徐 峰，姚恩濤，馮嘉瑞，曹智超

(南京航空航天大學自動化學院，江蘇 南京211100)

拉線位移傳感器具有成本低、動態(tài)特性好、安裝簡便等特點。 拉線變形產生的誤差、增量式旋轉編碼器的裝調誤差、制造誤差和細分誤差均會對拉線位移傳感器的精度造成影響。 為獲得高可靠性、高精度的位移信息，需要對拉線位移傳感器的誤差進行補償。 文獻[1]提出一種動態(tài)測量誤差補償方法，建立拉線加速度與受力關系、變形量與受力關系的數(shù)據(jù)庫，再通過計算得到實際位移量，實現(xiàn)了動態(tài)補償。 文獻[2]發(fā)明了一種修正工具，采用了一種工具與軟件結合修正分辨率的方式來修正誤差。 文獻[3]指出拉線位移傳感器精度的提高，可通過提高其核心部件即內部編碼器的精度來實現(xiàn)，通過增加編碼器碼道數(shù)目來提高精度，減小測量誤差。 上述文獻未對拉線與編碼器的誤差情況進行重點分析，雖然在一定程度上補償了誤差，提高了精度，但需要額外的設備或建立龐大的數(shù)據(jù)庫體系來協(xié)助補償。 本文基于拉線位移傳感器的測距原理，對拉線位移傳感器誤差來源進行了研究，并提出一種基于PSO-BP 神經網絡模型的誤差補償方法對拉線位移傳感器的誤差進行補償。

1 誤差來源

1.1 拉線誤差

拉線處于水平或傾斜位置時，受重力和拉線盒內部彈簧拉力的作用，將下垂彎曲，且當測量位移發(fā)生變化時，其撓度也在非線性變化。 由于拉線位移傳感器測量的是拉線長度，并非兩點間直線距離，產生了測量誤差，由于重力方向確定，該誤差方向也確定，即測量值相比于真實值偏大。

做出如下假定:假定拉線是一根處處鉸接的柔軟鏈條，那么拉線僅受到軸向張力和重力，不承受彎曲力矩。 拉線受到的重力垂直向下，并沿拉線長度均勻分布[4]。

在測量某一直線距離時，將拉線一端固定，另一端拉至測量位置，為了確認此時拉線的實際長度，將拉線近似等效為以下模型，如圖1 所示。

圖1 拉線模型

其中，B點固定，為拉線位移傳感器出線口位置，A點為測量點，設該點受拉力F，方向為拉線在A點的切線方向。 設直線AB為待測距離，長度為L，AB與水平線夾角為β。 由于拉線受自重影響，會產生下垂彎曲，即弧線AB，設其長度為S，即拉線位移傳感器測量值，此時弧線在A點處的切線與水平線夾角為α。

根據(jù)懸鏈線長度公式:

式中:ρ是拉線單位長度質量(kg/m)。

拉力F的大小與拉線長度有如下關系:

k為彈簧勁度系數(shù)，Δx為彈簧伸長量。

當位移為水平方向時，即β＝0，懸鏈線長度公式如下:

α與F的關系如下:

分析式(1)～式(4)可得出由拉線形變引起的測量誤差el，與拉線拉出長度S、拉線單位長度質量ρ和輪轂彈簧勁度系數(shù)有關，即:

且拉線彎曲引起的誤差和拉線拉出的長度及拉線單位長度質量呈正相關，與編碼器輪轂彈簧勁度系數(shù)呈負相關。

1.2 編碼器誤差

拉線位移傳感器的測距原理是將直線位移轉化為編碼器軸的旋轉運動，其核心部件是增量式旋轉光電編碼器。 故光電編碼器引起的誤差將導致拉線位移傳感器的總誤差增大。 光電編碼器的精度取決于機械因素，主要體現(xiàn)在編碼器制造、裝配、元器件的選型等方面，誤差可分為碼盤的偏心誤差、制造誤差和細分誤差等[5]。

