李紅偉，潘力，韓璐，葛茗瑞

(1. 西南石油大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610500；2. 西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引言

潮流分析對(duì)于現(xiàn)代配電系統(tǒng)優(yōu)化與管理尤為重要[1-3]。為解決配電網(wǎng)的非線性優(yōu)化問題，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)線性潮流（linear power flow，LPF）進(jìn)行了研究[4-6]。精確的LPF模型有助于得到更好的全局最優(yōu)解，可以為電力行業(yè)帶來良好的經(jīng)濟(jì)效益[7-9]。

大多數(shù)LPF主要考慮的是三相平衡配電網(wǎng)情況。文獻(xiàn)[10]根據(jù)PQ節(jié)點(diǎn)的功率注入關(guān)系，得到近似的線性模型。文獻(xiàn)[11]開發(fā)了一種直角坐標(biāo)下的LPF模型。文獻(xiàn)[12]利用一種曲線擬合技術(shù)處理負(fù)荷的電壓靜特性，對(duì)節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部、虛部進(jìn)行了近似。文獻(xiàn)[10-12]中的LPF方法是在直角坐標(biāo)中導(dǎo)出的，節(jié)點(diǎn)電壓被分解為實(shí)部和虛部，故不容易處理PV節(jié)點(diǎn)。文獻(xiàn)[13-14]對(duì)節(jié)點(diǎn)電壓相角差作了近似，推導(dǎo)得到LPF模型，但未討論對(duì)PV節(jié)點(diǎn)的處理。文獻(xiàn)[15]提出一種幅值、相角解耦的LPF模型，并詳細(xì)推導(dǎo)了含PV節(jié)點(diǎn)的潮流計(jì)算式。文獻(xiàn)[16]基于電壓幅值的對(duì)數(shù)變換，建立了考慮無功功率和線路網(wǎng)損的輸電網(wǎng)LPF模型。

上述的LPF模型都是在三相平衡系統(tǒng)中提出的，但在三相不平衡配電網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用時(shí)，則需要考慮三相電網(wǎng)的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[17]提出了一種三相線性近似潮流法。文獻(xiàn)[18]利用線性逼近方程，得到了一種相對(duì)簡(jiǎn)單的多相輻射狀配電網(wǎng)的LPF模型，但忽略了電壓相角。文獻(xiàn)[19-20]基于節(jié)點(diǎn)電壓相量倒數(shù)進(jìn)行潮流計(jì)算。文獻(xiàn)[21]基于回路分析法和節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣形式來描述配電網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?。文獻(xiàn)[19-21]提出的三相LPF模型均為直角坐標(biāo)形式，無法考慮PV節(jié)點(diǎn)特性。文獻(xiàn)[22]考慮到配電網(wǎng)中電壓相角和幅值在相對(duì)較窄的邊界內(nèi)變化的事實(shí)，推導(dǎo)出三相LPF模型。文獻(xiàn)[23]提出了主動(dòng)配電網(wǎng)的近似線性三相潮流計(jì)算方法。

本文提出基于電壓幅值對(duì)數(shù)變換的配電網(wǎng)三相LPF計(jì)算方法，不僅能計(jì)算輻射狀和弱環(huán)狀的三相不平衡配電網(wǎng)，而且解決了直角坐標(biāo)下線性三相LPF方法無法處理PV節(jié)點(diǎn)的問題。

1 三相潮流方程及其等效變換

Y型接線方式n節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)三相潮流方程為

式中：n為配電網(wǎng)的總節(jié)點(diǎn)數(shù)；i,j∈{1, 2, ···,n}為節(jié) 點(diǎn) 編 號(hào) ；α,β∈{a, b, c}為 三 相標(biāo) 識(shí)；分別為節(jié)點(diǎn)i的α相總注入復(fù)功率、有功功率、無功功率；分別為節(jié)點(diǎn)i處α相的節(jié)點(diǎn)電壓幅值、相角；分別為節(jié)點(diǎn)i處α相與節(jié)點(diǎn)j處β相之間的導(dǎo)納矩陣的實(shí)部、虛部；為節(jié)點(diǎn)i處α相與節(jié)點(diǎn)j處β相的節(jié)點(diǎn)電壓相角差。

將電壓幅值轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)形式[13]，可將式（1）等效表示為

2 三相潮流方程的線性近似

2.1 線性近似條件分析

三相配電網(wǎng)潮流分析中，通常假設(shè)a相為參考相且參考節(jié)點(diǎn)的相對(duì)地電壓的相角θa=0,θb=–2π/3,θc=2π/3。三相配電網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型一般有如下特點(diǎn)[17]：（1）節(jié)點(diǎn)相對(duì)地電壓幅值趨于1 p.u.；（2）某相的節(jié)點(diǎn)電壓相角接近于該相平衡節(jié)點(diǎn)的相角；（3）線路兩端同相的節(jié)點(diǎn)電壓相角差非常小，趨近于0，線路兩端不同相的節(jié)點(diǎn)電壓相角相對(duì)之差值的絕對(duì)值趨近2π/3。

