聶兆偉，王 浩，秦 夢，張海瑞

(1. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院， 北京 100076； 2. 南京理工大學(xué) 機(jī)械學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

高馬赫數(shù)飛行器級間分離過程是發(fā)射任務(wù)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通常包括熱分離和冷分離兩種方式，其功能是完成飛行器飛行過程中的預(yù)定工作、且在后續(xù)飛行中將子級分離，減小結(jié)構(gòu)重量、發(fā)揮性能優(yōu)勢、提升飛行速度[1]。高超聲速飛行器在實(shí)施級間分離時(shí)受到諸多不確定性因素影響[2]，如質(zhì)量特性偏差、初始條件偏差、氣動特性偏差以及動力特性偏差等，尤其是在大氣層內(nèi)實(shí)施分離時(shí)，受大氣密度和飛行速度影響，飛行器面臨嚴(yán)酷的動壓環(huán)境，各類偏差影響顯著，兩體分離存在較大技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)，制約了飛行可靠性水平的進(jìn)一步提升[3-4]。

常規(guī)飛行器分離分析方法通常是基于參數(shù)極限偏差組合進(jìn)行的，無法反映系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性以及對系統(tǒng)認(rèn)知的不完整性，難以滿足分離方案精細(xì)化設(shè)計(jì)需求，甚至在某些情況下導(dǎo)致分離方案過于復(fù)雜，影響了飛行器總體性能的進(jìn)一步提升。

針對這一問題，目前的研究趨勢是將不確定性注入分離動力學(xué)仿真模型，實(shí)現(xiàn)分離方案的精細(xì)化分析[5-6]。國內(nèi)外學(xué)者將概率方法與分離運(yùn)動仿真相結(jié)合，系統(tǒng)研究了隨機(jī)不確定性對分離過程的影響[7-8]，Roshanian等[9]將蒙特卡洛方法與分離運(yùn)動仿真相結(jié)合，給出了分離運(yùn)動參數(shù)的包絡(luò)曲線。李慧通等[10]結(jié)合級間冷分離和熱分離的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種新型級間分離方案，采用蒙特卡洛方法分析了分離體的相對運(yùn)動。

蒙特卡洛方法具有無偏性與非侵入性，適用于求解隱式非線性問題，在級間分離精細(xì)化分析中有著廣泛的應(yīng)用。然而高超聲速飛行器在大氣層內(nèi)實(shí)施分離過程中，對某些關(guān)鍵參數(shù)依然存在認(rèn)知的不完整性，如氣動特性偏差，無法采用概率理論對其精確描述，為準(zhǔn)確量化飛行器級間分離過程中系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性以及對系統(tǒng)認(rèn)知的不完整性，需要進(jìn)一步開展基于概率-非概率混合模型的飛行器級間分離可靠性分析方法，為飛行器分離方案的精細(xì)化設(shè)計(jì)提供決策支持。隨機(jī)不確定性通常采用概率理論描述，發(fā)展相對成熟[11-13]。認(rèn)知不確定性通常采用非概率理論來描述，包括區(qū)間理論[14-15]、證據(jù)理論[16-17]、模糊理論[18]等。工程應(yīng)用中，考慮天地不一致性，某些參數(shù)僅能給出上下邊界，無法給出邊界內(nèi)的相關(guān)分布信息，因而，區(qū)間理論適用性更為廣泛，本文選用區(qū)間理論描述認(rèn)知不確定性。

為準(zhǔn)確量化飛行器級間分離過程隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性的綜合影響，采用概率-區(qū)間混合模型描述分離過程中系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性及對系統(tǒng)認(rèn)知的不完整性。以某軸對稱式飛行器級間冷分離方案為研究對象，根據(jù)軸對稱級間分離結(jié)構(gòu)的幾何特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種快速碰撞檢測模型，為可靠性分析提供支撐。進(jìn)而，將混合可靠性分析模型轉(zhuǎn)化為隨機(jī)可靠性分析的無約束優(yōu)化問題，采用高效全局優(yōu)化和自主學(xué)習(xí)Kriging方法實(shí)現(xiàn)無約束優(yōu)化問題的高效求解，給出飛行器分離任務(wù)可靠性的區(qū)間范圍。

