成淑光

（西北大學(xué) 物理系，陜西 西安 710069）

0 引言

從20世紀(jì)80年代至今，隨著二維電子氣、石墨烯、拓?fù)浣^緣體等新材料的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展，凝聚態(tài)物理中新奇的電子輸運(yùn)性質(zhì)一直都是研究熱點(diǎn)［1-5］。人們通過(guò)電子輸運(yùn)手段來(lái)研究各種霍爾效應(yīng)、拓?fù)潆娮討B(tài)等問(wèn)題［6-10］。在理論研究方面，簡(jiǎn)單的緊束縛模型簡(jiǎn)單易用、操作方便，適用于處理像霍爾樣品這樣的多端口體系的電子輸運(yùn)問(wèn)題［11-15］。這些樣品的形貌通常比較規(guī)則，可以用簡(jiǎn)單的正方格子、六角格子、簡(jiǎn)立方格子等來(lái)模擬二維體系中的長(zhǎng)方形，三角形，六邊形，三維體系中的長(zhǎng)方體等。當(dāng)樣品形貌不規(guī)則時(shí)，需要處理的格點(diǎn)就變得復(fù)雜，在所需的模擬精度下，計(jì)算量巨大［16］。

這里我們提出基于緊束縛模型的扭曲格子來(lái)模擬不規(guī)則樣品形貌，將體系的尺寸映射到近鄰耦合系數(shù)，化簡(jiǎn)體系哈密頓來(lái)減小計(jì)算量。

1 一維體系

2 二維體系

圖1 （a）長(zhǎng)寬分別為lx，ly的長(zhǎng)方形區(qū)域；（b）離散化后的長(zhǎng)方形格子，x、y方向格子數(shù)同為N=15，因此x，y方向晶格常數(shù)分別為和。（c）連續(xù)模型和離散模型帶底的本征值對(duì)比。該圖對(duì)應(yīng)的參數(shù)為lx=20，ly=10，N=50Fig.1 （a）The rectangular sample considered with the lengthlxand the heightly.（b）The discretized rectangular lattice with 15 sites at each side.The lattice constants inx and ydirections areand.（c）The comparison of eigenvalues for a continuous model and a discrete model at the bottom of the band.The corresponding parameters are lx=20，ly=10，and N=50

接下來(lái)我們把這個(gè)模型推廣到更一般的二維體系電子輸運(yùn)體系情形。比如，我們要處理一個(gè)形如圖2（a）中的瓶頸結(jié)構(gòu)中的電子輸運(yùn)，如果使用正方格子緊束縛模型，就需要在邊緣裁切以獲得所需體系構(gòu)型。這需要構(gòu)造復(fù)雜的哈密頓。以往我們的做法是，先構(gòu)建一個(gè)圖2（b）所示的正方格子平板體系，這樣的體系格子排布有規(guī)律，方便編寫程序構(gòu)建哈密頓。再根據(jù)具體體系的形貌將體系和邊緣多余的部分的耦合系數(shù)設(shè)為零，構(gòu)建哈密頓編寫程序計(jì)算電子輸運(yùn)。我們提供另一種解決方法：將正方格子扭曲，中間瓶頸部分沿y方向的晶格常數(shù)按比例縮小，最后得到形如圖2（c）的格子。這樣就可以在格子數(shù)目不變的情況下，不改變哈密頓大小和結(jié)構(gòu)，只需把扭曲格子之間的距離換算成對(duì)應(yīng)的耦合系數(shù)，即通過(guò)改變格子之間的耦合系數(shù)，得到形如圖a的效果。后面會(huì)看到該方法對(duì)于三維體系，處理更方便，計(jì)算量也小得多。

圖2 正方格子構(gòu)成的瓶頸結(jié)構(gòu)（a）、正方格子平板結(jié)構(gòu)（b）、扭曲正方格子構(gòu)成的瓶頸結(jié)構(gòu)（c）Fig.2 Abottle neck shaped sample（a），a rectangular shaped sample（b），and a bottle neck shaped sample from square lattice（c）

針對(duì)具體的異形二維導(dǎo)體，形如圖3中兩種灰色樣品，我們將其連接到與樣品左右兩端同寬（W）的導(dǎo)線中，用非平衡格林函數(shù)方法計(jì)算其電子輸運(yùn)性質(zhì)［18］。左右導(dǎo)線的表面格林函數(shù)(E)可由迭代方法得到［19］。以左導(dǎo)線為例，推遲自能為=(E)tLc，這里tcL是中間區(qū)和左導(dǎo)線耦合矩陣。這樣，中間區(qū)的推遲格林函數(shù)表示為

