翟小飛，李鑫航，劉 華，彭之然

(海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430033)

電磁軌道發(fā)射裝置是利用電磁力推動(dòng)電樞在膛內(nèi)高速運(yùn)動(dòng)的新型發(fā)射裝置，由于沒有傳統(tǒng)火藥武器的聲滯制約，可以突破傳統(tǒng)火藥武器的出口速度限制，實(shí)現(xiàn)超高速[1-2]。電感梯度是電磁軌道炮的重要參數(shù)之一，其大小直接影響電樞電磁推力的大小，并對電磁軌道發(fā)射裝置的發(fā)射效率和出口動(dòng)能有著直接影響[3-5]。導(dǎo)軌中的電流分布以及導(dǎo)軌間的磁場分布是電感梯度直接決定因素，除了發(fā)射裝置的結(jié)構(gòu)、導(dǎo)軌截面形狀、幾何尺寸、導(dǎo)軌間距和材料屬性等因素會(huì)影響電流密度分布，輸入電流波形、導(dǎo)軌電流擴(kuò)散過程以及速度趨膚效應(yīng)等因素也會(huì)對導(dǎo)軌電流密度和空間磁場分布產(chǎn)生直接的影響，進(jìn)而影響電感梯度大小[6]。

Kerrisk提出的高頻電感梯度計(jì)算方法，以電流完全趨于表面為假設(shè)，而Grover提出的低頻電感梯度計(jì)算方法，假設(shè)電流均勻分布于整個(gè)導(dǎo)軌，因此這兩種方法計(jì)算出的電感梯度都不會(huì)隨電樞發(fā)射過程而變化[7-9]。但是，電樞發(fā)射過程中導(dǎo)軌中的電流密度分布和空間磁場不斷變化，導(dǎo)致裝置儲(chǔ)能電感和電感梯度是時(shí)變的，因此電樞發(fā)射過程中獲得準(zhǔn)確電感梯度變化值是獲得推力變化過程的關(guān)鍵，也是提高系統(tǒng)仿真精度的關(guān)鍵。通過有限元軟件進(jìn)行電磁場仿真從而獲得電感梯度等電磁參數(shù)，并將電感梯度等參數(shù)代入系統(tǒng)電氣仿真模型與實(shí)際發(fā)射試驗(yàn)進(jìn)行對比分析，是當(dāng)前常用的一種做法。文獻(xiàn)[10]進(jìn)行了二維模型仿真分析，將獲得的電感梯度用于電氣系統(tǒng)仿真模型中，電樞出口速度的仿真值高于試驗(yàn)值。文獻(xiàn)[11]根據(jù)三維模型中電樞推力曲線獲得的電感梯度用于系統(tǒng)仿真，仿真結(jié)果與試驗(yàn)誤差較大。

本文分別推導(dǎo)了導(dǎo)軌間磁場均勻分布和非均勻分布情況下電感梯度L′a數(shù)學(xué)計(jì)算模型。引入速度頻率fv，能夠在電樞靜止的有限元仿真模型中，對電樞運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的趨膚效應(yīng)進(jìn)行仿真，從而獲得動(dòng)態(tài)電感梯度參數(shù)。建立了全系統(tǒng)仿真模型，將二維模型獲得的單位長度電感Lu用于系統(tǒng)電感參數(shù)計(jì)算。將三維模型獲得的電樞動(dòng)態(tài)電感梯度L′a用于電樞推力計(jì)算。仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，提高了系統(tǒng)仿真精度，表明提出的電感梯度分析方法和參數(shù)提取方法的正確性。

1 工作原理

電磁軌道發(fā)射裝置工作原理是通電電樞在磁場中產(chǎn)生電磁推力從而推動(dòng)電樞直線運(yùn)動(dòng)，電樞和導(dǎo)軌受力情況如圖1所示。通電導(dǎo)軌在導(dǎo)軌內(nèi)側(cè)空間中形成了垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1，在導(dǎo)軌外側(cè)空間形成了垂直紙面向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2。電樞在B1磁場區(qū)域產(chǎn)生向前電磁推力Fa，導(dǎo)軌中電流水平分量產(chǎn)生導(dǎo)軌外擴(kuò)力Fo。由于速度趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)，電流向?qū)к墐?nèi)側(cè)匯集，電流密度在導(dǎo)軌長度方向呈三角形分布，這種三角形分布所產(chǎn)生的垂直分量會(huì)在導(dǎo)軌上產(chǎn)生前向推力。與此同時(shí)，電流從導(dǎo)軌“拐彎”流向電樞處，除了產(chǎn)生外擴(kuò)力也會(huì)產(chǎn)生向前的分力，上述兩部分前向分力之和構(gòu)成了導(dǎo)軌總前向力Fr。

