劉道玉

我非數學科班出身，對數學的了解僅僅限于化學系大一的《普通高等數學》的啟蒙知識，照說我是沒有資格談論數學猜想這樣高深的學問。但是，作為一個教育工作者，我只是想從教育的角度，回顧數學猜想發(fā)展的簡況，也許能夠說明人才培養(yǎng)的的重要性。

什么是數學？這是一個涵蓋十分廣泛的概念，要給數學下一個永恒的定義，幾乎是不可能的。數學是隨著時代的變遷而變化的，因此行家們認為，只能從歷史的角度說明什么是數學的問題。公元前6世紀時，數學主要是關于數的研究，主要是計數。關于數學的定義，多得不勝枚舉，但比較認同的是19世紀恩格斯給出的定義，即“數學是研究現實空間形式與數量關系的科學”。

數學猜想的緣起

在人類尚處于蒙昧狀態(tài)下，他們對于自己生存的地球、宇宙和自身的認識，都是從猜想或者假設出發(fā)的。廣義上說，一切科學都需要假設，但數學猜想可能是其獨特的現象，因為它們是不能通過實驗予以證明的假設，而是純數學的演算，也即思維活動的推理。

數學猜想究竟是怎么出現的呢？從科學史發(fā)展來看，數學猜想與數學產生是密切相聯系的，它們幾乎是同時出現的。第一個數學猜想是公元前3世紀的歐式第五公設想，它是由古希臘數學家、幾何學之父歐幾里得（Ouclid，公元前330-前275）提出的，這一猜想產生了非歐式幾何理論。

數學猜想的緣起，大致有三個因素：第一是好奇心，許多數學猜想大都與“數”有關，它是數學起源之一。畢達哥拉斯是公元前6世紀古希臘的哲學家、數學家，畢達哥拉斯主義的創(chuàng)立者。他認為數理解世界上的一切事物，反映了他對數的好奇、癡迷與崇拜。在數學界，富有好奇心與怪癖的數學家比比皆是，正是這些特點，使他們登上一座又一座的數學頂峰。

第二是興趣與愛好，這使他們執(zhí)著地去專研數學，以超級想象力和洞察力提出誘惑數學家或數學愛好者去求證的猜想。皮耶·德·費馬是17世紀法國業(yè)余數學家，他的主業(yè)是律師，在業(yè)余時間他全部精力都投入到數學之中，被稱為業(yè)余數學玩家。他最喜歡的是古希臘數學家丟番圖的《算術》一書，不僅看而且還在空白處留下了大量的評注。1637年，他提出了一個被稱為費馬大定律的數學猜想，它是留在《算術》空白處的一條評注：“不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和，或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和?？偟膩碚f，不可能將一個n=2次冪寫成兩個同樣次冪的和。我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。”

他死后，兒子用5年的時間整理和出版了帶有他評注的《算術》這本書，結果他的評注很快引起了數學界的廣泛關注，而且紛紛投入到求證這一猜想之中。這是一個接力的數學求證，在數百年期間，證明的高潮迭起，傳奇不斷，真真假假。功夫不負有心人，在經過了358年以后，這道耗費了十代數學家精力的數學難題，終于在1994年由美國普林斯頓高等研究院安德魯·懷爾斯（英國人）獲得完全證明。信息傳出后，美國《紐約時報》在頭版報道稱：“終于歡呼：我發(fā)現了！永久數學之謎獲解。”

第三，應用催生出數學猜想。從創(chuàng)造學的角度來看，引起創(chuàng)造的動因是多方面的，其中出于應用目的的發(fā)明創(chuàng)造多得不勝枚舉，例如電腦、手機、汽車、火車、直升飛機、核潛艇、導彈、宇宙飛船、機器人，等等。在諸多的數學猜想中，四色定理的提出，就是典型的出于應用的目的。英國數學家弗朗西斯·格斯里（Francis Guthrie），于1852年從倫敦大學畢業(yè)，來到一個科研單位搞地圖著色工作，他發(fā)現每張地圖都可以只用四種顏色，這個現象能否從數學上予以證明？這就是四色定理（或猜想）最初的提出。

