李明凱 康賀銘 李永平 楊溥 陳雨 于歡 鄧海龍②

（①內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；②內(nèi)蒙古自治區(qū)先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

齒輪作為機(jī)械傳動(dòng)中應(yīng)用最廣泛的一種傳動(dòng)形式[1]，在采礦工程、裝備制造、交通運(yùn)輸以及航空航天等諸多領(lǐng)域占據(jù)著重要地位。然而，受重載、高溫等惡劣工況的影響，齒面點(diǎn)蝕、齒根斷裂等齒輪疲勞失效問題時(shí)有發(fā)生，從而導(dǎo)致整體傳動(dòng)系統(tǒng)的精度波動(dòng)、運(yùn)行失穩(wěn)以及可靠性降低，而在運(yùn)行周期為高周乃至超高周等疲勞領(lǐng)域尤為顯著。實(shí)際工況中，齒輪齒根彎曲應(yīng)力主要導(dǎo)致彎曲疲勞失效，較大的齒面接觸應(yīng)力主要導(dǎo)致接觸疲勞失效[2-3]；齒輪彎曲疲勞失效約占齒輪疲勞失效的1/3[4-5]。為了更為全面地評估齒輪彎曲疲勞可靠度指標(biāo)以及更好地把握不同參數(shù)對齒輪彎曲疲勞的影響規(guī)律，對齒輪彎曲疲勞開展基于不確定條件下的可靠性靈敏度分析具有重要意義。

目前，眾多國內(nèi)外學(xué)者對齒輪彎曲疲勞可靠性進(jìn)行了深入研究，并由此產(chǎn)生了一系列的相關(guān)理論和方法。趙永翔等[6]基于標(biāo)準(zhǔn)和可靠性曲線，分析并確定了HXDIC 大功率機(jī)車傳動(dòng)齒輪的抗彎疲勞強(qiáng)度、壽命和可靠性水平；Zhang J等[7]通過穩(wěn)健性理論和方法，建立了基于齒輪接觸壽命參數(shù)和彎曲強(qiáng)度的可靠性模型，并考慮了不可避免的強(qiáng)度退化因素；安宗文等[8]對風(fēng)電齒輪箱中的某從動(dòng)輪的接觸疲勞和彎曲疲勞失效分別進(jìn)行了可靠性靈敏度分析，分別確定了影響齒輪接觸疲勞與彎曲疲勞可靠性的最大參數(shù)；候志林等[9]通過仿真手段，對CRHBX 型動(dòng)車組體進(jìn)行有限元分析，獲得了影響可靠性的隨機(jī)變量參數(shù)，并計(jì)算得出多失效模式下的各參數(shù)可靠性靈敏度；張艷林等[10]采用擬蒙特卡羅法(quasi-Monte Carlo，QMC)并引入Halton 序列對可靠性靈敏度進(jìn)行計(jì)算，通過對齒輪接觸疲勞可靠性及其可靠性敏感性的分析，驗(yàn)證了QMC 方法在計(jì)算效率方面的優(yōu)越性。蘇長青等[11]通過對飛機(jī)單角拉伸接頭進(jìn)行有限元分析，獲得影響可靠性的隨機(jī)變量參數(shù)，并計(jì)算得出在多失效模式下的各參數(shù)可靠性靈敏度。

由于加工精度、安裝誤差、溫度變化以及振動(dòng)等各項(xiàng)不確定因素的存在[8]，齒輪彎曲疲勞計(jì)算中的各項(xiàng)參數(shù)會(huì)在符合既定分布的情況下產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)。盡管國內(nèi)外對齒輪彎曲疲勞可靠性的研究眾多，但基于一系列參數(shù)于不確定條件下的可靠性靈敏度模型依然很少。本文以滲碳Cr-Ni 齒輪為研究對象，慮及參數(shù)不確定條件的影響，為齒輪彎曲疲勞可靠性計(jì)算及靈敏度分析方法提供一定的借鑒。

1 齒輪構(gòu)件及試驗(yàn)

1.1 齒輪構(gòu)件特性

本文選用漸開線直齒圓柱齒輪作為齒輪彎曲試驗(yàn)構(gòu)件，其模數(shù)為4，齒數(shù)為21，齒形角為25°，齒寬為20 mm，表面精度等級為6 級。齒輪的化學(xué)成分如表1 所示。