但式（3）中等式右側(cè)的指數(shù)函數(shù)項(xiàng)含有相角差項(xiàng)，部分相角差約等于±2π/3，故不能直接使用式（4）進(jìn)行線性化處理，因此須對(duì)這些項(xiàng)進(jìn)行單獨(dú)處理，具體分析如下。

當(dāng)平衡節(jié)點(diǎn)的電壓相角取0時(shí)，非平衡節(jié)點(diǎn)的電壓相角均趨近于0，則對(duì)三相配電網(wǎng)，非平衡節(jié)點(diǎn)a、b、c相的電壓相角分別趨近于0、?2π/3、2π/3，由此可對(duì)線路兩端各相的相角差，定量分析近似表示為：

上述近似仍不能直接應(yīng)用到式（3）中進(jìn)行線性化處理，需對(duì)b、c相電壓相角作歸零化處理，即針對(duì)節(jié)點(diǎn)i，近似有（此處 θ上的橫線“—”表示歸零化的相角）。至此已完成相角的近似處理，把上述結(jié)果代入式（3）中，使用式（4）作線性近似。

2.2 三相線性潮流方程推導(dǎo)

令α=a，以a相為例，根據(jù)2.1節(jié)的線性近似得到的結(jié)果，則可得到a相的復(fù)功率為

現(xiàn)定義節(jié)點(diǎn)i的a相和節(jié)點(diǎn)j三相之間的相角差分別為：并代入式（5）得

最終，可得a相的復(fù)功率表達(dá)式為

同理，根據(jù)2.1節(jié)的線性近似方法，推導(dǎo)可得到b相和c相的復(fù)功率表達(dá)式。

2.3 三相線性潮流方程矩陣表達(dá)式

2.2節(jié)得到的三相復(fù)功率表達(dá)式即為三相配電網(wǎng)電壓幅值和相角解耦的線性潮流方程。采用更緊湊的矩陣表示為

式中：Pi、Qi分別為節(jié)點(diǎn)i三相注入有功、無功功率行向量；分別為以向量Pi、Qi作為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣，其中diag(Qi)；ui為節(jié)點(diǎn)i的三相對(duì)數(shù)電壓幅值向量，uj、j分別為節(jié)點(diǎn)j的三相對(duì)數(shù)電壓幅值向量、三相修正電壓相角向量；E為元素全是1的3維列向量；分別為線路的三相修正導(dǎo)納矩陣。

式（8）推廣到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點(diǎn)，并以緊湊矩陣形式表示為

2.4 含PV節(jié)點(diǎn)三相不平衡線性潮流計(jì)算

令下標(biāo)字母S、V、N分別對(duì)應(yīng)平衡節(jié)點(diǎn)、PV節(jié)點(diǎn)、PQ節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相關(guān)向量，重新整理式（9）中的有功功率、無功功率、電壓幅值和修正電壓相角向量中的元素順序，并表示為其中平衡節(jié)點(diǎn)電壓幅值uS和修正相角S、PV節(jié)點(diǎn)修正有功功率V和電壓幅值uV、PQ節(jié)點(diǎn)修正有功功率N和無功功率N為已知量；平衡節(jié)點(diǎn)修正有功功率S和無功功率S、PV節(jié)點(diǎn)的修正相角V和無功功率V、PQ節(jié)點(diǎn)的電壓幅值uN和修正相角N為待求量。

相應(yīng)的式（9）等式右邊的系數(shù)矩陣中的4個(gè)參數(shù)子矩陣也可以對(duì)應(yīng)平衡節(jié)點(diǎn)、PV節(jié)點(diǎn)、PQ節(jié)點(diǎn)進(jìn)行整理，每個(gè)子矩陣進(jìn)一步可以細(xì)分為3×3分塊矩陣。以為例，有其中分別為中對(duì)應(yīng)平衡節(jié)點(diǎn)、PV節(jié)點(diǎn)和PQ節(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)分塊矩陣；分別為中平衡節(jié)點(diǎn)和PV節(jié)點(diǎn)、平衡節(jié)點(diǎn)和PQ節(jié)點(diǎn)、PV節(jié)點(diǎn)和PQ節(jié)點(diǎn)、PV節(jié)點(diǎn)和平衡節(jié)點(diǎn)、PQ節(jié)點(diǎn)和平衡節(jié)點(diǎn)、PQ節(jié)點(diǎn)和PV節(jié)點(diǎn)之間的互電導(dǎo)分塊矩陣。