他就這個問題與其在倫敦大學學習的弟弟討論，但無法解決。隨后，他們又先后向多位著名的數學家請教，這些教授認真地研究了他的問題，但也不能給予證明。于是，1872年，他們將這一問題正式提到倫敦數學學會上，這就成了世界關注的數學難題，許多著名的數學家紛紛參與了四色定理證明的大會戰(zhàn)。在此后的兩年中，有幾位數學家發(fā)表提交論文，宣布證明了四色定理，但經過其他人核實，他們并沒有證明，并且指出了他們求證中的漏洞。

時隔124年以后，即1976年美國伊利諾大學的沃爾夫·哈肯（W·Haken，1928-）和凱尼斯·阿佩爾（K·Appel，1932-），借用電子計算機的幫助，用了1200個小時編制了一個程序，最終完成了四色定理的證明。為此，他們榮獲了由美國數學學會頒發(fā)的富爾克森獎。

數學猜想的作用

數學的發(fā)展與數學猜想是互相緊密聯系在一起的，數學猜想源于數學的誕生，沒有數學猜想就不可能使數學得到蓬勃的發(fā)展。夏茹冰先生是中國著名的楹聯專家，他于上世紀80年代中期撰寫一副對聯：“水嘗無華，相蕩方現漣漪;石本無火，相擊而發(fā)靈光?！睌祵W猜想就像是一塊石頭，將它拋向靜靜的水面，就會蕩起漣漪;將它們互相碰撞，就會發(fā)出靈光。我們試想，假如沒有數學猜想，那么數學就會顯得毫無生氣。

縱觀數學猜想發(fā)展的歷史，它們在數學發(fā)展史上的作用，大致有三個方面：首先是豐富了數學學科的內容，促進了數學分支學科的誕生。20世紀是數學飛速發(fā)展的時期，特別是后50年，數學知識出現了爆炸式的增長，大量的重大問題得到了解決或取得了突破性的進展。據知，數學已經發(fā)展到擁有26個分支學科，其中大部分都是在證明數學猜想中誕生的。如今，在人類所有知識中，數學成為最難懂和博大精深的一門學問，惟有抽象思維能力極強，耐得住寂寞和具有堅韌不拔的精神的人，才能夠從事數學的學習與研究。

其次，催生出了一大批最杰出的數學家。數學猜想是從假設到求證的漫長求索過程，是一個數學接力賽跑，是馬拉松式的思維競賽。從哲學上來看，是一個否定之否定的漫長過程。用恩格斯的話來說：“在科學上沒有平坦的大道，只有不畏艱苦，沿著陡峭山路攀登的人，才能達到光輝的頂點?！睌祵W猜想就是一座長滿荊棘的陡峭的懸崖，沒有熱愛數學的初心，沒有堅如磐石的毅力，是難以堅持到底的。B4EF8048-D6D6-49DB-93A8-A6CA705BA9D0

在求證數學猜想的過程中，參與的國家有中國、法國、德國、英國、美國、瑞士、俄羅斯、匈牙利、印度、葡萄牙等，這是一個國際數學猜想的大聯盟，數學群英大會戰(zhàn)。就數學家個人來看，我們可以列出一大串名字，如畢達哥拉斯、歐幾里得、費馬、高斯、歐拉、希爾伯特、魏爾斯 、特拉斯、懷爾斯、格羅斯、哈肯、阿佩爾、羅巴切夫斯基、佩雷爾曼，等等。在數學猜想的大軍中，不乏中國人（包括美籍華裔）的身影，如陳省身、丘成桐、陳景潤、柯召、孫琦、張益唐等數學家。中國作為世界五大數學大國之一，在提出與證明數學猜想中，做出了應有的貢獻。尤其是，陳景潤院士經過20多年的潛心研究，于1973年發(fā)表論文，完成了哥德巴赫猜想的1+2證明，因而被世界數學界公認，并冠以“陳式定理”。哥德巴赫猜想是德國數學家哥德巴赫于1742年提出的，271年后于2013年 ，法國高師的研究員哈羅德和賀歐夫發(fā)表了兩篇論文，宣布徹底證明了哥德巴赫猜想。至此，世界公認的三大數學猜想的證明，即哥德巴赫、費馬大定理和四色定理就此都畫上了句號。引以自豪的是，在證明這三大定理中，中國數學家貢獻了一己之力。