圖1 電樞和導(dǎo)軌受力示意圖Fig.1 Force diagram of the armature and the rail

電樞電磁推力大小的計(jì)算公式為：

Fa=L′ai2/2

(1)

根據(jù)式(1)給出的電樞推力與電流之間的關(guān)系，類似地設(shè)定導(dǎo)軌前向推力大小的計(jì)算公式為：

Fr=kri2/2

(2)

其中，L′a=dLa/dx定義為電感梯度，kr為導(dǎo)軌推力系數(shù)，i為導(dǎo)軌電流。通電導(dǎo)軌和電樞均受到了向前的電磁力，且兩個(gè)電磁力均與電流平方i2成正比。

2 電感梯度理論分析

2.1 導(dǎo)軌間磁場均勻分布時(shí)電感梯度

電磁發(fā)射裝置主要關(guān)心電樞推力大小，因此主要研究電樞推力對應(yīng)的電感梯度的影響因素。

圖2為兩根矩形導(dǎo)軌構(gòu)成的發(fā)射裝置示意圖。假設(shè)穩(wěn)定電流I在導(dǎo)軌內(nèi)均勻分布，電流密度為J，且導(dǎo)軌間的磁感應(yīng)強(qiáng)度B均勻分布，導(dǎo)軌位于空氣中。由于導(dǎo)軌沿y軸左右對稱，導(dǎo)軌間中線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B在z軸方向相互抵消，因此只有y軸分量By。根據(jù)畢奧-薩法定律，可以求解出坐標(biāo)原點(diǎn)O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

By=fB(J,h,w,s)

(3)

圖2 矩形導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)形式Fig.2 Rectangle rail structure state

電樞電流為I，其推力大小的計(jì)算公式為：

Fa=ByI·s=L′aI2/2

(4)

推導(dǎo)出電感梯度表達(dá)式為：

(5)

由式(5)可以看出，電感梯度除了受到磁導(dǎo)率μ0影響外，只與導(dǎo)軌尺寸w、h以及導(dǎo)軌間距s相關(guān)。

式(5)表示了電流均勻分布條件下的電感梯度計(jì)算公式，這是一種電流擴(kuò)散充分的“低頻”電感梯度。導(dǎo)軌間磁感應(yīng)強(qiáng)度實(shí)際情況是，z軸方向呈中間小、兩邊大的分布規(guī)律，在y軸方向上呈中間大、兩邊小的分布規(guī)律，低頻時(shí)這種空間分布差異并不大可近似認(rèn)為均勻分布，因此可以近似采用式(3)～(5)表示。

電樞發(fā)射過程中，由于電流擴(kuò)散、鄰近效應(yīng)以及速度趨膚效應(yīng)，電流在矩形導(dǎo)軌截面近似呈回形分布，且電流更集中在導(dǎo)軌內(nèi)表面，這種電流分布效果與高頻時(shí)電流分布效果類似。

根據(jù)上述特點(diǎn)，構(gòu)建了電流回型分布模型，如圖3(a)所示，左右電流分布是相同的，而導(dǎo)軌內(nèi)側(cè)比外側(cè)的電流密度集中區(qū)域厚度更大。根據(jù)電流密度回型分布特點(diǎn)，將導(dǎo)軌拆分為4組等效導(dǎo)軌[12]，每組導(dǎo)軌中的電流認(rèn)為是均勻分布且相等的，其厚度由頻率引起趨膚深度決定，如圖3(b)所示。

圖3 高頻電流回型分布導(dǎo)軌模型Fig.3 Model of the high-frequency current rounding distribution

