劉桂榮，張劉雄

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

傳染病一直存在于人類和社會(huì)的發(fā)展過程中，會(huì)嚴(yán)重危及人民的生命安全，例如SARS，COV?ID-19，因而研究傳染病的傳播規(guī)律并給出科學(xué)控制措施具有重大意義。關(guān)于傳染病動(dòng)力學(xué)的早期研究可以追溯到Ross針對(duì)瘧疾建立的SIS模型［1］以及Kermack和McKendrick建立的SIR傳染病模型［2］。此后，國(guó)內(nèi)外科學(xué)工作者在傳染病動(dòng)力學(xué)研究方面取得了大量較好的成果［3-4］。

由于傳染病的傳播是通過個(gè)體間接觸發(fā)生的，且個(gè)體間的接觸行為具有較大的異質(zhì)性，從而在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上建立傳染病模型是更加合理的［5-9］。此外，傳染病傳播過程中，不可避免地會(huì)受到各種環(huán)境隨機(jī)因素的影響，進(jìn)而利用隨機(jī)過程來刻畫傳染病的傳播更符合傳染病傳播的實(shí)際。因此建立復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的隨機(jī)傳染病模型具有更現(xiàn)實(shí)的意義［10-11］。文獻(xiàn)［11］建立了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的隨機(jī)SIR模型，并利用大數(shù)定律和中心極限定理分別給出了該模型最終染病規(guī)模的收斂性和分布。然而在現(xiàn)實(shí)中許多傳染病具有潛伏期，例如流感，麻疹等［9］。有的傳染病潛伏期與傳染期相比并不短，不容忽視，例如艾滋病。此外，最終染病規(guī)模是一個(gè)重要的傳染病傳播指標(biāo)。為此，本文將研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的隨機(jī)SEIR模型的最終染病規(guī)模。

1 隨機(jī)SEIR模型的建立

不考慮個(gè)體的出生和死亡，并假設(shè)人口規(guī)模為N。SEIR模型下個(gè)體的狀態(tài)分別是易感者（S）、潛伏者（E）、感染者（I）或恢復(fù)者（R）。易感者被感染后變?yōu)闈摲?；潛伏期結(jié)束后，潛伏者變成感染者；感染者恢復(fù)后變?yōu)榛謴?fù)者；1/υ為平均潛伏期，1/γ為感染者的病程。令K為最大度，Sk(t)，Ek(t)，Ik(t)，Rk(t)(k=1，2，…，K)分別表示t時(shí)刻度為k的易感者、潛伏者、感染者和恢復(fù)者的數(shù)量；pk(k=1，2，…，K)為網(wǎng)絡(luò)的度分布，Nk是度為k的人數(shù)。

表1 隨機(jī)SEIR模型的狀態(tài)改變量的變化率Table 1 Change rates of state changes in the stochastic SEIR model

2 最終染病規(guī)模的收斂性

3 最終染病規(guī)模的分布

圖1 （a）和（b）分別是度為1和5的最終染病規(guī)模的直方圖；光滑曲線為理論結(jié)果Fig.1 (a)and(b)arethehistogramsofthefinalepidemicsizeswithdegrees1and5,respectively;Smoothcurvesarethetheoreticalresults

4 數(shù)值模擬

假設(shè) N=5 000，K=5，λ=0.3，υ=0.7，γ=0.8，p1=0.4，p2=0.2，p3=0.2，p4=0.1，p5=0.1，S1(0)=1 900，S2(0)=950，S3(0)=980，S4(0)=485，S5(0)=490，E1(0)=50，E2(0)=25，E3(0)=10，E4(0)=5，E5(0)=5，I1(0)=50，I2(0)=25，I3(0)=10，I4(0)=10，I5(0)=5。求得傳染病滅絕時(shí)間 τ=0.959 6，每個(gè)子群中染病規(guī)模密度 v1(τ)=0.064 7，v2(τ)=0.052 1，v3(τ)=0.065 4，v4(τ)=0.041 2，v5(τ)=0.047 6。 理 論 正 態(tài) 分 布 V1(τX)～N(323.5，1 071)，V2(τ)～N(260.5，898.5)，V3(τX)～N(327，1 663)，V4(τX)～N(206，635)，V5(τX)～N(238，791.5)。 用 Gillespie 算 法 模 擬 了10 000次樣本路徑，得到不同度的最終染病規(guī)模的直方圖，驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

5 結(jié)論

利用隨機(jī)過程理論建立了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上隨機(jī)SEIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型，利用隨機(jī)時(shí)間變換等方法簡(jiǎn)化了分析過程。定理2揭示了，當(dāng)人口規(guī)模N→∞時(shí)，最終染病規(guī)模將依概率收斂于一個(gè)確定的隨機(jī)變量。定理3給出了傳染病最終染病規(guī)模的分布，進(jìn)而可以給出傳染病最終染病規(guī)模的均值與協(xié)方差，為傳染病最終染病規(guī)模的精確預(yù)測(cè)提供理論依據(jù)。最后數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的合理性。從數(shù)值模擬中可以看到，度越大被感染的人數(shù)就越多。因此在防治傳染病過程中可以通過隔離或其他相關(guān)政策來減少人與人之間的接觸，從而更好的控制傳染病的傳播。本文在建立傳染病模型時(shí)忽略了人口的出生和死亡，沒有考慮網(wǎng)絡(luò)度相關(guān)性、疫苗接種等因素。這些相關(guān)問題有待進(jìn)一步研究。