鄭秋燕，劉立漢，陳容

重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶 401331

在聲波和電磁波的反散射問題中，傳輸特征值的性質可以用來估計散射體材料的性質，并且此時的傳輸特征值問題是橢圓方程特征值問題的標準理論所沒有包含的非線性、非自伴隨特征值問題。因此，對反散射問題中的傳輸特征值的研究，引起了國內外許多學者的興趣和關注，也成為近年來一個非常活躍的研究熱點，有關這方面的詳細綜述見文獻［1-6］。目前已經(jīng)研究了一些關于傳輸特征值的性質，包括傳輸特征值的離散性［7-8］、實傳輸特征值的存在性［7，9］、傳輸特征值在復平面的位置［10］和傳輸特征值在多種假設下的一般光譜性［11-12］等。同時，也涌現(xiàn)一些研究傳輸特征值問題的數(shù)學方法，包括變分法［7，13］、邊界積分方程方法［1，14-16］和半經(jīng)典分析［12，17］。尤其文獻［18-19］指出，從散射數(shù)據(jù)中可以確定傳輸特征值，并根據(jù)折射率可以建立傳輸特征值的單調性，這使得傳輸特征值問題的性質分析能夠作為反散射問題研究的關鍵點。

本文利用邊界積分方程方法研究了可穿透非均勻介質反散射中的傳輸特征值問題。邊界積分方程方法首先是由Cossonnière 和Haddar在傳輸特征值問題中使用，他們是利用格林公式對傳輸特征函數(shù)進行作用，然后推導出一個與傳輸特征值問題等價的線性邊界積分方程組，且線性邊界積分方程組是由兩個邊界積分方程構成，其對應于依賴非線性特征值參數(shù)k的二乘二矩陣值算子。而本文則是只有一個線性邊界積分方程，也非線性依賴于特征值參數(shù)k，很大程度上減少了計算量。

1 可穿透非均勻介質反散射中的傳輸特征值問題

本文的目的是從傳輸特征值的表征形式推導積分方程，因此根據(jù)方程組（1）～（4），定義Robin-Dirichlet 算子：

其中η＞0；根據(jù)格林積分定理可知，Re(k) ＞0，Im(k) ≥0（如果Im(k) ＜0，則可以在阻抗條件中用η＜0代替）。

引理1k是對應于方程組（1）～（4）的傳輸特征值當且僅當算子

的核是非平凡的。進一步，如果(Rk，1-Rk，n)φ= 0，那么傳輸特征值函數(shù)w，v，即方程組（1）～（4）的非平凡解是方程組（6）～（7）中任意折射率n和特殊折射率n= 1的解。

由式（7）和式（10）可知，

將式（12）代入式（11），可得

因此，Robin-Dirichlet 算子以及方程組（6）～（7）與方程組（1）～（4）是等價的，進而可以利用Robin-Dirichlet算子以及方程組（6）～（7）去考慮傳輸特征值問題，得證。

其中“低于基本生活水平”和“窮盡其他幫助”兩項要件源于對法律規(guī)范的解釋，并通過政策文件的細化填充了豐富的內容，“值得救助”源于中央與地方政策文件的內容?？梢?，與公法上其他權利多以法律規(guī)范為根基，輔之以適當?shù)恼呓忉尣煌?，社會救助權從要件解釋到要件構造都明顯地依賴于政策的作用，而此時的法律規(guī)范更像是一幅未完成的畫作，填充顏色或是補充空白均需政策予以完成。就此意義上，我國當下的社會救助權具有強烈的政策意味，“法味”不足，呈現(xiàn)出以下特點：

為了用邊界積分算子來表示Robin-Dirichlet 算子，引入單層勢算子Sk：

其中

于是得到

其中w∈H2(D)，使得w=τ且?w/?νA= 0.

2 Robin-Dirichlet算子的相關性質

根據(jù)Robin問題：

的唯一性，在k= i和η= i的情況下，引理3同樣成立。

通過以上分析，可以用邊界積分算子表示Robin-Dirichlet算子，即：

進一步分析Robin-Dirichlet算子關于k，kn的差：

于是，有以下正則性結論。

引理4 線性算子

將式（20）化為

證明 對任意u，v∈H2(D)，有

其中任意u∈H2(D)，存在常數(shù)c?＞0.

進一步得到

因此，得到邊界條件

這里令v=uˉ，將式（27）～（30）代入式（25），有

并且有

其中F(u，ui) ∈L2(D)，且