許成謙，邢方園，王曉紅

(燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

文章編號：1007-791X(2022)03-0257-07

0 引言

擴頻通信技術(shù)是基于香農(nóng)公式以擴大帶寬的方式來增加信道的容量，其實現(xiàn)方式主要有三種，分別是直接序列擴頻、跳頻擴頻和跳時擴頻[1-2]。其中，跳頻技術(shù)通過一組偽隨機碼控制頻率跳變實現(xiàn)擴頻通信，具有低截獲概率、較強的抗干擾能力、多址組網(wǎng)能力、抗衰落能力、易于與傳統(tǒng)窄帶通信系統(tǒng)兼容的優(yōu)點，因此廣泛應(yīng)用于各種通信系統(tǒng)[3-4]。

跳頻通信系統(tǒng)的性能由跳頻序列決定，跳頻序列的性能用Hamming相關(guān)特性來衡量，跳頻序列集 ( Frequency Hopping Sequence Set,FHSS)的Hamming相關(guān)值受到頻隙大小、序列個數(shù)、序列長度等參數(shù)的限制，這種限制關(guān)系稱為FHSS的理論界[5]。目前為止，跳頻序列在一維無碰撞區(qū)(No Hit Zone,NHZ)、低碰撞區(qū)周期Hamming相關(guān)理論界的研究和序列集的構(gòu)造已取得了很多成就[6-12]，二維無/低碰撞區(qū)周期Hamming相關(guān)理論界的研究和構(gòu)造滿足該理論界的序列集也取得了不小的進展[13-15]。

跳頻序列的研究主要集中在無/低碰撞區(qū)內(nèi)Hamming相關(guān)性分析和構(gòu)造滿足該理論界的FHSS。在信息傳輸過程中，時延和頻移有可能超出無/低碰撞區(qū)，故無/低碰撞區(qū)外跳頻序列集Hamming相關(guān)性優(yōu)化也是至關(guān)重要的。Zeng等人在文獻[16]中研究了強一維無碰撞區(qū)FHSS的構(gòu)造和性能分析。本文導(dǎo)出了包含頻隙個數(shù)、序列長度、序列數(shù)目、時頻二維NHZ之外FHSS最大異相Hamming自相關(guān)函數(shù)值和最大互相關(guān)函數(shù)值的理論界。提出了強時頻二維無碰撞區(qū)FHSS的概念。對一類強時頻二維無碰撞區(qū)FHSS的Hamming相關(guān)性進行了分析。

1 符號和基本概念

(1)

0≤τ≤L-1,0≤υ≤q-1，

其中，i+τ≡(i+τ) modL,i=0,1,…,L-1。當(dāng)xi=yi+τ+υ時，h(xi,yi+τ+υ)=1；當(dāng)xi≠yi+τ+υ或yi+τ+υ?F時，h(xi,yi+τ+υ)=0。

Hxx(τ,υ)稱為x的頻域非周期移位的時頻二維周期Hamming自相關(guān)函數(shù)。當(dāng)x≠y時，Hxy(τ,υ)稱為x和y的頻域非周期移位的時頻二維周期Hamming互相關(guān)函數(shù)。

定義2設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的FHSS，TA、VA為非負整數(shù)，定義

Zat=max{TA|Hxx(τ,υ)=0，?x∈S，0≤τ≤TA，0≤υ≤VA，(τ,υ)≠(0,0)}，

Zaf=max{VA|Hxx(τ,υ)=0，?x∈S，0≤τ≤TA，0≤υ≤VA，(τ,υ)≠(0,0)}，

Zct=max{TA|Hxy(τ,υ)=0，?x≠y∈S，0≤τ≤TA，0≤υ≤VA}，

Zcf=max{VA|Hxy(τ,υ)=0，?x≠y∈S，0≤τ≤TA，0≤υ≤VA}，

Znt=min{Zat,Zct}，Znf=min{Zaf,Zcf}，

則[0,Znt]×[0,Znf]稱為S的頻域非周期移位的時頻二維NHZ，[0,Zat]×[0,Zaf]稱為S的頻域非周期移位的周期Hamming自相關(guān)時頻二維NHZ，[0,Zct]×[0,Zcf]稱為S的頻域非周期移位的周期Hamming互相關(guān)時頻二維NHZ，若S在區(qū)域[Znt+1,L-1]×[0,Znf]上進行了Hamming相關(guān)性優(yōu)化，則稱S為強時頻二維無碰撞區(qū)FHSS。

2 強時頻二維無碰撞區(qū)跳頻序列集的理論界

設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的跳頻序列的序列集，[0,Znt]×[0,Znf]為序列集的NHZ。文中采用以下表示：

Ha(S)=max{Hxx(τ,υ)|(τ,υ)∈[Znt+1,L-1]×[0,Znf]且(τ,υ)≠(0,0),x∈S}，

Hc(S)=max{Hxy(τ,υ)|(τ,υ)∈[Znt+1,L-1]×[0,Znf],x，y∈S,x≠y},

Hm(S)=max{Ha(S)，Hc(S)},

簡記Ha=Ha(S)，Hc=Hc(S)，Hm=Hm(S)。

Ha和Hc分別是序列集S在時頻二維無碰撞區(qū)[0,Znt]×[0,Znf]之外的最大異相周期Hamming自相關(guān)和最大周期Hamming互相關(guān)。下面導(dǎo)出有關(guān)Ha和Hc的理論界。