表1 齒輪的化學(xué)成分表

對齒輪材料進(jìn)行表面滲碳、淬火、回火等熱處理工藝，以提高齒輪的力學(xué)性能，具體流程如圖1 所示。

圖1 齒輪熱處理工藝流程

1.2 疲勞試驗(yàn)

室溫條件下，采用LG-300C 高頻拉壓疲勞試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行齒輪彎曲疲勞試驗(yàn)，脈動(dòng)加載頻率約為102 Hz，應(yīng)力比為0.04。齒輪彎曲疲勞試驗(yàn)機(jī)如圖2a所示，齒輪疲勞試件的夾緊方法如圖2b 所示；由圖可知，測試齒輪通過夾具固定在試驗(yàn)機(jī)的底部，沖頭可以沖擊到單齒嚙合區(qū)域上邊界點(diǎn)。為保證試驗(yàn)設(shè)備的精度和壽命的安全及穩(wěn)定性，當(dāng)載荷或頻率下降至5%或者齒根出現(xiàn)可見裂痕時(shí)，及時(shí)停止試驗(yàn)?？紤]到時(shí)間及成本條件限制，在706 MPa、744.8 MPa、784 MPa 以及823.2 MPa 這4 種應(yīng)力水平下，分別記錄有效數(shù)據(jù)各3 組。

圖2 應(yīng)力比為0.04 的齒輪彎曲試驗(yàn)

2 試驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 齒輪彎曲疲勞S-N 曲線

在4 種應(yīng)力水平下，對齒輪開展彎曲疲勞試驗(yàn)，結(jié)果如圖3 所示。結(jié)果表明，疲勞失效循環(huán)數(shù)在104到108周次之間，且隨著彎曲疲勞壽命的增加，滲碳齒輪的彎曲疲勞強(qiáng)度呈連續(xù)下降趨勢。此外，彎曲疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)在高應(yīng)力區(qū)分散較小，而在低應(yīng)力區(qū)分散較大?；谧畲笏迫粩M合方法和Basquin 模型對滲碳齒輪彎曲疲勞數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到滲碳齒輪的S-N擬合曲線，結(jié)果如圖3 實(shí)線所示。根據(jù)擬合曲線所示，滲碳齒輪在108循環(huán)下的彎曲疲勞極限值為666 MPa。

圖3 滲碳齒輪S-N 曲線

2.2 齒輪彎曲疲勞P-S-N 曲線

基于SPSS 軟件，檢驗(yàn)在不同應(yīng)力水平下的對數(shù)疲勞壽命是否服從正態(tài)分布，其概率分布如圖4所示。

圖4 各應(yīng)力水平下對數(shù)疲勞壽命概率密度函數(shù)

由圖4 可知，各應(yīng)力水平下對數(shù)壽命基本符合正態(tài)分布，其均值、標(biāo)準(zhǔn)差等量如表2 所示。

基于表2 中各應(yīng)力水平下對數(shù)疲勞壽命概率密度函數(shù)，得到不同失效概率下的疲勞壽命，即P-S-N曲線，其擬合函數(shù)為

表2 各應(yīng)力水平下對數(shù)疲勞壽命各項(xiàng)參數(shù)

結(jié)合式（1）及彎曲疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得P-SN 曲線如圖5 所示；由圖5 可知，滲碳齒輪彎曲疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)在所擬合的P-S-N 曲線之內(nèi)，效果良好。

圖5 滲碳齒輪彎曲疲勞P-S-N 曲線

3 彎曲疲勞可靠度模擬

3.1 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型

機(jī)械產(chǎn)品若要正常使用，在一定的可靠度前提下，危險(xiǎn)部位的許用強(qiáng)度S應(yīng)大于或等于此處的最大應(yīng)力 σ；否則，認(rèn)為處于失效狀態(tài)。一般地，可設(shè)零件的強(qiáng)度、應(yīng)力分布是相互獨(dú)立的，強(qiáng)度與應(yīng)力隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)可分別設(shè)為f(S)、g(σ)，模型如圖6 所示。

圖6 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型

則彎曲疲勞可靠度R為

式（2）所對應(yīng)的計(jì)算式為[12]

