張俊生,張祖軍

(1.中南勘察設(shè)計院集團有限公司，湖北 武漢 430000;2.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410014)

0 引言

近年來，連續(xù)剛構(gòu)橋憑借跨徑大、整體性好、受力明確等優(yōu)勢，在我國西南部山區(qū)大跨徑橋梁建設(shè)中占據(jù)了主體地位。但西南山區(qū)屬于地震頻發(fā)地區(qū)，在大跨徑剛構(gòu)橋梁設(shè)計時必須考慮地震效應(yīng)的影響[1-2]。目前已有眾多學(xué)者對橋梁在地震作用下的力學(xué)響應(yīng)特征進行了研究。但是目前大部分研究中對于連續(xù)剛構(gòu)橋的抗震分析方法主要為反應(yīng)譜法和時程分析[3]，以上2種方法對于橋梁結(jié)構(gòu)抗震分析均有一定的局限性，反應(yīng)譜法本質(zhì)上是一種靜力法，僅適用于結(jié)構(gòu)線彈性工作范圍，時程分析法對波形的適應(yīng)度有限，僅能用于部分特定波形，因此使用以上2種方法分析結(jié)構(gòu)在地震作用下的隨機振動響應(yīng)均有一定誤差。虛擬激勵法是一種高次超靜定結(jié)構(gòu)地震分析的方法，在特大跨徑斜拉橋、懸索橋抗震分析中應(yīng)用廣泛[4]。本文將其引入連續(xù)剛構(gòu)橋抗震分析中，探究連續(xù)剛構(gòu)橋地震主梁和橋墩的力學(xué)響應(yīng)特征，為大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋抗震分析提供一種新思路。

1 基于絕對位移法的虛擬激勵直接求解理論

對于任一結(jié)構(gòu)來說，在三維地震激勵下，其振動方程可表示為式(1)[5]。

(1)

式中：S和b分別為非支撐節(jié)點和支撐節(jié)點；M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Xs為節(jié)點位移位移向量；Xb為地面強迫位移向量，其一階和二階導(dǎo)數(shù)分布為速度和加速度向量；Pb為地震力矩陣向量。

(2)

(3)

根據(jù)式(3)，求得結(jié)構(gòu)支撐點位置的加速度后，即得到地震作用的實際加速度值，將式(3)代入式(1)中第1項， 并展開得到式(4)。

Kss·Xs+Ksb·us=0

(4)

移項并整理可得：

(5)

在支撐位置施加以下虛擬荷載：

-P·eiωt/ω2

(6)

式中：P表示功率譜矩陣，可由S0(w)=P*×PT分解。

聯(lián)立式(5)和式(6)，可得到在虛擬激勵荷載下的振動方程：

(7)

為簡化計算，略去阻尼項，結(jié)構(gòu)在虛擬激勵荷載下的動力方程可變?yōu)椋?/p>

(8)

式(8)為結(jié)構(gòu)在隨機荷載作用下的簡諧振動方程，通過進行諧響應(yīng)求解，可獲得結(jié)構(gòu)功率譜矩陣，見式(9)，根據(jù)功率譜矩陣，可快速求解各階譜矩陣，結(jié)合有限元分析可方便地求解內(nèi)力響應(yīng)均值。

(9)

2 有限元建模和地震模型參數(shù)選取

2.1 工程概況

以某大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋為研究對象，該橋橋跨組合為(65+120+65)m，梁截面形式為單箱單室截面，主梁混凝土材料標(biāo)號為C50，橋梁單幅橋面全寬為12.125 m。根部梁高為9 m，跨中截面梁高3.5 m，變截面段箱梁高度按1.8次拋物線變化。整體結(jié)構(gòu)為三向預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。下部結(jié)構(gòu)為矩形墩，混凝土標(biāo)號C40。橋址地震烈度為Ⅶ度，峰值加速度為0.05g，反應(yīng)譜特征周期0.35 s。橋型布置圖和截面圖見圖1、圖2。

