動力學行為[12-15]為拓寬振動俘能器的工作頻帶,提高振動俘能器的效率提供了新思路,越來越多的學者將具有非線性剛度[16-18]特征的結構引入振動俘能器中,形成具有非線性單穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài)特性的振動俘能器[5,19-21],使系統的共振頻率發(fā)生偏移,拓寬其工作帶寬.Ramlan等[22]和Liu 和Jing[23]分別在單穩(wěn)態(tài)系統中引入了非線性剛度彈簧和X 型支撐結構.Chen等[24]利用非線性磁力構造了存在內共振的壓電梁俘能器結構,在更寬的頻帶范圍內實現了更大幅度的振動響應.Zhu等[25]和Masana 和Daqaq等[26]利用結構的幾何非線性,結合壓電梁的屈曲設計了具有雙穩(wěn)態(tài)特性的壓電俘能器.Li等[27]通過引入非線性磁力研究了磁力雙穩(wěn)態(tài)壓電陶瓷懸臂梁的俘能特性和動力學行為.這些研究均表明,系統的雙穩(wěn)態(tài)非線性跳躍機制能夠顯著拓寬系統的頻響范圍,增大俘能器的有效頻帶寬度[28-29].

由于環(huán)境動載荷存在多方向性、多變性以及多樣性,設計與實際環(huán)境相匹配的高性能振動能量俘獲系統顯得尤為重要[30-31].目前較多的研究都集中在發(fā)展多方向振動能量俘獲動力學,包括兩個方向[32-33]、三個方向[34]、平面內任意方向[35-36]以及空間中任意方向[37]的振動能量俘獲系統.值得注意的是,這些結構一旦被設計出來,其工作頻率往往都是固定的,無法根據環(huán)境中的振動而發(fā)生相應的變化.本文通過引入可移動鉸支座和非線性磁力,實現一類具有可變頻率特征的磁耦合式雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器,實現了低頻寬帶的俘能效果.

本文首先在帶有活動鉸支座的簡支梁一側添加一對永久磁鐵,并將其簡化為歐拉-伯努力梁,利用拉格朗日方程建立系統的非線性動力學方程,分析系統的可變頻性;然后利用諧波平衡法對動力學方程進行求解,并研究系統參數、磁間距、負載阻抗、外激勵頻率和幅值等對系統雙穩(wěn)態(tài)以及俘能特性的影響,從而保證系統的低頻寬帶俘能效果,并進行了實驗驗證.

1 結構模型和基本假設

如圖1 所示,帶固定永磁鐵α的壓電梁,總長度為L,建立(x,z)坐標系,梁一側x=0 為固定鉸支座約束,另一側為活動鉸支座約束,活動鉸支座能夠發(fā)生縱向位移L1∈(0,L],但無橫向位移.固定永磁鐵α與固定永磁鐵β之間的距離為D,兩磁鐵的長度分別為Lα和Lβ,寬度為Bα和Bβ,厚度為Hα和Hβ.梁基礎層厚度為H,在基礎層的上下兩側分別鋪設厚度為Hp的壓電陶瓷,形成壓電雙晶片的串聯構型.

圖1 磁耦合式雙穩(wěn)態(tài)寬頻壓電俘能器模型Fig.1 Model of piezoelectric energy harvester with magnetically coupled bistable wide-band

結構受到豎向簡諧加速度激勵(t) 作用,考慮基本假設:(1)壓電梁為歐拉-伯努力梁,只發(fā)生橫向振動;(2)壓電層和基礎層均為各向同性材料,且壓電層和基礎層之間為理想粘結;(3)壓電層中瞬時感應電場的場強在其總長度上是均勻分布的;(4)不考慮永磁鐵的變形,但考慮其轉動慣量;(5)磁偶極子模型[38]適用.

2 理論模型的建立

2.1 分布參數多場耦合能量函數的描述

基于假設(1),壓電外伸梁的軸向應變S1

式中w(x,t) 為梁的橫向位移.

基礎層和壓電層的本構關系分別為

式中,vR1(t) 為負載阻抗R1兩 端的電壓,vR2(t) 為負載阻抗R2兩端的電壓.

系統的拉格朗日函數 ? (x,t) 為

式中,T,U,We和Um分別為系統的動能、內勢能、電勢能和磁勢能

基于假設(5),系統的磁力勢能可表示為[38]

式中,下角標“b”,“p”和“ α ”分別表示基礎層、壓電層和永磁鐵 α ;ρ,A,M,m,J和I分別表示質量密度、橫截面面積、質量、磁化強度、轉動慣量和慣性矩;B為基礎梁的厚度;V為永磁鐵的體積;μ0為真空磁導率;Br為磁鐵的剩余磁通量密度[38].