1 分離動力學(xué)建模

以高馬赫數(shù)飛行器級間冷分離方案為研究對象，建立分離動力學(xué)模型。兩體級間分離過程中，上面級受到自身重力、氣動力及兩體分插拔脫力的影響，下面級受到自身重力、氣動力、兩體分插拔脫力、發(fā)動機(jī)殘余推力以及反推發(fā)動機(jī)推力等因素影響。圖1為飛行器級間冷分離示意圖。

圖1 級間冷分離Fig.1 Stage cold separation

飛行器組合體、上面級和下面級的彈體系原點(diǎn)與對應(yīng)質(zhì)心重合，x軸與對應(yīng)彈體軸線重合，y軸在彈體縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且垂直于x軸；定義飛行器分離系與分離開始時(shí)組合體的彈體系一致。級間分離剛體動力學(xué)方程為：

(1)

其中：分析對象可以是上面級、下面級或者兩者的組合體，m是各分析對象對應(yīng)的質(zhì)量；vx,vy,vz是各分析對象對應(yīng)的速度矢量在分離系下的速度投影；Fx,Fy,Fz是各分析對象受到的合力在分離系下的投影；ωx1,ωy1,ωz1為分析對象轉(zhuǎn)動角速度在彈體系中的分量；Ix1,Iy1,Iz1為分析對象相對其彈體系的轉(zhuǎn)動慣量。此外，補(bǔ)充建立角速度與歐拉角、位置與速度之間的關(guān)系，如式(2)所示。

(2)

進(jìn)一步給出分析對象彈體坐標(biāo)系到分離坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

(3)

飛行器級間冷分離過程，上面級發(fā)動機(jī)噴管需從下面級殼體內(nèi)拔出，需重點(diǎn)關(guān)注兩體運(yùn)動關(guān)系及相對距離，避免兩體發(fā)生碰撞。碰撞檢測是分離仿真的難點(diǎn)之一，其關(guān)鍵在于計(jì)算空間兩體的最小間隙距離，結(jié)合干擾式軸對稱級間分離結(jié)構(gòu)的幾何特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種快速碰撞檢測方法，干擾式分離過程中兩體分離最小間隙距離一般有兩種可能形式[19]，如圖2所示。

圖2 飛行器干擾式分離Fig.2 Vehicle interfering separation

結(jié)合串聯(lián)干擾式分離的特點(diǎn)，危險(xiǎn)體截面為上面級發(fā)動機(jī)噴管的下底邊和級間段的上底邊，故特征點(diǎn)應(yīng)在危險(xiǎn)體截面上平均選取。這里將上面級發(fā)動機(jī)噴管和級間段簡化為一個(gè)圓臺體，重點(diǎn)關(guān)注各個(gè)特征點(diǎn)到圓臺體的最短距離，記圓臺體上表面圓心坐標(biāo)為A，半徑為rA；下表面圓心坐標(biāo)為B，半徑為rB；特征點(diǎn)坐標(biāo)為P，由于特征點(diǎn)到圓臺體的最短距離d一定在平面PAB內(nèi)，此時(shí)三維空間問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題，如圖3所示。

圖3 不同區(qū)域最短距離Fig.3 Minimum distance in different regions

為保證特征點(diǎn)到圓臺體最短距離的計(jì)算完備性，根據(jù)圓臺體的幾何特點(diǎn)，將特征點(diǎn)所在區(qū)域劃分為10個(gè)不同的區(qū)域，其中3、4、8、9區(qū)的最短距離為特征點(diǎn)到圓臺體內(nèi)外表面的最短距離，其他區(qū)域最短距離為特征點(diǎn)到圓臺體上下低邊的最短距離。特征點(diǎn)P到圓臺體中軸線的距離rP，圓臺體截面底邊夾角θ及8、9、10區(qū)分界點(diǎn)C、D可進(jìn)一步表示為：

(4)