2.2 有限元建模及參數(shù)選取

在ANSYS中直接實現(xiàn)虛擬激勵荷載的模擬是極其困難的，傳統(tǒng)方法是通過將絕對位移分解為等

圖1 橋型布置示意圖(單位：cm)Figure 1 Schematic diagram of bridge layout (Unit:cm)

(a) 支點截面

(b) 跨中截面

效靜力位移項和相對動力位移項，一般均需確定靜力影響矩陣，再根據(jù)影響矩陣確定靜力項和動力項的虛擬激勵荷載。當(dāng)結(jié)構(gòu)自由度較多時，靜力影響矩陣會非常龐大，求解十分困難。而基于“大質(zhì)量法”，通過在支撐位置施加極大質(zhì)量塊，在大質(zhì)量塊上施加虛擬激勵荷載，將地震加速度求解等效為求解結(jié)構(gòu)在支撐位置的加速度。該法可極大提高虛擬激勵法在有限元分析中的計算效率[6-8]。

使用APDL語言建立該橋ANSYS有限元模型，其中，主梁和主墩使用梁單元Beam188模擬，為簡化計算，不考慮樁-土作用的影響，主墩底部使用固定約束條件，兩側(cè)橋臺位置約束豎向位移，墩梁之間使用面固結(jié)約束。在各約束建立Mass21質(zhì)量單元，以便于施加大質(zhì)量塊(一般取結(jié)構(gòu)質(zhì)量的106～109倍，本文擬取108)。有限元模型見圖3。

圖3 有限元模型示意圖Figure 3 Schematic diagram of finite element model

使用Block Lanczos法求解橋梁結(jié)構(gòu)自振頻率[9]，表1和圖4給出了該橋部分階次的振動頻率和振型計算結(jié)果。

從振動頻率分析結(jié)果可以看出，該橋模態(tài)分布呈跳躍式，臨近階次模態(tài)相互干擾的可能性較小，模態(tài)成分相對于斜拉橋而言較為簡單，振型沒有出現(xiàn)明顯的空間疊加效應(yīng)和耦合現(xiàn)象。根據(jù)設(shè)計地勘資料，按Ⅶ度烈度區(qū)、場地類型為Ⅱ類進行分析。

表1 橋梁部分階次振動頻率Table 1 Part of the order vibration frequency of the bridge 階次頻率/Hz階次頻率/Hz10.659 6207.326 220.960 83010.135 831.211 34013.069 841.341 15015.326 552.462 76017.782 462.463 47019.433 573.074 78021.214 383.824 59023.125 294.305 110025.076 9105.114 7

選用Clough-Penzien譜模型作為地震功率譜輸入模型，該模型基于Kanai-Tajimi模型改進而來，克服了K-T模型在w=0時出現(xiàn)奇異的缺點，消除了其在低頻狀態(tài)下夸大地震地面運動的問題[10]，其表達式可表述為式(10)。

(10)

式中：S0為白譜強度，是一個頻率無關(guān)的量；ξg為

(a)主梁縱飄

(b)主梁一階正對稱橫彎

(c)主梁一階反對稱橫彎

(d)主梁一階正對稱豎彎

(e)主梁一階反對稱豎彎

f)主梁二階正對稱橫彎

土層阻尼比；ωg為卓越角頻率；ωf、ξf為低通濾波項參數(shù)。

根據(jù)地勘資料結(jié)合相關(guān)研究成果，對各參數(shù)取值如下：ωg=13.96 rad/s；ξg=ξf=0.8；ωf=2.792 rad/s；S0=7.123 cm2/s3。在Matlab中求解功率譜矩陣后，將其輸入有限元軟件中即可求得隨機地震作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)結(jié)果。

3 主梁計算結(jié)果

將各取值參數(shù)輸入至ANSYS模型中，根據(jù)“大質(zhì)量法”模擬虛擬激勵荷載，在ANSYS中計算獲取各響應(yīng)的功率譜，而后根據(jù)隨機振動理論得到結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)結(jié)果。本文擬考慮以下工況進行對比：工況1：縱向地震波激勵；工況2：橫向地震波激勵；工況3：縱向+橫向地震波激勵；工況4：縱向+豎向地震波激勵；工況5：三向激勵。

