聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 呂美琪 韓紅燕 劉婷婷 孫忠貴

作為一種常用的圖像分割算法，模糊C均值聚類(FCM)對噪聲過于敏感。針對此缺陷，研究者們提出了諸多改進(jìn)算法。然而，現(xiàn)有算法在面對較為復(fù)雜的噪聲場景時(shí)，所得圖像分割效果往往不令人滿意。通過對經(jīng)典FCM算法的目標(biāo)函數(shù)施加非局部正則化，該文給出一個(gè)FCM非局部改進(jìn)算法(FCM_UNL)。在復(fù)雜噪聲場景下進(jìn)行圖像分割時(shí)，F(xiàn)CM_UNL能保持較高的分類精度。初步的圖像分割實(shí)驗(yàn)表明了所提算法的有效性。

圖像分割是圖像處理的關(guān)鍵內(nèi)容之一，分割質(zhì)量的好壞往往對后續(xù)的圖像識別、分析等環(huán)節(jié)有著直接影響[1,2]。因此，圖像分割一直是計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。而聚類算法則是一類常用的圖像分割工具[3,4]。與傳統(tǒng)聚類非此即彼的硬劃分相比，模糊C均值聚類(Fuzzy C-Means，F(xiàn)CM)[5]充分利用了模糊理論在類別描述上的靈活性，克服了硬劃分的缺陷，能更靈活地反映現(xiàn)實(shí)事物的類屬關(guān)系，從而有可能取得更好的圖像分割效果。FCM的相關(guān)研究也吸引著眾多科研工作者的關(guān)注。

目前FCM用于圖像分割的具體研究主要集中在單一高斯噪聲，而實(shí)際的圖像獲取過程往往會(huì)受到更為復(fù)雜噪聲的影響，因此開展復(fù)雜噪聲場景下的FCM圖像分割研究更具有實(shí)用價(jià)值。近年，在圖像增強(qiáng)領(lǐng)域已有了一些關(guān)于復(fù)雜噪聲去除的相關(guān)研究[6,7]。文獻(xiàn)[6]通過重新定圖像塊的相似度量，設(shè)計(jì)出一個(gè)通用的非局部濾波算法(Universial NonLocal Means，UNLM )，UNLM不但能濾除高斯噪聲，還能濾除脈沖噪聲及高斯與脈沖兩者的混合噪聲。受文獻(xiàn)[6]工作的啟發(fā)，本文擬對FCM開展通用的非局部改進(jìn)，以增強(qiáng)其在復(fù)雜噪聲場景下圖像的分割性能。

本文第1節(jié)對FCM及一些現(xiàn)有的改進(jìn)算法進(jìn)行總結(jié)，并指出這些算法各自的優(yōu)、缺點(diǎn)，說明它們面對復(fù)雜噪聲場景，圖像分割性能下降的主要原因。結(jié)合第1節(jié)的分析，第2節(jié)給出一個(gè)FCM算法的通用非局部改進(jìn)模型，并通過模型求解，使改進(jìn)算法得到具體實(shí)現(xiàn)。第3節(jié)給出本文相關(guān)算法的圖像分割仿真實(shí)驗(yàn)，測試所提算法有效性。最后總結(jié)全文，并對未來值得進(jìn)一步研究的方向進(jìn)行初步探討。

1 經(jīng)典FCM及現(xiàn)有改進(jìn)算法

1.1 經(jīng)典FCM算法

令X={x1,x2,…,xn}表示有n個(gè)像素點(diǎn)的圖像，其中xi為第i個(gè)像素的灰度值，則經(jīng)典FCM算法為了把圖像分割為c類定義如下目標(biāo)函數(shù)：