3.2 慮及參數(shù)不確定性因素的彎曲疲勞可靠度模擬

單齒嚙合區(qū)上界點(diǎn)所在的圓直徑可以通過式（4）計(jì)算。

式中：de為嚙合上界點(diǎn)所在圓直徑；da為齒頂圓直徑；db為基圓直徑；m為模數(shù)；α為嚙合角；εα為重合度。重合度εα可通過式（5）計(jì)算得出

式中：αa為齒頂壓力角；αw為嚙合角（分度圓壓力角）。齒頂壓力角的計(jì)算公式為

依據(jù)齒輪相關(guān)參數(shù)，結(jié)合式（4）～（6），即可得到單齒嚙合區(qū)上界點(diǎn)所在圓直徑。

根據(jù)GB/T 14230-93，當(dāng)脈沖載荷加載在單對齒嚙合區(qū)上界點(diǎn)時(shí)，直齒圓柱齒輪齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算公式為[13]

式中：T為對單個(gè)輪齒所施加的名義轉(zhuǎn)矩；YF為載荷作用于單齒嚙合區(qū)上界點(diǎn)時(shí)齒形系數(shù)；YS為載荷作用于單齒嚙合區(qū)上界點(diǎn)時(shí)的應(yīng)力修正系數(shù)(可視為常數(shù))；b為齒寬；m為齒輪模數(shù)；z為齒輪齒數(shù)；YST為齒輪的應(yīng)力修正系數(shù)；YδrelT為相對齒根圓角敏感系數(shù)；YRrelT為相對齒根表面狀況系數(shù)；YX為計(jì)算彎曲強(qiáng)度的尺寸系數(shù)。慮及參數(shù)不確定性條件，將參數(shù)b、m、YST、YδrelT、YF、YRrelT、YX均視為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量[14-15]。

考慮到式（2）中各個(gè)參數(shù)的不確定性以及其他計(jì)算方法的繁瑣性，故根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，采用蒙特卡羅法進(jìn)行可靠度求解計(jì)算：蒙特卡羅法以樣本均值代替總體均值，以足夠多的樣本可靠度代替總體可靠度計(jì)算，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際可靠度極其相近，用其進(jìn)行可靠度計(jì)算也是較為廣泛的數(shù)值模擬方法，且其對于功能函數(shù)的維數(shù)和分布形式均沒有特殊的要求。本文中蒙特卡羅法分析流程如圖7 所示。

圖7 蒙特卡羅法流程圖

結(jié)合MATLAB 軟件，確定抽樣次數(shù)為5 000 次，以保證較高的精度。慮及不確定性因素，使應(yīng)力與強(qiáng)度在符合正態(tài)分布的條件下隨機(jī)產(chǎn)生，由此得到的滲碳齒輪彎曲疲勞極限應(yīng)力為668 MPa，與圖3 中由試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的疲勞極限值吻合良好。彎曲疲勞極限應(yīng)力于不同可靠度下的分析結(jié)果如表3 所示。

表3 不同可靠度下的齒輪彎曲疲勞極限應(yīng)力

4 彎曲疲勞可靠性靈敏度分析

4.1 可靠性靈敏度分析理論方法

然而，齒輪彎曲疲勞可靠度對各項(xiàng)參數(shù)隨機(jī)性的響應(yīng)程度不一；在不同可靠度下，研究齒輪彎曲疲勞對各項(xiàng)參數(shù)隨機(jī)性的響應(yīng)情況，即可靠性靈敏度分析?？煽啃造`敏度的基本定義為失效概率Pf對隨機(jī)參數(shù)xi的數(shù)學(xué)期望μxi、標(biāo)準(zhǔn)差σxi的偏導(dǎo)

將式(8)轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式，得

采用蒙特卡羅法計(jì)算齒輪彎曲疲勞可靠性靈敏度，總期望由樣本期望代替，則均值靈敏度為

同理，總標(biāo)準(zhǔn)差由樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替，則標(biāo)準(zhǔn)差靈敏度為

式中：L為蒙特卡羅法樣本數(shù)，E[ ]為樣本的數(shù)學(xué)期望，fx(x)為隨機(jī)參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)IF(x)=為齒根失效區(qū)域F的表達(dá)函數(shù)。