3.1 一維地震激勵下主梁力學(xué)特征

圖5、圖6和表2給出了主梁在一維多點激勵下(工況1、工況2)部分關(guān)鍵截面彎矩、剪力和位移均方根響應(yīng)結(jié)果，由計算結(jié)果可知：①在縱向地震波激勵下，主梁縱向彎矩均方根最大為6 884.2 kN·m，對豎向剪力影響較小，最大剪力均方根為657.58 kN；②在橫向地震波激勵下，彎矩值普遍較大，橫向最大彎矩值達32 500.4 kN·m，同時橫向地震波會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生縱橋向彎矩，均方根值與工況1中的彎矩值相當(dāng)，橫向激勵對剪力的影響與工況1 大體相當(dāng)；③主梁在2種工況下的豎向位移均方根結(jié)果基本一致，沒有明顯差別，在橫向激勵下最大橫向位移均方根為6.87 mm。由此可知，在一維地震激勵下，橫向激勵主梁內(nèi)力響應(yīng)遠(yuǎn)大于縱向激勵，同時，橫向激勵會使得結(jié)構(gòu)產(chǎn)生縱向彎矩，說明結(jié)構(gòu)在地震作用下的內(nèi)力響應(yīng)呈現(xiàn)出耦合現(xiàn)象。

(a) 縱向

(b) 豎向

(a) 橫向與縱向

(b) 橫向

表2 工況1、工況2主梁部分關(guān)鍵截面位移均方根對比Table 2 Comparison of root mean square of displacement of key sections of main girder in working condition 1、condition 2 mm截面工況1工況2豎向位移豎向位移橫向位移左邊跨L/416.8516.392.35左邊跨L/228.5227.743.42左邊跨3L/413.2412.884.62左側(cè)墩頂2.112.253.95中跨L/431.5433.624.13中跨L/242.8745.696.87中跨3L/433.4736.824.26右側(cè)墩頂3.413.753.27右邊跨L/418.8218.234.43右邊跨L/230.0429.093.84右邊跨3L/416.7316.202.67

3.2 二維地震激勵下主梁力學(xué)特征

圖7給出了工況3、工況4作用下主梁部分關(guān)鍵截面縱橫向彎矩響應(yīng)均方根結(jié)果，計算結(jié)果表明：在縱向+橫向二維地震激勵下，主梁縱向彎矩與縱向一維激勵影響效應(yīng)保持一致，橫向彎矩與一維橫向激勵基本一致，二維激勵下彎矩值略高；在縱向+豎向二維地震激勵下，結(jié)構(gòu)縱向彎矩均方根值較縱向一維激勵小，降幅在6%～10%之間，分析原因為在該工況下激發(fā)了主梁反對稱振型，導(dǎo)致彎矩效應(yīng)減小。

表3給出了工況3、工況4作用下主梁關(guān)鍵截面位移均方根響應(yīng)結(jié)果，由計算結(jié)果可知：工況3相對于橫向一維激勵(工況2)豎向，及橫向位移略有增大，但影響規(guī)律基本一致；工況4豎向位移相對于縱向一維激勵(工況1)略有減小。位移均方根響應(yīng)結(jié)果與主梁彎矩響應(yīng)結(jié)果規(guī)律大致相同，兩者起到了相互驗證的效果。

3.3 三向地震作用下主梁力學(xué)特征

圖8給出了工況5作用下主梁部分關(guān)鍵截面縱橫向彎矩響應(yīng)均方根結(jié)果，計算結(jié)果表明：在三向地震激勵下，主梁縱向、橫向彎矩均方根結(jié)果均小于縱向+橫向二維激勵下主梁彎矩效應(yīng)，其原因仍為豎向激勵下反對稱振型被激發(fā)造成的，其主梁豎向、橫向位移也相比縱向+橫向二維激勵時略小，原因上同，在此不再贅述。