偏心誤差產生的原因是碼盤的中心位置和轉動中心不重合，如圖2 所示。

圖2 安裝偏心示意圖

設碼盤的中心為O，旋轉中心為O′，兩點距離為f，刻線的長度為l，光柵外徑為r，則產生的偏移相移Δθ為:

碼盤的制造需要光刻設備進行刻線，受光刻設備自身誤差影響，刻線的位置、方向與標準情況相比有一定偏差，將影響輸出的莫爾條紋的質量。

莫爾條紋信號偏離理論波形較大，甚至產生嚴重失真，將會導致細分誤差的增大。 莫爾條紋信號包含多種信號成分，表達式如下:

式中:A(θ)為直流分量，Bj(θ)為交流分量，ω(θ)為光柵角柵距，C(θ)為干擾噪聲信號。 這些信號都不是恒定值，而是光柵角度位置θ隨時間變化的函數(shù)。這些變化會影響莫爾條紋信號的質量，導致測量角位移時產生誤差。

設兩路細分信號分別為標準正弦信號，表達式如下:

式中:θ0為理論轉角，表達式為:

實際信號的振幅并不是恒定值，而是受電源的穩(wěn)定性、發(fā)光設備的發(fā)光強度以及環(huán)境溫度等因素影響而變化，并且實際莫爾條紋信號與標準正弦信號相比有一定偏差[6]，設兩路信號的表達式如下:

則實際細分相角表達式為:

細分誤差為:

2 基于PSO-BP 神經網絡的誤差補償模型

拉線位移傳感器在實際測量位移的過程中，由于測量值會受到拉繩、編碼器、安裝位置及環(huán)境因素的影響，測量誤差具有非線性和隨機性[7-8]，而BP神經網絡在非線性函數(shù)方面有較高的處理能力。

BP 神經網絡的本質是梯度下降算法的多層迭代前饋網絡[9]。 當網絡正向傳播時，通過提供大量輸入實例至輸入層，再傳遞至隱含層進行計算，最終由輸出層輸出計算結果，通過定義損失函數(shù)L(＾y(i)，y(i))和成本函數(shù)J(w，b)分別衡量網絡在單個和全體訓練樣本上的表現(xiàn)[10]。 由于拉線式位移傳感器的誤差具有非線性，本文采用sigmod 函數(shù)[11]作為激活函數(shù)，采用交叉熵損失函數(shù)作為損失函數(shù)，其具有收斂速度快和更容易獲得全局最優(yōu)的優(yōu)點，成本函數(shù)為所有樣本損失函數(shù)之和的平均值:

由成本函數(shù)得到累計誤差，基于累計誤差最小化的更新原則調整各神經元的權值和閾值。 如此反復迭代學習與調整參數(shù)，累計誤差將減小到預定范圍。 權值和閾值的調整公式如下:

BP 神經網絡在訓練時，與權值和閾值相關的成本函數(shù)通常未知，為保證收斂性，學習率相對較小，因此收斂速度較慢，迭代次數(shù)上升，效率極大下降。另外，梯度下降法本身存在弊端，訓練時易陷入局部最小值，通常與網絡的初始閾值和權值的選取有關，選取不當將無法得到最優(yōu)解。

為解決上述問題，本文采用粒子群算法[12]對BP 神經網絡進行優(yōu)化。 粒子群算法具有較強的全局搜索能力[13]，能夠提高BP 神經網絡的訓練速度，并且避免了權值和閾值的初值選取不當造成的易陷入局部最小值的問題。

PSO 算法對于指定的待優(yōu)化問題，設定每個粒子定義為待搜索空間內存在的潛在解，粒子記憶其歷史最優(yōu)位置和全體粒子最優(yōu)位置。 在每一次迭代過程中，粒子的信息被整合起來，調整每一維上的速度，進而更新粒子位置，通過多次迭代，各個粒子位置逐漸趨近最優(yōu)解[14]。 算法公式如下:

式中:ω為慣性權重，c1、c2為學習因子，r1、r2為介于(0，1)之間的 隨機數(shù)，分別為第k、k+1 次迭代過程中粒子i的速度，分別為第k、k+1 次迭代過程中粒子i的位置，pbesti為個體最優(yōu)位置，gbest 為群體最優(yōu)位置。

本文采用的PSO 算法對BP 神經網絡優(yōu)化的策略是對初始權值和閾值進行優(yōu)化，將全體樣本的BP神經網絡的輸出和實際值的誤差平方和的平均值作為適應值，通過不斷迭代，搜尋全局最優(yōu)解使適應度值逐步減小[15]。 適應度函數(shù)如下:

式中:fitness 為適應度值，m為樣本個數(shù)，pi為樣本輸出，yi為實際值。

PSO 算法優(yōu)化BP 神經網絡的流程如圖3 所示，流程如下:

圖3 PSO 算法優(yōu)化BP 神經網絡的流程圖

①對樣本數(shù)據(jù)預處理，并按9 ∶1 比例劃分為訓練集和測試集。

②初步確定BP 神經網絡的結構，設定隱含層和輸出層的激活函數(shù)與成本函數(shù)。

③設置PSO 算法的種群粒子數(shù)和迭代終止條件，優(yōu)化初始權值和閾值。

④將優(yōu)化過的權值和閾值作為BP 神經網絡的初始權值和閾值，使用訓練集進行網絡訓練，將訓練后的網絡相關參數(shù)保存。

⑤使用測試集對BP 神經網絡進行測試，若測試精度在可接受范圍內，則保存結果。 否則，更改神經網絡結構，返回步驟③。

3 實驗及數(shù)據(jù)處理

3.1 實驗裝置

本文被檢測的拉線位移傳感器為KS120 系列拉線位移傳感器。 在實驗中采用LT-P2250 型高精度激光位移傳感器進行標定，其分辨率為1 nm，重復精度為250 μm，線性度為0.03% FS，該傳感器可進行高精度的非接觸測量，且具有高速、高靈敏度的測量性能，故將其測量值作為約定真值。 實驗裝置原理框圖如圖4 所示。

圖4 實驗裝置原理框圖

傳感器檢測裝置由被檢測拉線位移傳感器、計算機、MCU、激光測距儀、電機和滑塊、導軌等組成。上位機計算機與MCU 通過232 總線通信，可設定傳感器的檢測次數(shù)及測量位移等。 MCU 接收上位機的采集指令，控制電機帶動滑塊在導軌上運動并在測量點處停止，通過采集拉線位移傳感器的脈沖信號獲取測量位移，與激光測距儀通過485 總線進行通信，獲取位移真值，最后將測量值和真值上傳至上位機計算機儲存，用于研究傳感器的誤差補償。

3.2 誤差表示

傳感器誤差可由絕對誤差e、平均絕對值誤差MAE(Mean Absolute Error)[16]和 標 準 偏 差σ來表示。

絕對誤差e反應測量值偏離真實值的大小和方向，表達式如下:

式中:x為待測物理量的測量值，a為其真值。

平均絕對值誤差MAE 表示在一組n次測量中，各次測量的絕對誤差的絕對值的平均值，表達式如下:

式中:n為測量次數(shù)，ei為第i次測量時的絕對誤差。

標準偏差σ描述一組n次測量中，各絕對誤差偏離平均絕對值誤差的平均數(shù)，能夠反應一個數(shù)據(jù)集的離散程度。 其表達式如下:

3.3 重復性測試實驗

在拉線位移傳感器量程范圍內設置多個測量點，對每個測量點進行多組實驗測量。 各個測量點的標準偏差和平均絕對誤差如表1 所示，各測量點標準偏差和平均絕對值誤差分別如圖5、圖6 所示。

圖5 各測量點標準偏差

圖6 各測量點平均絕對值誤差

表1 各測量點標準偏差與平均測量誤差

從實驗數(shù)據(jù)和誤差曲線圖可看出，在量程范圍內對某點多次測量，測量值的標準偏差趨于穩(wěn)定，表明拉線位移傳感器具有良好的測量重復性；其次，隨著位移值的增大，平均絕對值誤差也在增大，且具有一定的非線性特點。