2.2 壓電俘能器動力學方程的建立

壓電外伸梁的橫向位移w(x,t) 可以表示為

式中,Wi(x) 為第i階模態(tài)振型,qi(t) 為廣義模態(tài)坐標.為實現模態(tài)解耦,并保證振型惟一性,進一步將模態(tài)振型標準化,引入下述正交條件

一般來講,壓電俘能器的一階固有頻率在結構的位移響應中發(fā)揮主導作用[38],引入伽遼金一階截斷對位移函數w進行求解

由于C1,C2,···,C8必須滿足邊界條件,有

其中,ζ=(C1,C2,···,C8)T,A為系數矩陣.通過求解式(19)得到系統的一階固有頻率 ω1及其振型函數W1(x).

將式(15)代入式(11),并進行泰勒級數展開,有

將式(15)代入式(6)、式(8)、式(10),結合式(13)和式(19)計算拉格朗日函數式(5),代入拉格朗日方程有

3 動力學方程的求解

3.1 諧波平衡分析

假設式(23)的穩(wěn)態(tài)解為

式中,a0(t) 表示系統的平衡位置.將式(25) 代入式(23),令方程兩邊的常數項、含有 s in(ωbt) 以及含有 c os(ωbt) 的系數分別相等,忽略高次諧波項,得到

3.2 穩(wěn)定性分析

4 數值分析

基礎層、壓電層和磁鐵分別選用鈹青銅、壓電陶瓷PZT-5H 和釹鐵硼,表1 給出了具體的材料參數和幾何參數[20].

表1 系統的幾何參數和材料參數[20]Table 1 Geometric and material parameters of the system[20]

圖2 給出了系統的線性剛度s1和非線性剛度s2隨磁鐵間距D以及長度比變化的曲線.如圖所示,系統線性剛度s1對磁鐵間距D和外伸長度比ε=L1/(L-L1)的改變均非常敏感,即調節(jié)長度比和磁鐵間距能夠實現結構的可變頻性,而系統非線性剛度s2只對磁鐵間距D的變化較為敏感.隨著磁鐵間距D的減小,即非線性磁力的增大,系統開始出現非線性剛度s2,線性剛度s1從正值變?yōu)樨撝?系統從單穩(wěn)態(tài)變?yōu)殡p穩(wěn)態(tài).并且,系統進入雙穩(wěn)態(tài)所需的磁鐵間距D隨著長度比 ε 的增大而減小.

圖2 磁鐵間距和長度比對系統剛度的影響Fig.2 Effects of magnet spacing and length ratio on stiffness

圖3 給出了磁鐵間距D=30 mm,35 mm,40 mm,100 mm)與系統雙穩(wěn)態(tài)特性之間的關系,其中彈性勢能UE=Ub+Ups、總勢能、Um為磁勢能.當總勢能Ut出現兩個勢阱和一個勢壘,系統存在兩個穩(wěn)定的平衡點和一個不穩(wěn)定的平衡點,即系統表現為雙穩(wěn)態(tài)特性.隨著D的增大,系統的磁勢能減小,兩勢阱間的深度降低,直至勢壘消失.隨著長度比 ε 的增大,兩勢阱間的深度也降低,系統的雙穩(wěn)態(tài)特性更容易實現.

圖3 系統的勢能曲線Fig.3 Potential energy curves of the system

為了研究加速度激勵幅值Zb、激勵頻率f、長度比 ε 以及負載阻抗R1=R2=R等參數對系統俘能特性和動力學行為的影響,在后續(xù)的分析中磁鐵間距均取為D=35 mm,即系統在各長度比下的線性剛度均為負值,在外激勵的作用下,系統呈現雙穩(wěn)態(tài)特性,出現大幅阱間運動和小幅阱內運動,進而增大系統的俘能效率.

當Zb=1 m/s2時,圖4 給出了加速度激勵頻率f和長度比 ε 對壓電俘能器的位移頻響曲線(a)和輸出功率(b)的影響.實線表示系統的穩(wěn)定響應,虛線表示不穩(wěn)定響應.在低頻段(0 Hz 附近),大幅阱間運動引起較大的輸出功率,尤其是長度比 ε 較小的系統.在式(28)中注意到,系統的輸出功率不僅與系統振幅 η 有關,還與節(jié)點處轉角相關系數 θ1和 θ2有關.由于 長度比 ε=0.6 的 轉角相關系數大于 ε=0.4 的轉角相關系數,在低頻范圍內,長度比 ε=0.6 的系統具有較高的輸出頻率.同時,隨著外激勵頻率的增大,較大長度比(ε=0.8 和 ε=1.0)系統以阱內運動為主,較小的長度比(ε=0.2,0.4,0.6)系統以阱間運動為主,因此,在較高頻率范圍內,ε=0.2,0.4,0.6 具有較高的輸出功率.