圖3 二維紡錘形（a）和瓶頸形（b）體系的電導(dǎo)對(duì)費(fèi)米能級(jí)的依賴關(guān)系。圖中不同參數(shù)d的曲線對(duì)應(yīng)于不同程度形變的二維異形導(dǎo)體Fig.3 The conductance of two-dimensional fusiform（a）and bottle neck（b）shaped models versus the Fermi level.The parame‐terdrefers to the shape of the sample

圖3（a）中，當(dāng)d=0時(shí)，線性電導(dǎo)呈現(xiàn)量子化臺(tái)階特征。當(dāng)費(fèi)米能級(jí)等于0.05 t時(shí)，樣品中有3個(gè)態(tài)參與輸運(yùn)。對(duì)于輕微的形變，比如當(dāng)d=0.1時(shí)，電導(dǎo)表現(xiàn)出量子化臺(tái)階和共振隧穿的特征，表明紡錘形中間區(qū)有多個(gè)離散的能級(jí)。當(dāng)形變較大，比如d=0.5時(shí)，在費(fèi)米能級(jí)較小時(shí)，共振隧穿的電導(dǎo)峰變得尖銳，當(dāng)費(fèi)米能級(jí)變大時(shí)，電導(dǎo)峰變得雜亂無(wú)章。此時(shí)雖然電導(dǎo)小于量子化值，但是大于e2/h。對(duì)于瓶頸形的導(dǎo)體，輕微的形變下，電導(dǎo)曲線也體現(xiàn)出類似共振隧穿的特征。當(dāng)d很大時(shí)，電導(dǎo)除了體現(xiàn)出共振隧穿的特征，其最大值接近于e2/h。這是由于瓶頸區(qū)域只允許存在一個(gè)電子態(tài)，類似單能級(jí)量子點(diǎn)情形。

3 三維體系

以上討論的方案對(duì)于處理三維體系的電子輸運(yùn)特別方便。比如說(shuō)當(dāng)我們要處理截面形如圖4（a）的楔形樣品時(shí)，通常的做法是用正方格子將其離散化（如圖4（b-c）所示）。圖4（b）使用了92個(gè)正方格子來(lái)模擬，得到較為粗糙的楔形。圖4（c）使用了756個(gè)正方格子來(lái)模擬，得到較為精細(xì)的楔形。如采用上述的方案，只需處理如圖4（d）所示的128個(gè)梯形格子模型就得到很好的楔形樣品：不僅可以減少計(jì)算量，處理的哈密頓也簡(jiǎn)化不少。

圖4 （a）楔形截面；（b）離散化為大正方格子的楔形截面；（c）離散化為小正方格子的楔形截面；（d）離散化為梯形格子的楔形截面Fig.4 （a）Awedge-shaped cross section.Discretized wedge-shaped cross section from large（b）and small（c）squares.（d）Dis‐cretized wedge-shaped cross section from trapezoids

三維體系的哈密頓與二維類似［16］：

舉個(gè)例子，如果我們要研究形如圖5（a）的有特定截面形狀的Aharanov-Bohm（AB）環(huán)導(dǎo)體的電子輸運(yùn)，可按以下步驟構(gòu)建哈密頓。首先，構(gòu)建一個(gè)長(zhǎng)方體立方格子模型（見(jiàn)圖5（c））；其次保持x，y方向方格子不變，沿著z方向按照器件的具體形貌拉伸格子，得到形如5（b）的扭曲格子（這里只展現(xiàn)了一層）。從高到低均勻變化形變，最上層向上凸起，向下依次減小形變，最底層向下凸起。最后將體系的厚度換算成沿z方向的耦合系數(shù)tz(x，y)。然后將器件連接到形如圖5（d）的導(dǎo)線上計(jì)算電子輸運(yùn)性質(zhì)。

對(duì)于導(dǎo)線截面我們?nèi)「顸c(diǎn)數(shù)Nx=50，Nz=10。當(dāng)體系無(wú)形變時(shí)（見(jiàn)圖5（c）），我們計(jì)算了最低四個(gè)能級(jí)的波函數(shù)|Ψ|2分布。如圖5（e）所示，最低能級(jí)的波函數(shù)有一個(gè)極值，隨著能級(jí)的增加，波函數(shù)的峰數(shù)目也依次增大。這個(gè)結(jié)果類似于長(zhǎng)方形無(wú)限深勢(shì)阱中自由電子分布，它取決于寬邊的受限能級(jí)?？紤]形變后，圖5（d）體系對(duì)應(yīng)的波函數(shù)分布如圖5（f）。此時(shí)結(jié)果類似于正方形勢(shì)阱的波函數(shù)，第二個(gè)能級(jí)存在兩度簡(jiǎn)并。且截面上波函數(shù)都局域于中間，即最厚的區(qū)域。因此，圖5（a）中AB環(huán)導(dǎo)線中間以外的區(qū)域只要厚度較小，就無(wú)法承載電子態(tài)，使得電子態(tài)只局限在中間區(qū)域。