3.4 誤差補償實驗

為了盡可能多地獲取全范圍內的實驗樣本用于神經網絡的訓練，在拉線位移傳感器量程范圍內隨機測量位移，并記錄測量值和測量誤差，共計400 組數(shù)據(jù)。 測量誤差值如圖7 所示，橫坐標是測量位移，縱坐標是絕對誤差。

圖7 顯示出在全量程范圍內拉線位移傳感器的誤差在一定范圍內波動，且測量位移越大，絕對誤差越大，在一些要求高精度的場合使用時必須對其進行誤差補償[17]。

圖7 拉線位移傳感器全量程絕對誤差情況

取其中360 組數(shù)據(jù)作為訓練集輸入到PSO-BP神經網絡補償模型中進行學習。 在PSO 算法中，設定種群規(guī)模為100，迭代終止條件為迭代100 次，慣性權重ω為0.6，學習因子c1＝c2＝2，初始化粒子的每一維位置和速度均為(-1，1)范圍內隨機數(shù)，將訓練得到的群體最優(yōu)位置作為BP 神經網絡的初始權值和閾值進行訓練，最終確定神經網絡的隱含層節(jié)點為[10，15，5]，學習率α＝0.002。 再將40 組測試集輸入到經過訓練后的神經網絡進行誤差的預測，將其與未補償?shù)恼`差做比較并進行誤差補償。 基于PSO 的BP 神經網絡預測能力和補償前后的拉線位移傳感器誤差對比如表2 及圖8 所示。

表2 PSO-BP 神經網絡模型補償前后誤差對比

圖8 和表2 顯示出PSO-BP 神經網絡補償模型能夠有效補償拉線位移傳感器測量誤差，尤其針對較大偏差的補償更加明顯，平均絕對值誤差和標準偏差顯著降低。

圖8 PSO-BP 神經網絡誤差預測及補償情況

3.5 補償模型結果數(shù)據(jù)對比

將傳統(tǒng)的多項式擬合模型和傳統(tǒng)BP 神經網絡模型應用于拉線位移傳感器誤差補償，補償結果如圖9、圖10 所示，并與本文PSO-BP 神經網絡補償模型進行結果對比，如表3 所示。

圖9 多項式擬合模型誤差預測及補償情況

圖10 BP 神經網絡模型誤差預測及補償情況

表3 各補償系統(tǒng)誤差補償效果對比

從實驗數(shù)據(jù)看出，經過PSO-BP 神經網絡補償模型的誤差補償后，測量誤差顯著降低，同未補償時相比，平均誤差降低到0.167 mm，標準偏差降低到0.102 mm，拉線位移傳感器的精度由0.136% FS 提高到0.007% FS。 且相比于另外兩種模型，具有更好的補償效果。 多項式擬合的方法多適用于線性誤差的補償，拉線位移傳感器的誤差具有非線性，該模型修正效果較低。 傳統(tǒng)的BP 神經網絡由于初始權值和閾值的范圍難以確定，多設定為隨機值，在求解時容易陷入局部最小值，對于部分數(shù)據(jù)擬合情況不理想，造成個別樣本偏差較大。 PSO-BP 神經網絡補償模型則解決了上述問題，由于PSO 算法優(yōu)化了初始權值和閾值，在后續(xù)訓練網絡時學習效率有顯著提升。

4 結語

本文分析了拉線位移傳感器的誤差來源，并設計了基于用PSO 算法優(yōu)化初始閾值和權值的BP 神經網絡誤差補償模型進行誤差補償。 將實驗結果統(tǒng)計并建立數(shù)據(jù)集，對PSO-BP 神經網絡進行訓練，通過測試集對補償模型進行測試。 將補償前后的誤差情況對比，平均絕對值誤差由2.809 mm 降低到0.167 mm，標準偏差由2.102 mm 降低到0.102 mm，精度由0.136% FS 提高到0.007% FS，補償效果顯著，結果在可接受范圍內。