結(jié)合所在區(qū)域的特點(diǎn)，給出特征點(diǎn)P到圓臺體的最小距離ds，如下節(jié)中10個(gè)情況下的ds公式所示。進(jìn)而，選取危險(xiǎn)截面所有特征點(diǎn)的最小值為某一時(shí)刻兩體分離的最小間隙距離dsmin

dsmin=min{dsi},i=1,…,N

(5)

其中，N為危險(xiǎn)截面特征點(diǎn)的數(shù)量。采用四階龍格庫塔方法進(jìn)行兩體分離動力學(xué)仿真，定義從分離開始到上面級起控過程中，兩體最小間隙距離最近的時(shí)刻為危險(xiǎn)時(shí)刻，在上面級發(fā)動機(jī)噴管從級間段拔出過程中，為避免時(shí)間步長過大導(dǎo)致漏失危險(xiǎn)時(shí)刻，需要在危險(xiǎn)區(qū)域附近縮短時(shí)間步長，識別兩體分離過程中的危險(xiǎn)時(shí)刻，取時(shí)間步長為0.002 s?？紤]數(shù)值誤差和安全系數(shù)的影響，給定最小間隙閾值εd，若從開始分離到上面級起控過程中，所有時(shí)刻最小間隙距離的最小值大于閾值εd，則判定分離過程中未發(fā)生碰撞。

2 分離可靠性建模

飛行器分離過程存在多種故障模式，其中較為典型的故障模式包括兩體碰撞及上面級起控失效。前者由于兩體干涉碰撞，上面級部分功能失效，采用上述碰撞檢測方案快速給出兩體分離過程的最小間隙距離。后者可能由于上面級起控時(shí)角速度過大，上面級不可控，分離任務(wù)失敗。

1)若AP·AB<0,rP≤rA，則P在1區(qū)，從而

6)若BA·BP<0,rP>rB，則P在6區(qū)，從而

針對上述兩種典型失效模式，分離過程中的隨機(jī)不確定性參數(shù)向量表示為X，認(rèn)知不確定性參數(shù)向量表示為Y，則兩體分離最短距離為dsmin(X,Y)，上面級起控時(shí)的角速度為ω(X,Y)，且這兩種失效模式構(gòu)成串聯(lián)系統(tǒng)，飛行器級間分離的多故障聯(lián)合失效域?yàn)椋?/p>

Df={dsmin(X,Y)<εd∪ω(X,Y)>εω}

(6)

式中，εd,εω分別為兩體分離最小間隙距離閾值和上面級起控時(shí)角速度閾值。進(jìn)而，分離可靠度為：

R=1-Pr(Df)

=1-Pr{dsmin(X,Y)<εd∪ω(X,Y)>εω}

(7)

3 飛行器概率-區(qū)間混合可靠性分析

3.1 概率-區(qū)間混合可靠性模型

A：隨著不斷發(fā)展，我們也需要更多復(fù)合型人才，僅是印刷專業(yè)的學(xué)生不能夠滿足企業(yè)自身發(fā)展的需要。雅昌成立之初的定位就是藝術(shù)印刷。正是因?yàn)楫?dāng)時(shí)的正確選擇和清晰定位，才能脫穎而出，成為行業(yè)中的佼佼者。關(guān)于人才需求，在內(nèi)部人才培養(yǎng)方面，雅昌把所有利潤全部投入到技術(shù)的研發(fā)和相關(guān)人員的培訓(xùn)上；就人才招聘方面，雅昌對人才需求已從印刷類轉(zhuǎn)為藝術(shù)類。

考慮認(rèn)知不確定性Y在某一區(qū)間[YL,YU]，分離失效概率上界PfU進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為最大無約束優(yōu)化問題

maxPr{X|Y∈[YL,YU],dsmin(X,Y)<

εd∪ω(X,Y)>εω}

(8)

同理，分離失效概率下界PfL轉(zhuǎn)化為最小無約束優(yōu)化問題

minPr{X|Y∈[YL,YU],dsmin(X,Y)<

εd∪ω(X,Y)>εω}

(9)

