蒙玉進(jìn) 龍慶 許澤鋒 沈宏君

摘 要：利用時域有限差分（FDTD）方法對麥克斯韋方程進(jìn)行展開，對二維TE波的卷積完美匹配層（CPML）條件進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，在基于完美匹配層（PML）的基礎(chǔ)上完整推導(dǎo)了二維TE波的CPML公式，該方法相對傳統(tǒng)的完美匹配層（PML）具有更加良好的吸收效應(yīng)，并且在計算中具有條件簡潔、操作方便的優(yōu)勢，在數(shù)值模擬中CPML方法將會帶來極大的便捷，并在試驗(yàn)中驗(yàn)證了CPML的良好吸收效果，所以對于CPML方法的研究具有十分重要的意義。

關(guān)鍵詞：時域有限差分;麥克斯韋方程;完美匹配層;卷積完美匹配層

中圖分類號：O431 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1003-5168（2022）10-0092-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.10.021

Derivation and Experimental Verification of CPML Boundary Conditions for Two-Dimensional TE Waves

MENG Yujin? ? LONG Qing? ? XU Zefeng? ? SHEN Hongjun

（College of Physics and Electronics，Ningxia University， Yinchuan 750000，China）

Abstract： Uses Finite-Difference Time-Domain （FDTD） method to expand Maxwell's equations， and elaborates on the conditions of the Convolution Perfect Matching Layer （CPML） of the two-dimensional TE wave. Based on Perfectly Matched Layer （PML）， the CPML formula of the two-dimensional TE wave is fully derived. Compared with the traditional Perfectly Matched Layer （PML）， this method has better absorption effect and has simple calculation conditions. The advantage of convenient operation， the CPML method will bring great convenience in the numerical simulation， and it was verified in the experiment that the absorption effect of CPML is good， so it has very important significance for the research of the CPML method.

Keywords： Finite-Difference Time-Domain;Maxwell equation;Perfectly Matched Layer;Convolution Perfect Matching Layer

0 引言

自1966年Yee首次提出傳統(tǒng)的時域有限差分（Finite-Difference Time-Domain，F(xiàn)DTD）方法以來，該方法就得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展[1]。時域有限差分的方法是用中心差分方式對麥克斯韋方程進(jìn)行離散差分，從而對麥克斯韋方程進(jìn)行微分求解[2]。在此基礎(chǔ)上對麥克斯韋方程進(jìn)行細(xì)化，推導(dǎo)其相應(yīng)的TE波及TM波[3]，利用時域有限差分方法對其進(jìn)行差分，筆者主要對其TE波進(jìn)行探究。1994年，Berenger提出完美匹配層（Perfectly Matched Layer，PML）[4]吸收邊界條件技術(shù)，緊接著又出現(xiàn)了多種PML條件，如各向異性完美匹配層（UPML）[5]、坐標(biāo)延伸完美匹配層（SC-PML）[6]等。但是在眾多的完美匹配層中，其主要目的都是去研究開放的空間問題，顯然這些匹配層條件都不是最完美的，最終提出了卷積完美匹配層（Convolution Perfectly Matched Layer ，CPML）方法[7-8]，這種技術(shù)在每個隔離點(diǎn)只需要施加兩個輔助變量，從一定意義來說，該方法的實(shí)現(xiàn)能夠吸收各向異性和均勻波，以及不均勻、有損、分散的介質(zhì)，各向異性或非線性介質(zhì)無須進(jìn)一步推廣先前的電磁場，CPML方法有效地避免了其他匹配層方法的缺陷，此方法已被證明在吸收和長時間計算域中的高效性。利用CPML方法可以編程實(shí)現(xiàn)計算仿真[9]，可在理論上模擬入射源在FDTD區(qū)域和CPML區(qū)域進(jìn)行傳播，研究其特性，具有良好的前瞻性，為實(shí)際試驗(yàn)提供了可靠的操作方案。本研究就TE波的CPML邊界條件進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)以及對方法的模擬驗(yàn)證。

