郭佳寧　楊婧　劉婷

摘? 要：針對(duì)原始哈里斯鷹算法（Harris Hawks Optimization， HHO）存在收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的哈里斯鷹算法。首先引入Logistic混沌映射加強(qiáng)擾動(dòng)，豐富種群多樣性，提高算法收斂精度;其次用非線性逃逸能量因子代替線性逃逸能量因子，易于跳出局部最優(yōu)。為了驗(yàn)證改進(jìn)效果，利用改進(jìn)算法求解FIR濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，與原始哈里斯鷹算法相比，基于改進(jìn)算法的FIR濾波器具有更加理想的通帶和阻帶性能。

關(guān)鍵詞：FIR濾波器;哈里斯鷹算法;Logistic混沌映射;非線性逃逸能量因子

中圖分類(lèi)號(hào)：TP311? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Improved Harris Hawks Optimization and Its Application in FIR Filter

GUO Jianing， YANG Jing， LIU Ting

Abstract： Aiming at the problems of the original Harris Hawks Optimization （HHO）， such as low convergence accuracy and easy to fall into local optimum， this paper proposes an improved HHO. Firstly， Logistic chaos mapping is introduced to strengthen the disturbance， enrich population diversity， and improve the convergence accuracy of the algorithm. Secondly， the nonlinear escape energy factor is used to replace the linear escape energy factor， which is easy to jump out of the local optimum. In order to verify the improvement effect， the improved algorithm is used to solve the FIR filter design problem. Simulation results show that compared with the original HHO， the FIR filter based on the improved algorithm has more ideal passband and stopband performance.

Keywords： FIR filter; Harris Hawks Optimization; Logistic chaos mapping; nonlinear escape energy factor

1? ?引言（Introduction）

作為數(shù)字信號(hào)處理的基本技術(shù)，有限脈沖響應(yīng)（Finite Impulse Response， FIR）濾波器在圖像、音頻、模式識(shí)別等方面得到了廣泛應(yīng)用。隨著社會(huì)的進(jìn)步與現(xiàn)代生活水平的日益提高，人們對(duì)其性能提出了更高層次的要求。一些學(xué)者提出基于優(yōu)化算法來(lái)對(duì)FIR濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。2018 年，劉飛等[1]提出根據(jù)TD-SCDMA的FIR濾波器指標(biāo)，通過(guò)遺傳算法求解函數(shù)模型，再運(yùn)用加權(quán)最小二乘方法設(shè)計(jì)濾波器;2019 年，季丹[2]提出將人工蜂群算法應(yīng)用于FIR濾波器設(shè)計(jì);2020 年，陳忠云等[3]提出用改進(jìn)的瘋狂蝙蝠算法（CBA）來(lái)設(shè)計(jì)低通有限脈沖響應(yīng)濾波器;2021 年，ZHU等[4]提出一種用于相干接收機(jī)色散補(bǔ)償?shù)腇IR濾波器。

哈里斯鷹算法是由HEIDARI等[5]提出的一種新型仿生智能優(yōu)化算法。它模擬老鷹的捕食行為，結(jié)合Levy飛行，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜多維問(wèn)題求解。它具有參數(shù)簡(jiǎn)單、全局搜索能力強(qiáng)、容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但和其他優(yōu)化算法一樣，在求解復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，存在收斂精度高、易陷入局部最優(yōu)等缺陷。

本文的工作如下：

（1）提出一種改進(jìn)哈里斯鷹算法。首先，利用Logistic混沌映射[6]對(duì)種群進(jìn)行初始化，增強(qiáng)種群多樣性;然后用非線性逃逸能量因子[7]替換原本的逃逸能量因子，平衡全局與局部搜索策略，幫助跳出局部最優(yōu)。

（2）利用改進(jìn)哈里斯鷹算法對(duì)FIR濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，將性能問(wèn)題轉(zhuǎn)為參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則優(yōu)化濾波器系數(shù)。

（3）利用MATLAB軟件，對(duì)基于改進(jìn)哈里斯鷹優(yōu)化算法的FIR濾波器進(jìn)行仿真，結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)改進(jìn)哈里斯鷹算法優(yōu)化后，F(xiàn)IR濾波器增大了阻帶衰減程度，減小了通帶范圍內(nèi)波動(dòng)。

2? ?哈里斯鷹算法（Harris Hawks Optimization）

哈里斯鷹算法主要分為三個(gè)階段：搜索階段、搜索與開(kāi)發(fā)的轉(zhuǎn)換階段、開(kāi)發(fā)階段。這三種階段的差異由逃逸能量因子來(lái)決定。

（1）搜索階段

此階段中獵物體力充沛，老鷹距離獵物較遠(yuǎn)。此時(shí)哈里斯鷹會(huì)選擇棲息在某個(gè)地方，并通過(guò)兩種策略來(lái)更新自身位置以找到獵物。