引理1設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的FHSS，任意x,y∈S，對于任意的正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，令函數(shù)

(2)

則

(3)

證明對于任意x,y∈S，任意正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，有

Hxy(τ,υ)=

以下將對Znt=0和Znt≠0兩種情況分別作出討論。

情況一：當(dāng)Znt=0時，即時域上不存在NHZ。

情況二：當(dāng)Znt≠0時，即時域上存在NHZ。

M(L-Znt)(Znf+1)Ha+
M(M-1)(L-Znt)(Znf+1)Hc。

證畢。

引理2[10]對于任意正整數(shù)τ，τ=0,1,…,L-1有

(4)

引理3對于任意正整數(shù)Znt和Znf，0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，有

(5)

證明對于任意正整數(shù)i=1,2,…,M,τ=1,2,…,L-1,υ=0,1,…,q-1，因為

所以

由于

因此

m(b(k+τ)+υ,fi)，

證畢。

令函數(shù)

m(b(k+τ)+υ,fi)，

(6)

引理4對于任意正整數(shù)i,0≤i≤q-1，令

其中k=0,1,…,L-1,則

(7)

證明由等式(6)得

(8)

引理5[11]設(shè)g1,g2,…,gq為滿足下列等式的正整數(shù)

則

(9)

引理6設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的FHSS，任意x,y∈S，對于任意的正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，則

(10)

證明由引理4可知

由引理2可知

根據(jù)引理5得

證畢。

定理1設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的FHSS，[0,Znt]×[0,Znf]是S的頻域非周期移位的時頻二維NHZ，時頻二維NHZ之外的最大異相周期Hamming自相關(guān)為Ha、最大周期Hamming互相關(guān)為Hc，對于任意的正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，有：

當(dāng)Znt=0，即時域上不存在NHZ時，

q(L-1)(Znf+1)Ha+
q(M-1)(Znf+1)LHc≥

(Znf+1)L2M-qL。

當(dāng)Znt≠0，即時域上存在NHZ時，

q(L-Znt)(Znf+1)Ha+
q(M-1)(L-Znt)·

(Znf+1)Hc≥(Znf+1)(L-Znt)LM。

證明由引理1和引理4得：

當(dāng)Znt=0，即時域上不存在NHZ時，

ML+M(L-1)(Znf+1)Ha+M(M-1)·

q(L-1)(Znf+1)Ha+q(M-1)·

(Znf+1)LHc≥(Znf+1)L2M-qL。

當(dāng)Znt≠0，即時域上存在NHZ時，

M(L-Znt)(Znf+1)Ha+M(M-1)(L-Znt)·

q(L-Znt)(Znf+1)Ha+q(M-1)·

(L-Znt)(Znf+1)Hc≥

(Znf+1)(L-Znt)LM。

證畢。

推論1設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上序列數(shù)目為M，長度為L的FHSS，[0,Znt]×[0,Znf]是S的頻域非周期移位的時頻二維NHZ，時頻二維NHZ之外的最大異相周期Hamming自相關(guān)為Ha、最大周期Hamming互相關(guān)為Hc，對于任意的正整數(shù)0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，Hm=max{Ha,Hc}，則

當(dāng)Znt=0，即時域上不存在NHZ時：

當(dāng)Znt≠0，即時域上存在NHZ時：

證明由定理1得：

當(dāng)Znt=0，即時域上不存在NHZ時，

q(L-1)(Znf+1)Ha+q(M-1)·

(Znf+1)LHc≥(Znf+1)L2M-qL，

q(L-1)(Znf+1)Hm+q(M-1)·

(Znf+1)LHm≥(Znf+1)L2M-qL，

當(dāng)Znt≠0，即時域上存在NHZ時，

q(L-Znt)(Znf+1)Ha+q(M-1)(L-Znt)·

(Znf+1)Hc≥(Znf+1)(L-Znt)LM，

q(L-Znt)(Znf+1)Hm+q(M-1)(L-Znt)·

(Znf+1)Hm≥(Znf+1)(L-Znt)LM，

證畢。

令推論1情況一中Znf=0，那么得到FHSS周期Hamming相關(guān)理論界。

推論2設(shè)頻率F={f0,f1,…,fq-1}是頻隙大小為q的頻率集合，S是F上序列數(shù)目為M，長度為L的FHSS，則S的周期Hamming自相關(guān)最大旁瓣Ha、周期Hamming互相關(guān)峰值Hc和最大周期Hamming相關(guān)Hm滿足

q(L-1)Ha+q(M-1)LHc≥L2M-qL，

上述結(jié)論是Peng、Fan在2004年第一次推導(dǎo)得到的。

3 一類跳頻序列強相關(guān)性分析

(11)