約束條件為：

在上式中||·||為歐幾里得范數(shù)，m(m＞1)為模糊參數(shù)。通過拉格朗日乘子法對Jm求最小值，隸屬度與聚類中心如下：

通過選取初始聚類中心，對(3)式進(jìn)行迭代優(yōu)化，得到各聚類中心的隸屬度，從而完成對圖像X的分割。

1.2 現(xiàn)有改進(jìn)算法

經(jīng)典FCM算法對噪聲十分敏感，在對含噪圖像進(jìn)行分割時(shí)往往不能獲得理想效果[5]。為彌補(bǔ)FCM算法的這一缺陷，研究者們開展了一系列工作：

以鄰域像素構(gòu)成正則項(xiàng)，通過對FCM目標(biāo)函數(shù)施加空域正則化約束，文獻(xiàn)[8]提出了FCM_S算法，其目標(biāo)函數(shù)如下：

其中β為正則化參數(shù)，Si為第i個(gè)像素的鄰域，SR為相應(yīng)領(lǐng)域中像素的數(shù)量。FCM_S較傳統(tǒng)FCM算法在圖像分割中對噪聲的魯棒性明顯提高。然而，由于FCM_S算法涉及大量鄰域計(jì)算，較FCM算法運(yùn)算復(fù)雜度增加十分明顯。為提高FCM_S的運(yùn)算效率，文獻(xiàn)[9]提出FCM_S1與FCM_S2算法，分別用均值濾波（FCM_S1）或中值濾波（FCM_S2）取代FCM_S中的鄰域計(jì)算，先得到一幅濾波圖像，然后以此濾波圖像為參考圖像，并將其與目標(biāo)圖像相結(jié)合進(jìn)行圖像分割。在保證對噪聲魯棒性的同時(shí)，F(xiàn)CM_S1與FCM_S2算法在運(yùn)算速度方面較FCM_S有了明顯提升。

其中FCM_S1與FCM_S2的目標(biāo)函數(shù)分別為：

上面目標(biāo)函數(shù)中α為正則化參數(shù)，與別為第i個(gè)像素的均值與中值濾波輸出。

非局部均值濾波器(NonLocal Means，NLM)[10]由于更好地利用了圖像的周期性，取得了較傳統(tǒng)濾波算法更優(yōu)秀的去噪效果，并在圖像增強(qiáng)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[11-13]。受NLM算法的啟發(fā)，文獻(xiàn)[14]將NLM濾波取代FCM_S1算法中的局部均值濾波得到一個(gè)非局部的FCM改進(jìn)算法，并稱之為FCM_NLS，其目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)化為：

需注意，上述這些對FCM的改進(jìn)算法主要是針對單一高斯噪聲，且污染強(qiáng)度不高的情況。考慮到實(shí)際的圖像獲取圖像過程往往會(huì)受更為復(fù)雜噪聲的污染(如強(qiáng)噪聲或混合噪聲)。如何使FCM算法能在復(fù)雜噪聲場景保持好的圖像分割性能就變得很有意義。

2 FCM非局部改進(jìn)算法(FCM_UNL)

在圖像增強(qiáng)領(lǐng)域，已有一些利用非局部策略對復(fù)雜噪聲進(jìn)行濾除的工作[6,7]。其中文獻(xiàn)[6]提出的通用非局部濾波器(UNLM)在濾除強(qiáng)高斯噪聲及高斯、脈沖混合噪聲時(shí)均取得了較好效果。在UNLM中像素i與像素j間權(quán)值wij獲取步驟如下：

算法開始：初始化最小圖像塊邊長dmin，最大圖像塊邊長dmax

(1)d=dmin;

(2)若d≤dmax，計(jì)算匹配塊中可信像素的指標(biāo)集KU[6]，否則轉(zhuǎn)（6）;

(3)若j?KU，轉(zhuǎn)(6);

(4)若KU＜T則d=d+1，轉(zhuǎn)(2)；(T為可信閾值，默認(rèn)為15)

(6)wij=0；

算法結(jié)束。

與NLM類似，UNLM在本質(zhì)上依然是一個(gè)加權(quán)濾波器，其中第i個(gè)像素的濾波輸出為。將此濾波輸出用于FCM算法的非局部正則化約束，得到改進(jìn)算法FCM_UNL的數(shù)學(xué)模型：