（1）

式中，表示下一時(shí)刻哈里斯鷹的位置，表示當(dāng)前鷹的位置，表示獵物的位置向量，表示隨機(jī)選擇的獵物位置。是之間的隨機(jī)數(shù)，和是搜索空間的上下限。當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為沒(méi)有發(fā)現(xiàn)獵物位置，鷹將隨機(jī)選擇種群中的個(gè)體，并根據(jù)其位置來(lái)更新種群位置;當(dāng)時(shí)，表示發(fā)現(xiàn)獵物位置，鷹將根據(jù)獵物當(dāng)前位置來(lái)更新種群位置。

（2）搜索與開(kāi)發(fā)的轉(zhuǎn)換階段

全局搜索和不同開(kāi)發(fā)行為之間轉(zhuǎn)化是通過(guò)逃逸能量來(lái)決定的。逃逸能量定義為：

（2）

式中，為獵物初始能量，;為迭代次數(shù)，為最大迭代次數(shù)。時(shí)進(jìn)入搜索階段，反之進(jìn)入開(kāi)發(fā)階段。

（3）開(kāi)發(fā)階段

根據(jù)逃逸能量和隨機(jī)數(shù)來(lái)決定圍捕獵物所用到的策略。

①軟包圍

時(shí)，表示獵物能量充沛，但沒(méi)有辦法跳出包圍圈。此時(shí)，采用軟包圍形式，鷹的位置更新為：

（3）

式中，，是[0，2]之間的隨機(jī)數(shù)，模擬獵物的移動(dòng)強(qiáng)度。

②漸進(jìn)式快速俯沖軟包圍

時(shí)，表示獵物能量充沛，且跳出包圍圈成功逃脫。此時(shí)需要結(jié)合Levy飛行來(lái)更新獵物位置。

（4）

式中，;，是Levy飛行[8]表達(dá)式;和分別是求解Levy飛行所需的維數(shù)和隨機(jī)向量。

③硬包圍

時(shí)，表示獵物能量不足，且沒(méi)有辦法跳出包圍圈，因此采用硬包圍。此時(shí)位置更新為：

（5）

④漸進(jìn)式快速俯沖硬包圍

時(shí)，表示獵物能量不足，但能夠跳出包圍圈，因此采用漸進(jìn)式快速俯沖硬包圍，此時(shí)位置更新為：

（6）

式中，;。

3? 改進(jìn)哈里斯鷹算法（Improved Harris Hawks Optimization）

（1）Logistic混沌映射

“混沌”一詞來(lái)源于非線性動(dòng)力系統(tǒng)，這一過(guò)程具有確定性、遍歷性、收斂性和對(duì)初值極其敏感的特性，多被用于初始化種群。本文提出Logistic混沌映射用來(lái)調(diào)整初始種群，公式如下：

（7）

式中，表示當(dāng)前鷹的位置，是隨機(jī)數(shù)。經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，的最優(yōu)值為4，故此處令。

（2）非線性逃逸能量策略

在原始哈里斯鷹算法中，利用逃逸能量來(lái)決定搜索和開(kāi)發(fā)之間的轉(zhuǎn)換，但由于逃能量是線性減少，迭代次數(shù)累加后只能用于進(jìn)行局部搜索，容易陷入局部最優(yōu)。因此，提出一種非線性逃離能量因子來(lái)代替原來(lái)的線性計(jì)算逃逸能量，平衡全局與局部搜索策略，幫助跳出局部最優(yōu)。其公式如下：

（8）

式中，為最大迭代次數(shù)，表示更新的逃逸能量。

由于逃逸能量因子在獵物體力充沛（）時(shí)對(duì)最優(yōu)值的結(jié)果影響較大，因此，在軟包圍和漸進(jìn)式快速俯沖軟包圍兩種策略時(shí)刪除了能量因子，使尋優(yōu)結(jié)果變好。

4? 改進(jìn)算法設(shè)計(jì)FIR濾波器（FIR filter design based on improved algorithm）

傳統(tǒng)FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法包括窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣法。盡管這些方法簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，但由于計(jì)算機(jī)要求參數(shù)必須是有限字長(zhǎng)，就會(huì)產(chǎn)生截?cái)?，使得?shí)際濾波與理想濾波相差過(guò)大，因此應(yīng)用改進(jìn)哈里斯鷹算法對(duì)離散參數(shù)中的濾波器系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得濾波器的性能得以提高。

設(shè)階FIR的單位沖激響應(yīng)為，經(jīng)過(guò)z變換以后的函數(shù)為：

（9）

令，得出h（n）的頻率響應(yīng)為：

（10）

在濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)之前首先要確定最優(yōu)化準(zhǔn)則，F(xiàn)IR濾波器中有兩種優(yōu)化準(zhǔn)則：均方誤差最小化準(zhǔn)則和最大誤差最小化準(zhǔn)則。本文選擇均方誤差最小化準(zhǔn)則，假如FIR濾波器的理想幅頻響應(yīng)為，實(shí)際的濾波器幅頻響應(yīng)為，則理想濾波器和實(shí)際濾波器在樣點(diǎn)上的兩個(gè)幅頻響應(yīng)和的誤差平方和為：

