利 國，張?zhí)K雅拉吐，黃美容，王德鑫，李 雪，牛丹丹，蒙古夫

（1.內(nèi)蒙古民族大學 核物理研究所，內(nèi)蒙古 通遼 028043；2.內(nèi)蒙古民族大學 數(shù)理學院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

在人類歷史發(fā)展的進程中，從未停止過對宇宙的探索。特別是隨著科學技術的發(fā)展進步，人類對宇宙的認識得到了很大的發(fā)展。天文學和物理學結(jié)合形成的天體物理學，試圖揭示宇宙的奧秘。期間人們意識到了各學科協(xié)同工作的重要性，所以研究微觀世界的核物理與研究宏觀世界的天體物理自然融合形成了前沿交叉學科——核天體物理學［1］。核天體物理是應用核物理的知識和規(guī)律來闡釋宇宙演化進程中化學元素合成及演化過程，來說明恒星中核燃燒產(chǎn)生的能量及其對恒星結(jié)構(gòu)和演化的影響。

宇宙的起點是大爆炸，在大爆炸中產(chǎn)生了氫、氦以及少量的鋰元素，隨著溫度的逐漸降低，在萬有引力的影響下開始形成了主序星，如太陽等。主序星生命中絕大部分時間處于它們的青壯年時期，其內(nèi)部主要進行的是氫燃燒。氫燃燒的產(chǎn)物是氦，隨著恒星內(nèi)核的氫消耗盡而后形成氦核，自此恒星進入了它們的老年階段——紅巨星［2］。與太陽的質(zhì)量差不多的恒星，在經(jīng)歷一系列核過程后，最終演變成一顆黯淡而又矮小的白矮星。質(zhì)量比太陽大的恒星也會經(jīng)歷其他的核燃燒階段，形成從內(nèi)向外分層的結(jié)構(gòu)，最終以超新星爆發(fā)的形式結(jié)束恒星的一生。

核天體物理學主要研究元素的合成及天體演化。建立天體核合成的核反應網(wǎng)絡方程，可以模擬天體演化過程中的核素豐度變化、能量的釋放、反應路徑等。舒能川［3］、侯素清［4］曾建立并求解了新星爆炸、大爆炸中的核合成過程的核反應網(wǎng)絡方程。筆者旨在建立主序星內(nèi)部進行的氫燃燒低溫階段的質(zhì)子-質(zhì)子鏈式反應（PP-chain）的核反應網(wǎng)絡方程，并利用二階Rosonbrock法來求解該方程，最后得到核反應網(wǎng)絡中涉及的核素的豐度隨時間變化的情況，并與核天體物理學界常用計算程序MESA的結(jié)果進行比較。

1 質(zhì)子-質(zhì)子鏈式反應（PP-chain）

到了主序星階段，恒星的氫燃燒過程就開始了。氫是宇宙中豐度最大的同位素。由4個氫聚變成1個氦的過程叫做氫燃燒。氫燃燒需要的最低溫度為7×106K。而且恒星的質(zhì)量至少達到0.08倍太陽質(zhì)量。氫在平穩(wěn)氫燃燒中轉(zhuǎn)化為氦的2種主要機制稱為質(zhì)子-質(zhì)子鏈和CNO循環(huán)。

質(zhì)子-質(zhì)子鏈由3個系列熱核反應組成，每個系列的總體效果都是4個氫轉(zhuǎn)化為1個氦，并釋放26.7 MeV的能量。這些鏈之所以被稱為質(zhì)子-質(zhì)子鏈，是因為它們是由2個質(zhì)子（或1H原子核）的聚變開始的。質(zhì)子-質(zhì)子鏈反應有3條不同的途徑，見圖1。