1 麥克斯韋時域微分方程

電磁場的本構(gòu)關(guān)系如式（1）和式（2）。

[D=εE]? ? ? ? （1）

[B=μH]? ? ? ? （2）

式中：D為電通量密度;B為磁通量密度;E為電場強(qiáng)度;H為磁場強(qiáng)度;[ε]為媒質(zhì)介電常數(shù);[μ]為煤質(zhì)導(dǎo)磁率。

其本構(gòu)關(guān)系下的麥克斯韋方程可以寫為式（3）和式（4）。

[?×H=ε?E?t+σeE+Ji]? ?（3）

[?×E=?μ?H?t?σmH?Mi]? （4）

式中：[Ji]為電流密度;[Mi]為磁流密度;[σe]為電導(dǎo)率;[σm]為導(dǎo)磁率。

2 二維TE波的CPML公式推導(dǎo)

在TE波中，處于延伸坐標(biāo)的PML方程可以寫為式（5）。

[jωεxEx+σexEx=1Sey?Hz?y jωεyEy+σeyEy=?1Sex?Hz?xjωμzHz+σmzHz=?1Smx?Ey?x+1Smy?Ex?y] （5）

式中：J為激勵源;[Sex]、[Sey]、[Smx]、[Smy]為CPML邊界條件坐標(biāo)延伸項(xiàng)，詳細(xì)分解如下。

[Sex=kex+σpexαex+jωε0][ Sey=key+σpeyαey+jωε0]

[Smx=kmx+σpmxαmx+jωμ0][Smy=kmy+σpmyαmy+jωμ0]

其中[kex]、[key]、[kmx]、[kmy]、[αex]、[αey]、[αmx]、[αmy]為新參數(shù)，取值要求為[k≥1]、[α≥0]。

在吸收條件下要有零反射，則需要滿足[Sei=Smi]（i=x;y）的條件。

并由此推導(dǎo)出[kei]值。

[kei=kmi]、[σpeiαei+jωε0=σpmiαmi+jωμ0]

由此可得出以下結(jié)果。

[σpeiε0=σpmiμ0];[αeiε0=αmiμ0]

式（5）為頻域方程，轉(zhuǎn)化為時域方程，其[jω=??t]，所以式（5）可轉(zhuǎn)換為式（6）至式（8）。

[εx?Ex?t+σexEx=Sey·?Hz?y]? ? ?（6）

[ εy?Ey?t+σeyEy=?Sex·?Hz?x]? ? ?（7）

[μz?Hz?t+σmzHz=?Smx·?Ey?x+Smy·?Ex?y] （8）

其中，[Sei]、[Smi]為傅里葉的逆變換，可用式（9）、式（10）表示。

[Sei=δ（t）kei?σpeiε0k2eiexp?σpeiε0kei+αpeiε0tut=δ（t）kei+ξei（t）]? ? ? ?（9）

[Smi=δ（t）kmi?σpmiμ0k2eiexp?σpmiμ0kmi+αpmiμ0tut=δ（t）kmi+ξmi（t）]? ? ? （10）

式中：[δ（t）]為單位脈沖函數(shù);[ut]為單位階躍函數(shù)。

把式（9）（10）代入式（6）至式（8），得式（11）至式（13）。

[εx?Ex?t+σexEx=1key?Hz?y+ξey（t）·?Hz?y] （11）

[ εy?Ey?t+σeyEy=1kex?Hz?x+ξex（t）·?Hz?x] （12）

[μz?Hz?t+σmzHz=?1kmx?Ey?x+1kmy?Ex?y?ξmxt· ?Ey?x+ξmyt· ?Ex?y]? ? ?（13）

為減小計算誤差，采用中心差分對式（11）至式（13）進(jìn)行離散化，得到CPML邊界條件的迭代公式，則在TE波中CPML電場更新方程為式（14）。

[En+1xi， j=Cexei， jEnxi， j+1keyi， jCex?zi， j]