（11）

將式（10）代入式（11）可得式（12）：

（12）

根據(jù)均方誤差最小化準(zhǔn)則得出，當(dāng)E最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的濾波器系數(shù)就是所找到的最優(yōu)值。由式（12）可以看出，的最優(yōu)問(wèn)題是優(yōu)化問(wèn)題，所以能夠用改進(jìn)后的哈里斯鷹算法求解上述問(wèn)題。本文將式（12）作為適應(yīng)度函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)FIR濾波器，即：

（13）

由式（13）可知，越小，濾波器系數(shù)越小，對(duì)應(yīng)的濾波器性能越好。

改進(jìn)哈里斯鷹算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟 1：初始化種群。根據(jù)搜索空間的上下界和，并利用式（7）初始化種群內(nèi)個(gè)體。

步驟 2：計(jì)算初始適應(yīng)度值。根據(jù)式（13）計(jì)算種群的適應(yīng)度值，將適應(yīng)度值最優(yōu)的個(gè)體位置設(shè)為當(dāng)前獵物位置。

步驟 3：位置更新。在這一階段提出四種圍捕獵物的策略，并對(duì)應(yīng)四種不同的哈里斯鷹位置更新方式。用式（8）計(jì)算逃逸能量，并生成隨機(jī)數(shù)，若則鷹進(jìn)行軟包圍;若則鷹進(jìn)行漸進(jìn)式快速俯沖軟包圍;若則鷹進(jìn)行硬包圍;若則鷹進(jìn)行漸進(jìn)式快速俯沖硬包圍。

步驟 4：重新計(jì)算適應(yīng)度。重新根據(jù)式（13）計(jì)算更新位置后的適應(yīng)度值并與初始適應(yīng)度值進(jìn)行比較，如果優(yōu)于初始值，則將更優(yōu)適應(yīng)度值對(duì)應(yīng)的個(gè)體位置作為當(dāng)前種群位置，反之適應(yīng)度值不變。

步驟 5：重復(fù)步驟 3 和步驟 4，判斷迭代次數(shù)是否達(dá)到，如果達(dá)到，輸出當(dāng)前位置，此時(shí)最優(yōu)解即為濾波器的系數(shù);如果沒(méi)有達(dá)到，則返回繼續(xù)進(jìn)入循環(huán)。

5? ?仿真結(jié)果（Simulation results）

為了驗(yàn)證本文算法改進(jìn)的有效性，利用MATLAB軟件對(duì)基于改進(jìn)算法的FIR濾波器進(jìn)行仿真，并與用原始哈里斯鷹算法設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行對(duì)比。在仿真實(shí)驗(yàn)中，算法的參數(shù)設(shè)置為：種群大小，最大迭代次數(shù)。

例1：設(shè)計(jì)一個(gè)階數(shù)為N=20的低通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：

（14）

例2：設(shè)計(jì)一個(gè)階數(shù)為N=20的高通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：

（15）

例3：設(shè)計(jì)一個(gè)階數(shù)為N=20的帶通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：

（16）

例4：設(shè)計(jì)一個(gè)階數(shù)為N=20的帶阻濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：

（17）

利用改進(jìn)算法與原始算法優(yōu)化四類(lèi)FIR濾波器，得到的適應(yīng)度曲線如圖1—圖4所示，仿真結(jié)果表明，改進(jìn)算法具有更精確的收斂精度?；诟倪M(jìn)算法的四類(lèi)濾波器的幅頻響應(yīng)圖如圖5—圖8所示，仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的濾波器具有較理想的通帶和阻帶特性，說(shuō)明改進(jìn)算法能夠很好地解決實(shí)際問(wèn)題。

6? ?結(jié)論（Conclusion）

為了解決原始哈里斯鷹算法中收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題，本文提出一種改進(jìn)的哈里斯鷹算法。為了驗(yàn)證改進(jìn)效果，利用改進(jìn)算法求解FIR濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，與原始算法相比，基于改進(jìn)算法的FIR濾波器減小了通帶波動(dòng)，增大了阻帶衰減程度，濾波器性能更優(yōu)，證明了該方法的有效性。

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作者簡(jiǎn)介：

郭佳寧（2001-），女，本科生.研究領(lǐng)域：智能信號(hào)與信息處理.

楊? ?婧（2000-），女，本科生.研究領(lǐng)域：智能信號(hào)與信息處理.

劉? 婷（1981-），女，博士，副教授.研究領(lǐng)域：智能信號(hào)與信息處理.