胡冬梅, 徐恭賢

(渤海大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

為了提高產(chǎn)物色氨酸的產(chǎn)率,國內(nèi)外學(xué)者在色氨酸生物合成系統(tǒng)的優(yōu)化研究方面已經(jīng)做了很多研究工作[1-10],取得了一些成果。例如:文獻(xiàn)[4]對于色氨酸生物合成的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化問題,提出了可用線性規(guī)劃算法進(jìn)行近似求解的間接優(yōu)化方法,提高了色氨酸的產(chǎn)率;文獻(xiàn)[5]在IOM方法的基礎(chǔ)上,提出了修正的迭代IOM方法,提高了色氨酸的產(chǎn)率;文獻(xiàn)[6]在S -系統(tǒng)建?？蚣芟?構(gòu)建了以色氨酸產(chǎn)率最大為優(yōu)化目標(biāo),以穩(wěn)定性要求作為約束條件的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化問題,提高了色氨酸的產(chǎn)率。但目前的研究工作較少考慮色氨酸生物合成系統(tǒng)的代謝成本問題。為此,本文首先在S -系統(tǒng)建模框架下研究色氨酸生物合成系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化問題,給出其雙層優(yōu)化模型,然后基于罰函數(shù)法思想提出了一種雙層規(guī)劃求解方法,最后對結(jié)果進(jìn)行了比較分析。

1 色氨酸生物合成的S -系統(tǒng)模型

色氨酸生物合成的S -系統(tǒng)模型[4-5,9]可表示為

2 色氨酸系統(tǒng)的雙層優(yōu)化問題

為了實(shí)現(xiàn)在最小的代謝物濃度之和J2下,使色氨酸產(chǎn)率J1達(dá)到最大,基于文獻(xiàn)[4-5,9],本文針對S -型色氨酸生物合成系統(tǒng)(1)～(3),構(gòu)建如下雙層優(yōu)化問題:

(4)

0.8(Xi)0≤Xi≤1.2(Xi)0,i=1,2,3,

10-5≤Y1≤0.006 24,

4≤Y2≤10,

500≤Y3≤5 000,

Y4=0.002 2Y2,

1≤Y5≤1 000,

(Y6,Y7,Y8,Y9)=(7.5,0.005,0.9,0.02)。

其中,(Xi)0(i=1,2,3)表示基本穩(wěn)態(tài)。這里取

經(jīng)過對數(shù)變換,優(yōu)化問題(4)可轉(zhuǎn)化為如下形式:

(5)

minJ2=eln(X1)+eln(X2)+eln(X3),

ln(0.8(Xi)0)≤ln(Xi)≤ln(1.2(Xi)0),i=1,2,3,

ln(10-5)≤ln(Y1)≤ln(0.006 24),

ln(4)≤ln(Y2)≤ln(10),

ln(500)≤ln(Y3)≤ln(5 000),

ln(Y4)=ln(0.002 2)+ln(Y2),

ln(1)≤ln(Y5)≤ln(1 000)。

若令:

那么雙層優(yōu)化問題(5)可以表示成如下形式:

(6)

minJ2=ex1+ex2+ex3,

s.t.v+-Adx-Aidy=α,

y4-y2=ln(0.002 2),

若令:

z=(xT,yT)T=(z1,z2,…,z8)T;

v=((v+)T,(v-)T)T;

θ=(αT,βT)T;

zL=((xL)T,(yL)T)T;

zU=((xU)T,(yU)T)T;

那么問題(6)可以寫成如下形式:

(7)

minJ2=ez1+ez2+ez3,

s.t.v-Az=θ,

z4-z2=ln(0.002 2),

zL≤z≤zU。

3 雙層規(guī)劃問題的求解

迄今為止,求解雙層規(guī)劃問題的方法有很多種,例如,學(xué)者們提出了填充函數(shù)法、非內(nèi)點(diǎn)同倫方法、雙層多目標(biāo)粗糙非線性規(guī)劃問題帕累托前沿的新算法等[11-16]。本文利用罰函數(shù)法,對于給定的向量v,下層規(guī)劃為凸規(guī)劃,利用下層規(guī)劃的K-K-T最優(yōu)性條件替換下層,從而問題(7)可轉(zhuǎn)化為如下單層規(guī)劃問題:

(8)

v-Az=θ,

z4-z2=ln(0.002 2),

ezi-wi+ui+bp=0,i=1,2,3,

-wj+uj+cp=0,j=4,5,6,7,8,

wT(Ez-zL)+uT(-Ez+zU)=0,

zL≤z≤zU,

w,u≥0。

式中:b表示AT的第i行;c表示AT的第j行;E為64階單位矩陣,令

w=(w1,w2,…,w8)T,

u=(u1,u2,…,u8)T,

p=(p1,p2,…,p6)T。

因為問題(8)存在互補(bǔ)松弛條件wT(Ez-zL)+uT(-Ez+zU)=0,所以采用罰函數(shù)法,得到如下單層優(yōu)化問題:

(9)

v-Az=θ,

ezi-wi+ui+bp=0,i=1,2,3,

-wj+uj+cp=0,j=4,5,6,7,8,

z4-z2=ln(0.002 2),

zL≤z≤zU,

w,u≥0。

其中,λ>0為罰因子。令

綜上所述,本文提出的求解算法為:

步驟1 初始化:步長α>0、精度ε=10-6、罰因子λ>0, 令i=0。

步驟2 求解問題(9),記最優(yōu)解為(dλ(i),gλ(i),vλ(i),zλ(i),wλ(i),uλ(i),pλ(i))。

步驟3 如果(wλ(i))T(Ezλ(i)-zL)+(uλ(i))T(-Ezλ(i)+zU)<ε,則問題(7)的最優(yōu)解為(dλ(i),gλ(i),vλ(i),zλ(i)), 終止; 如果(wλ(i))T(Ezλ(i)-zL)+(uλ(i))T(-Ezλ(i)+zU)≥ε, 令λ=λ+α,i=i+1, 轉(zhuǎn)回步驟1。

表1 非線性規(guī)劃問題(4)的最優(yōu)解

4 優(yōu)化結(jié)果

非線性規(guī)劃問題(4)的計算結(jié)果如表1所示。從表1中可見,本文獲得的色氨酸產(chǎn)率為5.729 7, 相應(yīng)的代謝物濃度之和為1 144.151 7。與基本穩(wěn)態(tài)時的色氨酸產(chǎn)率和代謝物濃度之和相比,本文得到的色氨酸產(chǎn)率為基本穩(wěn)態(tài)時的4.373 1倍,代謝物濃度之和為基本穩(wěn)態(tài)時的80.17%。

表2是本文所用的方法與已有單層規(guī)劃方法[2,4-5]的結(jié)果比較,從表2中可知,本文方法所獲得的過渡時間τ和代謝性能ψ都得到了極大的改善,其中過渡時間τ由原來的1 089.225 6降至199.687 8,為基本穩(wěn)態(tài)的18.33%;代謝性能ψ從0.001 2提高到0.028 7,為基本穩(wěn)態(tài)的23.916 7倍。

表2 本文方法與已有單層規(guī)劃方法的計算結(jié)果比較

5 結(jié) 語

本文研究了S-型色氨酸生物合成系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化問題,考慮到色氨酸生物合成系統(tǒng)存在代謝能力和代謝成本的自優(yōu)化特點(diǎn),構(gòu)建了一個在最小代謝成本條件下使色氨酸產(chǎn)率達(dá)到最大的雙層規(guī)劃模型。應(yīng)用罰函數(shù)法將所構(gòu)建的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為新的非線性規(guī)劃問題。計算結(jié)果表明,本文不僅在最小代謝成本條件下獲得了較高的色氨酸產(chǎn)率,而且極大地改善了代謝物濃度之和、過渡時間和代謝性能等其他3個重要的生物技術(shù)指標(biāo)。所以,得到的優(yōu)化結(jié)果更具實(shí)際意義。