通過上述推導(dǎo)，將概率-區(qū)間可靠性模型轉(zhuǎn)化為隨機(jī)可靠性分析的無約束優(yōu)化問題。

3.2 多故障聯(lián)合可靠性分析

考慮到飛行器分離的多故障聯(lián)合失效域包含若干功能函數(shù)，傳統(tǒng)的一次可靠度法(first order reliability analysis method, FORM)等在功能函數(shù)最大可能點(diǎn)(most probable point, MPP)進(jìn)行泰勒展開，在求解非線性多故障聯(lián)合可靠度問題時(shí)會產(chǎn)生較大誤差[20]。針對這一問題，Echard等提出了Kriging與Monte Carlo相結(jié)合的主動學(xué)習(xí)可靠性方法(active learning reliability method combining Kriging and Monte Carlo simulation, AK-MCS)的單故障可靠度分析方法，具有很高的效率[21-22]，以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步發(fā)展了適用于串聯(lián)或者并聯(lián)系統(tǒng)的多故障系統(tǒng)可靠性的主動學(xué)習(xí)Kriging方法(active learning Kriging method for system reliability, AK-SYS)[23-24]。

以認(rèn)知不確定性Y在某一區(qū)間[YL,YU]為例，結(jié)合飛行器級間分離的特點(diǎn)，利用Kriging代理模型將功能函數(shù)表達(dá)為：

(10)

(11)

(12)

其中，rT(X)=[R(X,X1),…,R(X,XN)]T是預(yù)測點(diǎn)X和訓(xùn)練樣本點(diǎn)集XT=[X1,X2,…,XN]T之間的相關(guān)函數(shù)向量。

結(jié)合隨機(jī)不確定性分布類型及參數(shù)，在隨機(jī)空間中抽取樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)數(shù)量滿足條件：

(13)

式中，Pf為多故障聯(lián)合失效概率。結(jié)合Kriging模型能夠直接給出預(yù)測點(diǎn)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)，利用概率分類函數(shù)評估預(yù)測點(diǎn)X的不確定性，式(11)給出了Kriging預(yù)測值Gaussian分布特性，以此為基礎(chǔ)，Kriging模型的分類失效函數(shù)可表達(dá)為：

(14)

式中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

針對多故障聯(lián)合可靠性分析的特點(diǎn)，進(jìn)一步給出飛行器級間分離多故障聯(lián)合分類失效函數(shù)為：

(15)

(16)

當(dāng)Usys函數(shù)的最小值大于2時(shí)，樣本點(diǎn)集的分類失效概率最大值僅為Φ(-2)≈0.022 8，滿足收斂要求。

3.3 高效全局優(yōu)化

(17)

進(jìn)一步采用全局優(yōu)化算法在認(rèn)知不確定性內(nèi)Y∈[YL,YU]尋找多故障聯(lián)合可靠度的最大值和最小值。

針對這一無約束優(yōu)化問題，由于多故障聯(lián)合可靠性分析嵌套在優(yōu)化過程中，如何高效求解無約束優(yōu)化問題是混合可靠性分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。Jones等[25]將全局優(yōu)化算法與代理模型相結(jié)合，進(jìn)一步發(fā)展了高效全局優(yōu)化(efficient global optimization, EGO)方法，其關(guān)鍵在于優(yōu)化求解期望改善函數(shù)(expected improvement function, EIF)。以求解分離失效概率下限為例，定義期望改善函數(shù)為：

(18)

(19)

(20)

PfL=Φ[βb(Y*)]

(21)

同理，將分離失效概率上界的最大值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最小值優(yōu)化問題，即可通過上述方法給出結(jié)果。

4 實(shí)例結(jié)果

以某低空高超聲速軸對稱式飛行器級間冷分離方案為應(yīng)用對象?？紤]到分離過程中系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性及對系統(tǒng)認(rèn)知的不完整性，給出如表1所示的隨機(jī)不確定性分布描述和認(rèn)知不確定性分布描述。

表1 隨機(jī)不確定性分布類型及其參數(shù)