其中，k=0,1,…,q-1,i=0,1,…,Z。

2) 對于k=0,1,…,q-1，m=0,1,…,L(Z+1)-1取

(12)

其中m=0,1,…,L(Z+1)-1，〈x〉n=xmodn。

定理2上述得到的跳頻序列集S具有如下性質(zhì)：

1) 時頻二維NHZ為[0,Z]×[0,N]。

2) 序列長度為(Z+1)L，序列個數(shù)為q，時域NHZ邊界為Z，頻域NHZ邊界為N。

3) 時頻二維NHZ最大異相自相關(guān)值為(Z+1)Ha，最大互相關(guān)值為(Z+1)Hc。

證明跳頻序列集C={C(i)|i=0,1,…,Z}是不同頻率集{F(i)|i=0,1,…,Z}上的FHSS，基于等式(12)可得到序列集S的序列長度為L(Z+1)，序列個數(shù)為q。接下來進一步證明序列集S的時頻二維NHZ為[0,Z]×[0,N]，基于等式(11)與函數(shù)h[x,y]得

(13)

跳頻序列集C={C(i)|i=0,1,…,Z}，任意C(i)是滿足Peng-Fan界的FHSS，故C(i)最大周期Hamming相關(guān)Hm滿足Peng-Fan理論界，即

對于(τ,υ)∈[Znt+1,L-1]×[0,Znf]上，接下來分別討論序列集S的最大異相自相關(guān)值和最大互相關(guān)值。

1) 最大異相自相關(guān)值

考慮Hamming相關(guān)函數(shù)Hs(k)s(k)(τ,υ)，基于提出的構(gòu)造方法可得到：

因為跳頻序列集C最大異相Hamming自相關(guān)為Ha， 對于i=0,1,…,Z有

由此可得序列集S的最大異相自相關(guān)為(Z+1)Ha。

2) 最大互相關(guān)值

因為跳頻序列集C最大Hamming互相關(guān)為Hc，對于i=0,1,…,Z有

由此可得序列集S的最大異相自相關(guān)為(Z+1)Hc。

跳頻序列集C最大Hamming相關(guān)Hm=max{Ha,Hc}，通過上述討論可得出序列集S的最大Hamming相關(guān)為(Z+1)Hm，即

實例：

令Z=2，N=2，F(xiàn)={0，1,2，…，44}，從F中選取F(0)={0，3,6,9,12}共5個頻隙，其中任意兩個頻隙間隔大于等于3，同理得到頻率集F(1)={15，18,21,24,27}，F(xiàn)(2)={30，33,36,39,42}。跳頻序列集C={C(0),C(1),C(2)}分別從F(0)，F(xiàn)(1)，F(xiàn)(2)上得到的，序列集C具體如下所示：

C(0)={(3,3,6,12,6)；(6,6,9,0,9)；(9,9,12,3,12);

(12,12,0,6,0);(0,0,3,9,3)}，

C(1)={(18,18,21,27,21);(21,21,24,15,24);

(24,24,27,18,27);(27,27,15,21,15)；

(15,15,18,24,18)}，

C(2)={(33,33,36,42,36);(36,36,39,30,39);

(39,39,42,33,42);(42,42,30，36,30)；

(30,30,33,39,33)}，

由等式(12)，得到跳頻序列如下所示:

s(0)=(3,18,33,3,18,33,6,21,

36,12,27,42,6,21,36),

s(1)=(6,21,36,6,21,36,9,24,39,

0,15,30,9,24,39)，

s(2)=(9,24,39,9,24,39,12,27,

42,3,18,33,12,27,42)，

s(3)=(12,27,42,12,27,42,0,15，

30,6,21,36,0,15,30)，

s(4)=(0,15,30,0,15,30，3,18,

33,9,24,39,3,18,33)，

令S={s(0),s(1),s(2),s(3),s(4)}，時頻二維NHZ為[0,2]×[0,2]，時頻二維NHZ外最大周期Hamming自相關(guān)Ha(S)=3、互相關(guān)Hc(S)=3，最大周期Hamming相關(guān)Hm(S)=3。

將涉及的參數(shù)代入推導(dǎo)的強時頻二維無碰撞區(qū)FHSS的頻域非周期的時頻二維周期Hamming相關(guān)理論界中，可知滿足該理論界，但不能使等號成立，即不能達到最優(yōu)，但仍具有很好的相關(guān)性能。

4 結(jié)論

文中建立了包含頻隙個數(shù)、序列長度、序列數(shù)目、時頻二維NHZ之外FHSS最大異相Hamming自相關(guān)函值和最大互相關(guān)函數(shù)值的理論界，給FHSS在時頻二維NHZ之外Hamming相關(guān)性優(yōu)化提供標(biāo)準(zhǔn)。提出了強時頻二維無碰撞區(qū)FHSS的概念。對一類強時頻二維無碰撞區(qū)FHSS的Hamming相關(guān)性進行了分析，該類強時頻二維無碰撞區(qū)FHSS不是最優(yōu)的。構(gòu)造具有最優(yōu)強時頻二維無碰撞區(qū)FHSS是進一步需要做的工作。