相應(yīng)拉格朗日函數(shù)為：

分別令

得

從而得到FCM_UNL模型的解。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

實(shí)驗(yàn)采用一幅人工合成圖像，首先對圖像施加不同程度的高斯噪聲、高斯與脈沖混合噪聲，然后進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，從分割精度(Clustering Accuracy, CA)[15]與視覺效果兩個(gè)方面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較。其中脈沖噪聲強(qiáng)度用方差σ表示，脈沖噪聲強(qiáng)度用r表示。分割精度CA采用下式計(jì)算：

其中C為類別總數(shù)，Ai是分割算法得到的第i類的像素集，Ci為第i類像素的正確參照，|·|為相應(yīng)集合中元素的數(shù)量。

在具體實(shí)驗(yàn)中，本文所提FCM_UNL算法的正則化參數(shù)α取值為6，圖像塊的搜索邊長從dmin=4到dmax=6，搜索窗邊長為21?？紤]到實(shí)際中噪聲類型、強(qiáng)度等往往為未知數(shù)，為增強(qiáng)算法的實(shí)際應(yīng)用，F(xiàn)CM_UNL在進(jìn)行非局部濾波時(shí)，受文獻(xiàn)[14]啟發(fā)，F(xiàn)CM_UNL中高斯核參數(shù)h固定為30，不再依賴具體噪聲類型及強(qiáng)度。實(shí)驗(yàn)中其余算法的參數(shù)選擇均依照原始文獻(xiàn)。

圖 1 高斯噪聲σ = 50 時(shí)人工合成圖像分割的視覺效果Fig.1 Segmentation results on the synthetic corrupted byGaussian noise with σ=50

3.1 單一高斯噪聲情況

對一幅人工合成圖像施加不同強(qiáng)度高斯噪聲，然后采用不同算法進(jìn)行圖像分割，各算法對圖像的分割精度如表1所示。其中σ=50時(shí)分割視覺效果如圖1所示。

表1 不同強(qiáng)度高斯噪聲下人工合成圖像分割精度（CA）Tab.1 Segmentation accuracy of synthetic image under different intensity Gaussian noise(CA)

由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，對單一高斯噪聲環(huán)境，隨噪聲強(qiáng)度的增加(方差大于30)，本文所提算法(FCM_UNL)在所有比較算法中均取得最高的分割精度與最好的視覺效果。

3.2 混合噪聲情況

對圖像施加不同程度的混合噪聲，不同算法的分割精度如表2所示。

表2 脈沖與高斯混合噪聲下人工圖像的分割精度（CA）Tab.2 Segmentation accuracy of artificial image under impulse and Gaussian mixture noise(CA)

當(dāng)r=0.2，σ=50時(shí)的視覺效果如圖2所示。

4 結(jié)論

本文對經(jīng)典FCM算法的目標(biāo)函數(shù)施加通用非局部正則化空域約束，提出了一個(gè)FCM的改進(jìn)算法(FCM_UNL)，并將其用于圖像分割任務(wù)。FCM_UNL算法克服了現(xiàn)有一些FCM改進(jìn)算法只能處理單一噪聲的缺陷，仿真實(shí)驗(yàn)表明，相對于一些現(xiàn)有改進(jìn)算法，F(xiàn)CM_UNL在復(fù)雜噪聲場景下依然能夠取得良好的圖像分割效果。需注意的是，如同F(xiàn)CM_NLS算法，本文提出的FCM_UNL算法由于實(shí)現(xiàn)過程中要進(jìn)行非局部濾波，這使得其運(yùn)行速度較一些局部正則化改進(jìn)算法有所降低。因此，如何提升對FCM_UNL算法的運(yùn)算速度，將值得進(jìn)一步開展研究。

圖 2 混合噪聲為r=0.2σ=50時(shí)人工合成圖像分割的視覺效果Fig.2 Segmentation results on the synthetic corrupted bymixed noise with r = 0.2 and σ=50

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