通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)和工程經(jīng)驗(yàn)確定隨機(jī)不確定性參數(shù)的分布，選取工程上重點(diǎn)關(guān)注的若干參數(shù)作為隨機(jī)不確定性參數(shù)，進(jìn)而通過靈敏度分析可知，初始俯仰角速率和氣動特性偏差對兩體分離最短距離d和上面級起控時(shí)的角速度ω有較大影響，同時(shí)這兩者在工程上難以采用概率理論精確描述，因而將其處理為認(rèn)知不確定性。初始俯仰角速率dφ0∈[-1 ((°)/s),0]，氣動特性偏差Wqd∈[-0.15, 0.15]。

針對飛行器級間冷分離方案的特點(diǎn)，Kriging模型選用二階多項(xiàng)式回歸模型作為回歸函數(shù)。對于多故障聯(lián)合可靠性分析問題，初選階段選用常用的拉丁超立方采樣方法對隨機(jī)不確定性空間進(jìn)行均勻采樣，Kriging模型選用二階多項(xiàng)式回歸模型作為回歸函數(shù)。為了驗(yàn)證上述方法的正確性，在隨機(jī)變量空間選用蒙特卡洛方法抽取106個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)一步在區(qū)間分布空間均勻抽取2 000個(gè)認(rèn)知不確定性變量樣本，以此獲取認(rèn)知不確定性Y在區(qū)間內(nèi)變化影響下多故障聯(lián)合可靠度響應(yīng)的變化范圍[5]，分別給出分離高度為36 km條件下的分離可靠性的上下界，見表2所示。

表2 混合不確定性下飛行器級間分離可靠性上下界

表2的計(jì)算結(jié)果表明，本文方法得到的分離可靠性上、下界結(jié)果與采用蒙特卡洛方法的計(jì)算結(jié)果相吻合，最大相對誤差僅為0.2%，這說明了本文方法的正確性。同時(shí)，模型調(diào)用次數(shù)遠(yuǎn)低于蒙特卡洛方法的分析次數(shù)，說明了本文方法的高效性和可行性。進(jìn)一步，針對低空高速飛行器級間分離的特點(diǎn)，考慮不同高度對分離可靠性的影響，在認(rèn)知不確定性相同設(shè)置條件下，采用本文方法給出25～40 km之間飛行器級間冷分離的系統(tǒng)可靠性，如圖4所示。

圖4 不同高度條件下混合不確定性分離可靠性上下界對比Fig.4 Comparison of maximum and minimum of system reliability with mixed uncertainties under different given different height

圖4結(jié)果表明，在某些分離高度下，分離可靠性的可能分布區(qū)間較大，這表明在當(dāng)前分離高度進(jìn)行級間分離時(shí)認(rèn)知不確定性影響顯著，需要進(jìn)一步考慮可能存在的技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)。從總體趨勢來看，飛行器分離高度對分離可靠性的影響顯著，由于高超聲速飛行器飛行馬赫數(shù)較大，隨著分離高度的降低，承受動壓較大，因而氣動特性偏差影響顯著。以分離可靠性下限為參考，通過控制分離高度可實(shí)現(xiàn)兩體可靠分離，為飛行器分離方案的精細(xì)化設(shè)計(jì)提供決策支持。

5 結(jié)論

1)本文以某低空高超聲速軸對稱式飛行器級間冷分離方案為應(yīng)用對象，結(jié)合干擾式軸對稱級間冷分離結(jié)構(gòu)的幾何特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種快速碰撞檢測方法，能夠?qū)崟r(shí)給出兩體分離最小間隙距離。

2)綜合考慮分離過程中系統(tǒng)參數(shù)的內(nèi)在可變性及對系統(tǒng)認(rèn)知的不完整性，構(gòu)建了隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性混合可靠性模型，提升了飛行器分離任務(wù)可靠性評估的準(zhǔn)確性。

3)針對混合可靠性分析模型，將其轉(zhuǎn)化為隨機(jī)可靠性分析的無約束優(yōu)化問題，利用高效全局優(yōu)化和多故障主動學(xué)習(xí)Kriging方法高效準(zhǔn)確求解該無約束優(yōu)化問題，計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的正確性和可行性。