[Hn+12zi， j?Hn+12zi， j?1+]

[ΔyCex?zi， jΨn+12exyi， j]? ? ? ? ? （14）

定義新的系數(shù)[CΨexzi， j=ΔyCex?zi， j]

[Cex?zi， j合并1keyi， jCex?zi， j]

這些系數(shù)的修正只是在CPML重疊區(qū)域，最終得到二維TE波的CPML更新迭代公式（15）。

[En+1xi， j=Cexei， jEnxi， j+Cex?zi， j]

[ Hn+12zi， j?Hn+12zi， j?1+]

[CΨexyi， jΨn+12exyi， j]? ? ? ?（15）

同理得式（16）和式（17）。

[En+1yi， j=Ceyei， jEnyi， j+ Cey?zi， j]

[Hn+12zi， j?Hn+12zi， j?1+]

[CΨeyzi， jΨn+12eyzi， j ]? ? ? （16）

[Hn+12zi， j=][C?z?i， jHn?12zi， j+]

[ C?zeyi， jEnyi， j+1?Enyi， j+]

[C?zexi， jEnxi+1， j?Enxi， j+]

[CΨ?zxi， jΨn?zxi， j+CΨ?zyi， jΨn?zyi， j] （17）

從式（15）至式（17）可以看出，下一步的電場計算只需要上一步的電場與相鄰磁場作用得到，同理，下一步的磁場只需要上一步的磁場與相鄰電場耦合得到。

3 模擬計算及其討論

計算模擬中采用CPML邊界為5單位、中心區(qū)域?yàn)?0單位的試驗(yàn)平臺，驗(yàn)證CPML的吸收效果，中心計算區(qū)放置高斯波源，如圖1所示。

首先，為了驗(yàn)證CPML邊界吸收效果，在中心區(qū)設(shè)置高斯源，在不同時間步觀察高斯波在邊緣吸收邊界處的收斂情況，分別在時間步為30、40、80、1 000觀測CPML邊界對內(nèi)部場的吸收效果，從圖2（a）可以看到，中心高斯波源隨時間增加，中心區(qū)開始出現(xiàn)場強(qiáng)分布，要想證明吸收邊界設(shè)置完美，將看到中心區(qū)的入射波源在時間步足夠長時，邊緣位置不會出現(xiàn)波峰變化;在圖2（d）中，時間步足夠長時看到吸收效果良好。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證邊界條件設(shè)置無誤，將點(diǎn)源放置于計算底角位置，圖3為在不同時間步中觀察點(diǎn)源對其邊界的影響，得出與點(diǎn)源放置于中心區(qū)相同結(jié)論。由圖3（d）可以看出，點(diǎn)源在邊緣部分基本吸收完全，表明CPML吸收邊界條件吸收效果良好。

圖4和圖5是在CPML情況下點(diǎn)源在不同時間段ex變化時域和頻域變化圖，在時域圖中可以看到在位置15處變化巨大，說明電場對吸收邊界的影響最大;在頻域圖中可以看到在位置10處變化與其他位置處差距較大，說明吸收效果較差。

4 結(jié)語

本研究對二維TE的CPML邊界條件進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，引入坐標(biāo)延伸變量，進(jìn)行差分離散化，最終得到電磁場的迭代公式，并且加以試驗(yàn)的印證，CPML條件在計算模擬空間無限大無限長結(jié)構(gòu)時具有良好的仿真效果。當(dāng)然，CPML相對PML形式簡單，不需要對場進(jìn)行分裂，其對入射波的吸收效果更優(yōu)，CPML可以應(yīng)用到多方面的數(shù)值模擬，如在MATLAB上對二維分頻器進(jìn)行邊界的改變，對二維彈性波的截斷計算[10]等。所以，二維TE波的CPML邊界公式的推導(dǎo)可以對研究電磁模擬工作提供較大的幫助。

注釋：

本文公式推導(dǎo)中的所有場量均為矢量。

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