圖1 質(zhì)子-質(zhì)子鏈反應Fig.1 PP-chain reaction

這3條鏈都導致氫到氦的轉(zhuǎn)換。由于沒有2He的天然態(tài)，2個氫原子核之間的反應必然涉及1個質(zhì)子轉(zhuǎn)變?yōu)?個中子，這個中子進一步與質(zhì)子結(jié)合，得到D（氘原子核，或由1個質(zhì)子和1個中子組成的重H）。反應產(chǎn)生的D會在大約2.5 s內(nèi)快速吸收質(zhì)子轉(zhuǎn)變成3He，導致太陽中D與H平衡時的豐度比例僅有D/H～3×10-18。然后是2個3He核之間的反應，產(chǎn)生1個4He核和2個質(zhì)子。這種所謂的PPⅠ鏈基本上發(fā)生在（10～20）×106K的溫度和大約100 g·cm-3的密度下。這就是發(fā)生在太陽內(nèi)部的基本核過程。對于比太陽大的恒星，如果溫度高于2.0×107K，隨著4He的豐度增加，其本身可以作為催化劑，誘發(fā)所謂的PPⅡ和PPⅢ鏈。這2個PP鏈的首個反應發(fā)生在3He和4He之間，生成7Be和1個質(zhì)子。接著，7Be有2種命運，在能量相對較低時（（2～3）×107K），它俘獲1個電子生成7Li核。7Li同質(zhì)子反應產(chǎn)生8Be，8Be特別不穩(wěn)定，會在10-16s內(nèi)衰變成2個4He。這條反應鏈被叫做PPⅡ鏈。7Be也可以俘獲1個質(zhì)子生成8B。8B接著通過β衰變變成8Be，再變成2個4He，即PPⅢ鏈。

2 核反應網(wǎng)絡方程

為了比較給定環(huán)境中元素或核素的數(shù)目，人們經(jīng)常使用元素豐度來度量核素的多少。元素豐度的計算公式為：

其中，Ai表示第i個核素的質(zhì)量數(shù)，Xi表示其占總質(zhì)量的分數(shù)，即質(zhì)量分數(shù)。由于元素的原子量差別較大，單從質(zhì)量分數(shù)還不能直觀比較核素的數(shù)目。因此，人們喜歡使用豐度來研究恒星的元素演變過程。

核素豐度變化（包括產(chǎn)生和消耗）可以用如下微分方程來表示：

其中：Yx代表第x個核素的豐度；Cx是為避免重復計算而設定的系數(shù)，正值代表產(chǎn)生反應，負值代表消滅反應；Rx代表單位體積下核過程的速率（反應率），ρ和NA分別代表密度和阿伏伽德羅常數(shù)。等號右邊的3項分別對應于單體、兩體和三體反應。

核反應網(wǎng)絡方程中涉及到的反應率取自JINA RECLIB數(shù)據(jù)庫，當前版本的數(shù)據(jù)庫將反應率作為溫度的函數(shù)，如式（3）所示。只要確定函數(shù)中的7個參數(shù)ɑ0～ɑ6，就確定了某個特定的反應率，即反應率進行了參數(shù)化［5］。

表1 PP-chain核反應網(wǎng)絡方程反應率參數(shù)Tab.1 PP-chain nuclear reaction network equation reaction rate parameter

3 程序設計求解核反應網(wǎng)絡方程

前面已經(jīng)寫出了質(zhì)子-質(zhì)子鏈核反應網(wǎng)絡方程的表達式（4），該網(wǎng)絡方程是一個一階耦合的常微分方程組。其更具一般性的數(shù)學表達式如下：

要求解微分方程，必須對初始值進行賦值。所以最終求解核反應網(wǎng)絡方程就變?yōu)橐粋€常微分方程初值問題。

在質(zhì)子-質(zhì)子鏈中，2個1H融合為1個2D，這是一個弱反應，反應截面非常小，此反應過程相當漫長，有幾十億年。而生成的2D俘獲一個1H生成3He的反應，在太陽內(nèi)部條件下反應時間只有幾秒?？梢姸呦嗖罴s17個量級。而且各核素豐度數(shù)量級之間差別也很大。幾乎所有的核反應都有類似的情況。所以核反應網(wǎng)絡方程構(gòu)成了剛性微分方程［6］。對于剛性微分方程，這里利用二階Rosenbrock公式來求解。