由于影響齒輪彎曲疲勞可靠性靈敏度的各項(xiàng)隨機(jī)參數(shù)具有不同的量綱，只有消除量綱對失效概率的影響，才能使各項(xiàng)參數(shù)對失效概率的影響程度更好地表達(dá)。因此，無量綱的均值靈敏度由式（12）可得。

由于各項(xiàng)隨機(jī)參數(shù)均服從正態(tài)分布，則

式中：μi為對隨即參數(shù)x=(x1,x2,···,xn)T中第i個(gè)分量xi引入的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。

因此，去除量綱影響后的均值失效靈敏度為

式中：μji為第j個(gè)樣本xj=(x1,x2,···,xn)的第i個(gè)分量xji所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化樣本。

由式（15）、（16）可得到不同可靠度下去量綱參數(shù)的均值靈敏度和方差靈敏度。

4.2 基于參數(shù)不確定性的彎曲疲勞可靠性靈敏度分析

根據(jù)表3 中齒輪彎曲疲勞可靠度分別為99%、90%、50%、10%、1%時(shí)所對應(yīng)的各個(gè)齒輪彎曲應(yīng)力，分析各個(gè)參數(shù)對齒輪彎曲疲勞可靠性的影響狀況?；谑?15)、(16)，并結(jié)合蒙特卡羅法，可以得到去除量綱后各項(xiàng)隨機(jī)參數(shù)于不同可靠度下的均值靈敏度和方差靈敏度，如圖8 所示。

圖8 不同可靠度下齒輪彎曲疲勞可靠性靈敏度

結(jié)合圖8 可知，本試驗(yàn)中影響齒輪彎曲疲勞可靠性的7 個(gè)參數(shù)的均值靈敏度在各個(gè)可靠度下的變化均有正有負(fù)，且絕對值較小，表明它們的均值變化對可靠性的影響存在正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，且影響較為平緩；而包括b、YST、YδrelT、YRrelT、YX及m在內(nèi)的共6 個(gè)參數(shù)的方差靈敏度在各可靠度下均為正值，且絕對值較大，表明隨著這些隨機(jī)參數(shù)的方差增大，齒輪彎曲疲勞可靠度會(huì)劇烈地增大，其影響是積極的；而齒形系數(shù)YF的方差靈敏度在各可靠度下均為負(fù)值，且絕對值極小，表明隨著此隨機(jī)參數(shù)的方差增大，齒輪彎曲疲勞可靠度就會(huì)極緩地減小，其影響是消極的。

5 結(jié)語

需要注意的是，本文研究內(nèi)容針對于文中所述的試驗(yàn)材料及相關(guān)條件下，對于其是否適用于其他材料仍需進(jìn)一步研究。故基于本文試驗(yàn)數(shù)據(jù)及相關(guān)分析，本文所得結(jié)論如下：

（1）基于4 種應(yīng)力水平下的疲勞試驗(yàn)，擬合得到了滲碳齒輪的S-N 曲線，滲碳齒輪在108循環(huán)下的彎曲疲勞極限值為666 MPa。

（2）基于SPSS 軟件，分析并檢驗(yàn)了各應(yīng)力水平下對數(shù)壽命基本符合正態(tài)分布，且滲碳齒輪彎曲疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)均在所擬合的P-S-N 曲線之內(nèi)，效果良好且符合實(shí)際。

（3）基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，慮及不確定性因素影響，采用蒙特卡羅法對齒輪彎曲疲勞可靠度進(jìn)行模擬計(jì)算，所得彎曲疲勞極限值為668 MPa，與S-N 曲線基本相符；并進(jìn)一步分析了不同可靠度下的彎曲疲勞極限應(yīng)力。

（4）結(jié)合蒙特卡羅法以及均值與方差靈敏度計(jì)算模型，得到了去除量綱后各項(xiàng)隨機(jī)參數(shù)于不同可靠度下的均值靈敏度和方差靈敏度結(jié)果：各均值靈敏度在不同可靠度下的正、負(fù)相關(guān)性并存在且影響平緩；而在方差靈敏度中，除參數(shù)YF在各可靠度均為負(fù)值且影響平緩以外，其余6 參數(shù)在各可靠度下均為正值，且影響劇烈。