將4組導(dǎo)軌的幾何尺寸w、h和間距s以及各組導(dǎo)軌電流密度Jk代入式(3)，可以分別得到4組導(dǎo)軌在中心O點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為Byk。根據(jù)圖3(b)所示的幾何關(guān)系，第1和第2組導(dǎo)軌可直接使用式(3)，而第3和第4組導(dǎo)軌則用α對式(3)進(jìn)行修正：

(6)

其中，tanα=(s+w)/h。根據(jù)4組導(dǎo)軌電流密度相等的假設(shè)，且考慮到趨膚深度遠(yuǎn)小于w、h和s，原點(diǎn)O處的合成磁感應(yīng)強(qiáng)度近似為：

(7)

式中，Ax、Jx分別為4組導(dǎo)軌總面積和對應(yīng)的電流密度，Kα為式(7)的中括號(hào)內(nèi)容。按照軌道間磁場均勻分布的假設(shè)，根據(jù)式(4)可得高頻電樞推力大小為Fahf對應(yīng)的電感梯度為：

(8)

2.2 導(dǎo)軌間磁場非均勻分布時(shí)電感梯度

式(3)是導(dǎo)軌間磁感應(yīng)強(qiáng)度B均勻分布條件下得到的近似公式，但電樞運(yùn)動(dòng)過程中導(dǎo)軌間磁感應(yīng)強(qiáng)度隨空間x-y-z位置和時(shí)間t不斷變化。為了獲得更加精確的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布情況，需要引入磁擴(kuò)散方程。

忽略位移電流，根據(jù)麥克斯韋方程組得：

(9)

在空氣環(huán)境的線性系統(tǒng)中，可以得到導(dǎo)軌間磁擴(kuò)散方程：

(10)

參考圖2所示的坐標(biāo)軸，忽略x、z兩個(gè)方向分量，即磁感應(yīng)強(qiáng)度只有y軸分量B=Byj，在x-z二維坐標(biāo)系統(tǒng)中，導(dǎo)軌速度為零，電樞速度沿x軸方向大小為v，代入式(10)中得到磁感應(yīng)強(qiáng)度的擴(kuò)散方程式：

(11)

其中，σr為導(dǎo)軌電導(dǎo)率，σa為電樞電導(dǎo)率，Bry為導(dǎo)軌空間磁感應(yīng)強(qiáng)度y軸分量，Bay為電樞磁感應(yīng)強(qiáng)度y軸分量。根據(jù)式(11)以及相應(yīng)的邊界條件，可以計(jì)算出Bry和Bay。電樞推力沿x軸方向，其體積力密度計(jì)算式[13]為：

(12)

對電樞的體積力密度fa進(jìn)行體積分可以得電樞推力和對應(yīng)的電感梯度。

(13)

電樞發(fā)射過程中，電流密度J和磁感應(yīng)強(qiáng)度B均隨時(shí)間和空間不斷變化，因此要獲得精準(zhǔn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布和電磁推力數(shù)值，需要引入有限元模型進(jìn)行數(shù)值仿真[14-15]。

3 電感梯度仿真分析

3.1 二維模型有限元仿真

3.1.1 速度引起的趨膚效應(yīng)分析

設(shè)定軌道厚度w=10 mm，軌道高度h=30 mm，軌道間距s=20 mm，導(dǎo)軌二維有限元仿真模型如圖4所示。

(a) 導(dǎo)軌尺寸(a) Dimension of the rails (b) 網(wǎng)格剖分圖(b) Meshing graph圖4 二維軌道模型Fig.4 Model of 2D rails model

根據(jù)文獻(xiàn)[16]可知，電流頻率和電樞速度所產(chǎn)生的趨膚效應(yīng)可以在模型中采用掃頻的方式進(jìn)行渦流場分析，從而獲得單位長度電感值。在ANSYS電磁場仿真軟件系統(tǒng)中進(jìn)行渦流場分析，首先需要確定電流頻率范圍。電樞在導(dǎo)軌高速運(yùn)動(dòng)過程中，不斷將導(dǎo)軌新部分接入導(dǎo)電回路中，因此新接入的導(dǎo)軌就需要采用階躍電流在導(dǎo)軌中擴(kuò)散的模式進(jìn)行分析，將階躍擴(kuò)散過程用穩(wěn)態(tài)正弦電流所引起的頻率趨膚效應(yīng)來等效。式(14)給出了正弦電流趨膚深度δsin以及階躍電流在導(dǎo)體中的擴(kuò)散深度δstep的表達(dá)式[16-17]。