(a) 縱向與橫向

(b) 縱向

表3 工況3、工況4主梁部分關(guān)鍵截面位移均方根對比Table 3 Comparison of root mean square of displacement of key sections of main girder in working condition 3、condition 4 mm 截面工況3工況4豎向位移橫向位移豎向位移截面工況3工況4豎向位移橫向位移豎向位移左邊跨L/418.732.5216.42中跨3L/438.984.7930.95左邊跨L/231.703.6727.78右側(cè)墩頂3.973.673.23左邊跨3L/414.724.9612.90右邊跨L/419.305.0917.82左側(cè)墩頂2.574.241.95右邊跨L/230.804.4128.44中跨L/438.424.4429.17右邊跨3L/417.153.0715.84中跨L/252.217.7239.64

圖8 工況5主梁彎矩均方根響應(yīng)圖Figure 8 Root mean square response diagram of main beam bending moment of working condition 5

4 主墩計算結(jié)果

以左側(cè)橋墩為例，對比分析5種工況下橋墩受力及變形規(guī)律，為節(jié)約篇幅，選取墩底、墩身1/2處，墩底3個關(guān)鍵截面，分別提取各工況下彎矩均方根和位移均方根計算結(jié)果。

表4給出了各工況下橋墩關(guān)鍵截面縱向及橫向彎矩均方根響應(yīng)結(jié)果，計算結(jié)果表明：①對于一維激勵，橋墩彎矩值由該方向激勵力控制，如在縱向激勵下，橋墩縱向彎矩值最大，在橫向激勵下，橋墩橫向彎矩最大；②縱向+橫向二維激勵下，橋墩縱、橫向向彎矩與縱向、橫向一維激勵時對應(yīng)彎矩值大致相同，其值略高；③對于二維或三維激勵，豎向激勵將激發(fā)結(jié)構(gòu)反對稱振型，使得橋墩彎矩有較小的趨勢。

表4 各工況下主墩彎矩響應(yīng)均方根結(jié)果對比Table 4 Comparison of root mean square results of main pier bending moment response under various working conditions (kN·m)截面位置工況1工況2工況3工況4工況5縱向橫向縱向橫向縱向橫向縱向橫向縱向橫向墩頂14 9092 6853 57445 32915 85247 52813 2522 19610 99145 695墩身1/29 1412 0562 44630 27410 63532 1248 8351 6879 63231 236墩底10 6852 6943 82548 77312 36650 7429 6412 33810 86248 639

表5給出了各工況下橋墩墩頂截面位置縱向及橫向位移均方根響應(yīng)結(jié)果，計算結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)的橫向位移主要由橫向激勵控制，豎向激勵下，反對稱振型的激發(fā)會降低橋墩位移值，同時，由工況1～工況2對比結(jié)果，橫向激勵對縱向位移的影響

表5 各工況下主墩位移響應(yīng)均方根結(jié)果對比Table 5 Comparison of root-mean-square results of main pier displacement response under various working condi-tions mm工況縱向橫向工況121.68.5工況213.436.2工況323.438.3工況417.87.6工況525.627.4

要大于縱向激勵對橫向位移的影響。其他變化規(guī)律與主梁變化規(guī)律大致相同，不作贅述。

5 結(jié)論

以某剛構(gòu)橋為研究對象，基于隨機振動理論，將虛擬激勵法應(yīng)用至大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋梁的抗震分析中，對比分析了一維、二維、三維共5種工況激勵下主梁和橋墩力學(xué)響應(yīng)特征，可得到以下結(jié)論：

a.一維地震激勵，縱向激勵荷載控制縱向彎矩，橫向激勵荷載控制橫向彎矩；二維地震激勵下，縱向+橫向激勵工況中縱向、橫向彎矩與一維縱向、橫向激勵下彎矩響應(yīng)規(guī)律大體相同，數(shù)值略有增大。

b.二維縱向+豎向激勵下，結(jié)構(gòu)彎矩響應(yīng)小于一維縱向激勵，這是由于豎向激勵荷載激發(fā)了結(jié)構(gòu)反對稱振型，三向激勵的主梁彎矩規(guī)律與二維縱向+豎向激勵一致，原因相同。

c.主梁橋墩彎矩和位移變化規(guī)律跟主梁類似，其中橫向激勵下橋墩位移響應(yīng)較縱向激勵大，在抗震設(shè)計時應(yīng)加強墩柱橫向剛度。