圖4 外激勵頻率和長度比對(a)振幅和(b)輸出功率的影響Fig.4 Effects of frequency and length ratio on (a) vibration amplitude and (b) output power

從以上的分析可知,系統總存在一個長度比使得系統輸出功率達到最大,實現壓電俘能器低頻寬帶的俘能特性.圖5 給出了系統的工作頻帶以及對應的輸出功率.針對不同的環(huán)境振動頻率,給出了較為合適的長度比,以及對應的輸出功率.圖中不同顏色表示不同的長度比,可以通過調節(jié)結構中可移動鉸支座的位置來實現,從而保證在環(huán)境變化過程中,獲得最高的輸出功率.

圖5 工作帶寬及對應的輸出功率Fig.5 Working frequency band and corresponding output power

當ε=0.2和Zb=1 m/s2時,圖6給出了激勵頻率f和負載阻抗R對系統阱間運動6(a)和阱內運動6(b)輸出功率P的影響.當 ε=0.2 和f=4 Hz 時,圖7給出了激勵幅值Zb和負載阻抗R對系統阱間運動7(a)和阱內運動7(b)輸出功率P的影響.由圖可知,阱間運動的輸出功率明顯高于阱內運動;不管是阱間運動還是阱內運動,均存在最優(yōu)負載阻抗Ropt.并且,系統的最優(yōu)負載阻抗隨著激勵頻率的增大而減小,對激勵幅值的變化不敏感.

圖6 頻率和負載阻抗對輸出功率的影響Fig.6 Effects of frequency and load resistance on output power

圖7 激勵幅值和負載阻抗對輸出功率的影響Fig.7 Effects of amplitude and load resistance on output-power

圖8 分析了長度比 ε 對系統最優(yōu)負載阻抗Ropt的影響.如圖所示,隨著長度比的增大,阱間運動和阱內運動對應的最優(yōu)阻抗均增大,并且阱間運動的最優(yōu)阻抗大于阱內運動的最優(yōu)阻抗.

圖8 長度比對最優(yōu)負載阻抗的影響Fig.8 Effect of length ratio on optimal load resistance

為了進一步說明R1和R2對最優(yōu)負載阻抗的影響,以加速度激勵z¨b=cos(8πt) 為例,圖9 給出了系統阱間運動時,R1和R2對輸出功率的影響.當給定R2的阻值時,系統的輸出功率對橫坐標R1的變化非常敏感,即能夠得到一個最優(yōu)的負載阻抗R1opt;當給定R1的阻值時,橫坐標R2內的變化對系統的俘能特性影響并不明顯,即R1對系統的最優(yōu)負載阻抗的貢獻較大.

圖9 不同外激勵下R1和R2 對最優(yōu)負載阻抗的影響Fig.9 Effects of R1 and R2 on optimal load resistance under different external excitation

5 實驗驗證

為了說明本文的正確性,利用圖10 所示的磁耦合式雙穩(wěn)態(tài)寬頻壓電俘能器實體模型和實驗設備對系統的振動特性和俘能效果進行了驗證.

圖10 實驗設備Fig.10 Experimental equipment

圖11(a) 對比了相同加速度激勵z¨b=cos(28πt)作用下,長度比ε=0.2和ε=0.4系統振動特性的理論和實驗結果.在不同外激勵頻率下,圖11(b)對比驗證了不同長度比下系統的輸出電壓和輸出功率.由圖可知,關于系統的振動特性,實驗與理論結果吻合較好,而系統的輸出電壓和輸出功率出現誤差,分別在10%和20%左右.輸出電壓的誤差主要來源于壓電材料在制備過程中,其壓電系數無法與理論值完全一致.并且導線和實驗儀器均存在內阻,系統的輸出功率對電阻的變化較為敏感,導致系統輸出功率的誤差較大.因此,本文設計的磁耦合式寬頻壓電俘能器的正確性和有效性得到了驗證.

圖11 振動和俘能特性的實驗驗證Fig.11 Experimental verifications of vibration and energy capture characteristics

6 結論

本文提出了一種具有雙穩(wěn)態(tài)特性的磁耦合式寬頻壓電俘能器,通過建立其非線性動力學模型,分析并討論了不同參數對系統俘能特性的影響,并對結果進行了實驗驗證,主要結論如下:

(1)非線性磁力的引入使系統出現負剛度,呈現雙穩(wěn)態(tài)特性,實現超低頻環(huán)境下的俘能需求;

(2) 通過調節(jié)可移動鉸支座的位置,實現系統的可變頻性,匹配環(huán)境中隨機、寬頻的振動特性;

(3) 隨著長度比的增大,系統進入雙穩(wěn)態(tài)所需的磁鐵間距變小;

(4) 系統最優(yōu)阻抗對外激勵頻率和長度比的變化較為敏感,對外激勵幅值的變化不敏感.

附錄

式(26)可改寫為非線性自治系統的形式