(14)

令δstep=δsin，可以得到電樞運(yùn)動(dòng)過程中速度趨膚效應(yīng)所對應(yīng)的頻率fv(稱為速度頻率)的計(jì)算公式。

(15)

式中，v為電樞速度，λ為電樞與導(dǎo)軌接觸的長度,fe為交流電流頻率。當(dāng)v=2 000 m/s、λ=20 mm時(shí)，對應(yīng)的速度頻率fv=10.13 kHz。

3.1.2 單位長度電感值

由于ANSYS電磁場仿真軟件的二維渦流場采用模型空間磁場儲(chǔ)能W來計(jì)算模型單位長度的電感值Lu=2W/I2，簡稱電感系數(shù)。根據(jù)輸入電流頻率(電流基波頻率約為200 Hz)和速度頻率(2 000 m/s對應(yīng)速度頻率為10 kHz)，二維渦流場掃描頻率范圍定為100 Hz～10 kHz。導(dǎo)軌電流密度分布隨頻率fv變化的二維電磁場仿真結(jié)果如圖5所示。

(a) fv=100 Hz

(b) fv=500 Hz

(c) fv=4 kHz

(d) fv=10 kHz圖5 導(dǎo)軌的電流密度分布云圖Fig.5 Cloud chart of the rail current

從圖5可以看出，由于趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)電流主要分布在導(dǎo)軌四個(gè)邊且更集中在導(dǎo)軌內(nèi)側(cè)，頻率越高電流越趨于導(dǎo)軌表面，也更集中在導(dǎo)軌內(nèi)表面[18-19]。電流密度在導(dǎo)軌中的空間分布直接影響了導(dǎo)軌間的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和分布情況，從而影響了空間磁場儲(chǔ)能以及對應(yīng)的電感系數(shù)Lu。圖6給出了不同頻率導(dǎo)軌中軸線上的磁場變化曲線圖，圖7給出了電感系數(shù)隨頻率變化曲線。

(a) 導(dǎo)軌中軸線(a) Middle line between rails

(b) 磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線(b) Curve of magnetic flux density圖6 導(dǎo)軌中軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度隨位置變化曲線Fig.6 The curve of B in rail middle line

圖7 電感系數(shù)隨頻率變化曲線Fig.7 Inductance coefficient varied with frequency

從圖6可以看出，導(dǎo)軌間磁感應(yīng)強(qiáng)度遠(yuǎn)高于導(dǎo)軌外空間，且無論是在導(dǎo)軌之間的內(nèi)側(cè)空間還是外側(cè)空間，100 Hz條件下的磁感應(yīng)強(qiáng)度大于1 kHz和5 kHz工況，同時(shí)1 kHz工況與5 kHz磁感應(yīng)強(qiáng)度分布情況非常接近?？梢奻v較小時(shí)，導(dǎo)軌中電流擴(kuò)散充分，導(dǎo)軌間磁感應(yīng)強(qiáng)度越高，相應(yīng)的電感梯度越高，即低頻電感梯度(擴(kuò)散充分程度)要大于高頻電感梯度(趨膚明顯)，這種規(guī)律和Kerrisk高頻電感梯度以及Grover低頻電感梯度的規(guī)律是一致的。從圖7可以看出，電感系數(shù)隨著頻率(即電樞速度)增加而逐步減小并趨于穩(wěn)定，從式(14)、式(15)可以看出，v越高，fv越大，δsin越小，表明發(fā)射過程中，電流越來越集中在導(dǎo)軌內(nèi)表面且趨膚深度逐步穩(wěn)定，所以電感系數(shù)Lu逐步趨于穩(wěn)定。分析可知，二維模型獲得的電感系數(shù)反映了裝置儲(chǔ)能大小，因此根據(jù)電感系數(shù)和電樞位移可以計(jì)算出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)電感數(shù)值。

3.2 三維模型有限元仿真

采用ANSYS電磁場仿真軟件對三維模型進(jìn)行渦流場(eddy field)仿真，并根據(jù)電樞和導(dǎo)軌的電磁推力反推出對應(yīng)的電感梯度。裝置三維模型結(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 裝置三維模型結(jié)構(gòu)Fig.8 3D structure of the launcher