對于求解常微分方程組，需給定初值［7］。質(zhì)子-質(zhì)子鏈核反應網(wǎng)絡方程，初值即各核素的初始豐度。由于質(zhì)子-質(zhì)子鏈是恒星演化第一步的第一階段氫燃燒，所以初始豐度選取恒星剛剛形成時的元素構(gòu)成，大約75%的氫，25%的氦。換算成豐度表示見表2。

表2 PP-chain核反應網(wǎng)絡方程初始核素豐度Tab.2 PP-chain nuclear reaction network equation initial nuclide abundance

核反應網(wǎng)絡方程中的反應率是溫度的函數(shù)，而且方程中還需知道反應物質(zhì)的密度。筆者采取了質(zhì)子-質(zhì)子鏈氫燃燒的典型的溫度T9=0.015，ρ=160 g·cm-3。核反應的時間設定為1×1022s，在這個時間內(nèi)能進行完整的質(zhì)子-質(zhì)子鏈氫燃燒。

4 程序運行結(jié)果

恒星天體物理實驗模塊MESA（Modules for Experiments in Stellar Astrophysics）是一套開源、穩(wěn)固、高效、線程安全的庫，適用于計算恒星天體物理的廣泛應用。MESA有很多模塊構(gòu)成，不同模塊用于實現(xiàn)不同的模擬功能［8］。其中，net模塊可以用來求解核反應網(wǎng)絡方程。在該模塊下，首先建立核反應網(wǎng)絡方程文件（.net），該文件內(nèi)需寫入核反應涉及到的核素和核反應式。然后在列表文件（inlist_one_zone_burn）中設定溫度、密度、反應時間以及需要輸出的數(shù)據(jù)。運行程序后就可得到核素豐度隨時間變化的數(shù)據(jù)文件。筆者將以MESA程序的結(jié)果作為標準驗證此次自主設計的程序的正確性。

本次設計的程序與MESA的運行結(jié)果比較情況見圖2?？梢钥吹?，氫燃燒開始時，只有75%的1H和25%的4He。隨著時間的推移，3He、7Li、7Be、8B豐度增加，過了1012s后各核素豐度達到了平衡階段，一直持續(xù)到1017s。之后除了4He外，其他核素豐度逐漸減少，即逐漸完成了從氫核合成變成氦的氫燃燒階段。同時也可以發(fā)現(xiàn)，自主設計的程序與MESA的運行結(jié)果很好地符合，都很好地反應了氫燃燒過程中化學元素含量的演化情況。從而證明自主設計程序的計算結(jié)果是可靠的。

圖2 PP-chain核素豐度隨時間的演化情況Fig.2 Evolution of PP-chain nuclide abundance with time

MESA的主要功能是模擬恒星演化，需要各模塊之間相互配合實現(xiàn)模擬功能。因此，MESA程序結(jié)構(gòu)復雜占用計算機內(nèi)存空間較大，而且必須在Linux和Mac操作系統(tǒng)下使用。而此次自主設計程序?qū)ｉT用來求解核反應網(wǎng)絡方程，占用內(nèi)存小，程序結(jié)構(gòu)簡單，能根據(jù)需要方便地進行修改。

5 結(jié)束語

根據(jù)恒星演化第一步氫燃燒階段發(fā)生的核反應，建立了PP-chain核反應網(wǎng)絡方程。由于核反應網(wǎng)絡方程是剛性的，在給定了初始核素豐度、溫度、密度和演化時間的情況下，利用二階Rosenbrock公式進行了求解。求解核反應網(wǎng)絡方程后，得到了各核素豐度隨時間的演化情況。結(jié)果準確地模擬了PP-chain氫燃燒的演化過程，并且與MESA的運行結(jié)果一致。說明本文的核反應網(wǎng)絡方程的建立和求解方法是準確的。基于本工作，下一步計劃建立和求解更大的核反應網(wǎng)絡方程，從而對恒星及宇宙中其他演化過程進行模擬。