對(duì)式（9）等式右邊的系數(shù)矩陣中的4個(gè)參數(shù)子矩陣進(jìn)一步分塊劃分，可得到如下的以矩陣形式表示的潮流線性計(jì)算公式，即

式中：X為待求量，系數(shù)矩陣J是上述分塊矩陣的組合；d為考慮PV節(jié)點(diǎn)后修正的注入有功功率和無功功率向量。

3 算例分析

本文采用文獻(xiàn)[21]附錄中的IEEE33三相不平衡算例進(jìn)行測(cè)試，IEEE33拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也可參見文獻(xiàn)[24]。在收斂精度為10?6情況下，潮流計(jì)算基準(zhǔn)值采用牛頓拉夫遜迭代法[25]，記作NRTPF。本文所述方法記作LVLPF。

3.1 三相輻射狀配電網(wǎng)

斷開IEEE33三相不平衡配電網(wǎng)的所有連支，測(cè)試本文方法的計(jì)算精度。三相電壓幅值曲線如圖1所示，誤差數(shù)值如表1所示。

圖1 輻射狀配電網(wǎng)電壓幅值Fig. 1 Voltage magnitude of radial distribution network

表1 輻射狀配電網(wǎng)下計(jì)算誤差絕對(duì)值Table 1 The absolute calculation error of the radial distribution network

從圖1可以看出，本文方法的電壓幅值和精確值高度接近。從表1中的誤差絕對(duì)值可以看出，幅值和相角的平均誤差數(shù)量級(jí)均在10?4數(shù)量級(jí)，具有足夠的工程精度。本文測(cè)試了文獻(xiàn)[18]所提方法的精度，幅值、相角平均誤差絕對(duì)值也均在10–4數(shù)量級(jí)，但文獻(xiàn)[16-18]所使用方法均為節(jié)點(diǎn)電壓相量倒數(shù)的線性近似，不能計(jì)算含PV的配電網(wǎng)。

3.2 三相弱環(huán)狀配電網(wǎng)

閉合IEEE33三相不平衡配電網(wǎng)的所有連支測(cè)試本文方法的計(jì)算精度。三相電壓幅值曲線如圖2所示，電壓誤差絕對(duì)值如圖3所示。

圖2 弱環(huán)狀配電網(wǎng)電壓幅值Fig. 2 Voltage magnitude of the weak-loop network

圖3 電壓幅值誤差絕對(duì)值Fig. 3 The absolute error of voltage magnitude

從圖2～3可以看出，弱環(huán)狀的配電網(wǎng)電壓幅值比輻射狀有所提高，線性近似的誤差也有所減小，幅值的最大絕對(duì)值誤差為10?4數(shù)量級(jí)。在計(jì)算含連支支路的弱環(huán)狀配電網(wǎng)方面，本文方法無須進(jìn)行環(huán)路的解列和生成回路、道路矩陣等繁瑣計(jì)算。在保證良好精度的前提下，本文所提方法迭代就能直接計(jì)算潮流。

3.3 含PV節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)測(cè)試

本文在IEEE33三相不平衡配電網(wǎng)的a、b、c三相接入輸出有功功率恒定為100 kW的分布式電源，并閉合12—22、25—29的聯(lián)絡(luò)開關(guān)，形成一個(gè)含PV節(jié)點(diǎn)三相不平衡弱環(huán)狀配電網(wǎng)，其電壓誤差絕對(duì)值如圖4所示。從圖4可以看出，本文方法具有較高的準(zhǔn)確度。

圖4 含PV節(jié)點(diǎn)的電壓幅值誤差絕對(duì)值Fig. 4 The absolute error of voltage magnitude with PV nodes

4 結(jié)語

本文對(duì)配電網(wǎng)三相潮流方程的電壓幅值進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，根據(jù)配電網(wǎng)三相的實(shí)際特點(diǎn)，提出了一種基于電壓幅值對(duì)數(shù)變換的三相不平衡線性潮流計(jì)算方法。通過算例分析驗(yàn)證了本文在計(jì)算配電網(wǎng)輻射狀、弱環(huán)狀、含PV節(jié)點(diǎn)3種情況下的有效性。所提方法的平均誤差一般在10?4數(shù)量級(jí)，具有足夠的工程實(shí)用精度。此外，本文方法在達(dá)到與直角坐標(biāo)系下的線性潮流算法一樣精度的同時(shí)，克服了其不能計(jì)算PV節(jié)點(diǎn)的缺點(diǎn)，更能滿足實(shí)際工程中的要求。