渦流場掃描頻率同樣采用二維場的頻率范圍100 Hz～10 kHz。導(dǎo)軌和電樞上的電流密度J隨頻率的分布情況如圖9所示。

推力隨頻率變化曲線如圖10所示。從圖10可以看出，電樞推力Fa和兩根導(dǎo)軌前向推力Fr均隨著輸入電流頻率增加而不斷減小并趨于穩(wěn)定。根據(jù)電樞推力Fr和輸入電流i可以反推出電感梯度L′a。

(a) fv=100 Hz

(b) fv=500 Hz

(c) fv=4 kHz

(d) fv=10 kHz圖9 三維渦流場電流密度云圖Fig.9 Cloud chart of the eddy 3D simulation

(a) 電樞推力曲線(a) Curve of armature thrust

(b) 導(dǎo)軌前向推力曲線(b) Curve of forward thrust of rail圖10 推力隨頻率變化曲線Fig.10 Curve of the thrust versus frequency

4 系統(tǒng)仿真和試驗(yàn)

發(fā)射過程中，由于電樞運(yùn)動(dòng)將導(dǎo)軌不斷接入電氣回路中，發(fā)射裝置可以等效為電阻、電感隨電樞位移不斷增加的動(dòng)態(tài)阻感性負(fù)載。Ra為電樞加樞軌接觸電阻，其數(shù)值曲線是采用裝置口部電壓與電流實(shí)測波形計(jì)算擬合得到。發(fā)射過程中動(dòng)態(tài)電感梯度L′a采用了三維模型仿真獲得隨速度頻率fv變化的電感梯度，而系統(tǒng)儲(chǔ)能所對應(yīng)的電感Lm=L0+Lux，其中L0為電樞起點(diǎn)位置對應(yīng)的初始電感，Lu為隨速度頻率變化的裝置電感系數(shù)。根據(jù)裝置動(dòng)態(tài)阻感電氣模型，構(gòu)建如圖11所示全系統(tǒng)電氣仿真框圖。

圖11 電磁發(fā)射裝置電氣仿真系統(tǒng)框圖Fig.11 Diagram of the electrical system simulation

從圖11中可以看出，根據(jù)仿真得到的Lu曲線和L′a曲線，以速度頻率fv為輸入可以得到發(fā)射過程中實(shí)時(shí)的電感系數(shù)Lu以及電感梯度L′a，代入裝置電感和電樞推力計(jì)算模型中，分別進(jìn)行電氣和運(yùn)動(dòng)模型仿真計(jì)算。根據(jù)電樞推力和運(yùn)動(dòng)方程得到電樞位移x，微分后得到電樞速度v，并代入式(15)得到速度頻率fv，如此循環(huán)可以得到電樞運(yùn)動(dòng)過程中各物理量的變化曲線。利用Simplorer軟件構(gòu)建了電磁發(fā)射裝置電氣仿真模型并與發(fā)射試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比。圖12所示為電磁發(fā)射試驗(yàn)裝置，圖13為仿真和試驗(yàn)對比波形。

圖12 電磁發(fā)射試驗(yàn)裝置Fig.12 Electromagnetic launcher

(a) 電流曲線(a) Electric current curve

(b) 速度曲線(b) Velocity curve圖13 發(fā)射試驗(yàn)與仿真對比Fig.13 Comparison of test and simulation

本次試驗(yàn)電樞質(zhì)量為23 g左右，電樞出口速度為773 m/s，仿真出口速度為763 m/s。從試驗(yàn)和仿真對比可以看出，仿真和試驗(yàn)的電流峰值誤差為0.8%，出口速度誤差為1.29%。

5 結(jié)論

由于電樞發(fā)射過程中導(dǎo)軌電流密度和磁感應(yīng)強(qiáng)度是動(dòng)態(tài)變化的，引入速度頻率fv參數(shù)，在有限元電磁仿真模型通過時(shí)諧分析提取了發(fā)射過程中動(dòng)態(tài)變化的電感系數(shù)Lu和動(dòng)態(tài)變化的電感梯度L′a。將Lu和L′a分別應(yīng)用于電氣仿真模型的電感和推力計(jì)算，極大提高了全系統(tǒng)的仿真精度。