我們來(lái)看電子輸運(yùn)的結(jié)果。圖6（a）我們給出電流的空間分布圖（參數(shù)為圖6（b）中綠色箭頭和?=0），此處我們將垂直方向Nz=10層的電流求和。容易看到，電流很好地分布在圖5（a）中厚度較大的環(huán)形區(qū)域。這是體系構(gòu)成AB環(huán)的第一個(gè)證據(jù)。

圖5 （a）導(dǎo)體AB環(huán)；（b）構(gòu)建AB環(huán)的格點(diǎn)的其中一層；（c）立方格子構(gòu)成的塊狀導(dǎo)體；（d）連接圖（a）AB環(huán)的導(dǎo)線；（e-f）導(dǎo)體（c）和（d）對(duì)應(yīng)的四個(gè)最低能級(jí)波函數(shù)空間分布Fig.5 （a）AnAB ring.（b）One layer from the three-dimensional lattice for anAB ring.（c）Acuboid conductor from cubic lattice.（d）The terminal for theAB ring in（a）.（e）/（f）Space distribution of wave-functions for the four lowest eigenvalues in samples（c）/（d）

隨著費(fèi)米能級(jí)的變化，電導(dǎo)呈現(xiàn)一系列尖銳的共振隧穿峰（見(jiàn)圖6（b）），且峰值為e2/h，對(duì)應(yīng)于導(dǎo)線截面的本征值。它類似于二維無(wú)限深勢(shì)阱的本征值。取圖中四個(gè)極值點(diǎn)，我們來(lái)看電導(dǎo)隨磁場(chǎng)的變化關(guān)系G(?)。這里電導(dǎo)呈現(xiàn)幾個(gè)特征：1）所有情形下，?=0處的電導(dǎo)為極值［20］；2）所有情形下，G(?)隨磁場(chǎng)周期變化且擁有相同的周期?～0.006 9；3）費(fèi)米能級(jí)較小時(shí)，G(?)只有一個(gè)周期，費(fèi)米能級(jí)較大時(shí)，比如圖6（e），G(?)含有兩個(gè)周期。

圖 6 （a）導(dǎo)體AB環(huán)電流場(chǎng)圖（?=0，E=0.355 t）；（b）體系電導(dǎo)隨費(fèi)米能級(jí)變化關(guān)系，此時(shí)磁場(chǎng)為零。（c-f）圖（b）中四個(gè)費(fèi)米能級(jí)下，電導(dǎo)隨著磁場(chǎng)?的變化關(guān)系Fig.6 （a）Current field plot for anAB ring（?=0，E=0.355 t）.（b）G?Erelation under zero magnetic field.（c-f）G?? relation for four Fermi level（E）values in（b）

電導(dǎo)G(?)的周期可作為體系是否作為第二個(gè)AB環(huán)的證據(jù)。構(gòu)建模型中我們?nèi)…h(huán)的半徑為整個(gè)器件x-y面內(nèi)切圓半徑的0.7倍。整個(gè)器件x-y平面包含個(gè)格點(diǎn)，所以環(huán)包含的區(qū)域有 (Nx?1)2×0.72π/4個(gè)格點(diǎn)。因此通過(guò)整 個(gè) 環(huán) 的 磁 通 相 位 為 (50?1)2×0.72π*0.006 9/4≈2π。因此我們構(gòu)建的整個(gè)體系是個(gè)良好的AB環(huán)。此外如果計(jì)算空間電流分布也能得出相同的結(jié)論。

4 結(jié)論

本文中，我們以二維、三維無(wú)相互作用電子氣為例，介紹了計(jì)算異形導(dǎo)體電子輸運(yùn)的簡(jiǎn)單方案。該方法簡(jiǎn)化了處理體系的哈密頓，尤其對(duì)于三維體系，可極大減小計(jì)算量。具體地，我們計(jì)算了二維紡錘形和瓶頸形導(dǎo)體、以及三維AB環(huán)的電子輸運(yùn)，并解釋了結(jié)果。值得注意的是該方法還適用于三維拓?fù)浣^緣體和拓?fù)浒虢饘俚润w系的電子輸運(yùn)的計(jì)算。