再次，激勵了千千萬萬的青少年們熱愛數學，勇攀數學高峰。在數學界早就流傳一句美麗的箴言：“數學是自然科學的皇后，數論是皇冠，數學猜想是皇冠上的明珠?！倍嗝疵利惖捏鹧裕÷牭竭@些美麗的箴言，沒有一個不躍躍欲試的，誰不想去摘取那皇冠上的明珠呢？

我清楚地記得，著名的報告文學大師徐遲先生關于《哥德巴赫猜想》的一篇杰作，它就像是文學領域里的“一聲春雷”，預示著文學與科學的春天已經到來了。這篇報告文學有16000多字，文情并茂，青少年們非常喜歡閱讀。編輯部一再加印，但仍不能滿足讀者需求，那時復印機尚沒有普及，大學生們不得不手抄傳閱，盛況空前。

這股熱潮從文學迅速轉向數學領域，不少數學家、業(yè)余數學愛好者和青少年們都躍躍欲試，參與哥德巴赫的猜想之中。我身處那股熱潮之中，幾乎每天都收到讀者的信件，他們都宣布證明或部分證明了某個數學猜想，真有千軍萬馬爭過“猜想”橋之勢。蘇步青院士是我國數學界的大師，他對我說：“現在數學熱是好事，但數學猜想有點熱過了頭，有一些人搞數學猜想就夠了，做學問需要冷環(huán)境，不能一哄而起?！?/p>

對于摯愛數學的人來說，摘取皇冠上的明珠，是他們人生價值的體現。英國數學家安德魯·懷爾斯天資過人，他在10歲的時候，對費馬大定理就產生了濃厚的興趣，所以他選擇了數學作為自己的終身職業(yè)，1974年畢業(yè)于牛津大學沃頓學院，1977年獲得劍橋大學博士學位，1981年到美國普林斯頓高等研究院任研究員。他從1986年開始向費馬大定理沖刺，在7年的時間里足不出戶，成為一個隱身人，最終于1993年宣布證明了費馬大定理。為此，他獲得了菲爾茨特別銀質獎章、沃爾夫獎和阿貝爾獎。

數學猜想的危機

統(tǒng)計幾百年間的數學猜想的數目，是一個十分困難的問題，見仁見智，莫衷一是。如果勉強地清數一下，迄今為止，全世界總共提出數學猜想60個。其中，17世紀是3個，18世紀是7個，19世紀是10個，20世紀是40個。經過初步驗證，肯定的30個，否定的是5個，沒有定論的是25個。由此看出，無論是提出或是證明數學猜想，20世紀都是高峰時期，這與20世紀是科學發(fā)明創(chuàng)造成果豐碩時期相一致。21世紀已經過去快四分之一的時間了，雖然數學猜想證明還在繼續(xù)進行，但提出數學猜想的人似乎不再有了。這意味著什么呢？我以為，預示著數學猜想面臨著嚴峻的危機，這并非是偶然的，它與當今天才絕滅的現象是一致的。

為什么會出現這種現象呢？我認為，不是人類的遺傳基因退化了，總的來說人類的智能尚處于不斷進化之中，但環(huán)境改變了，影響了人們的智慧的發(fā)揮。我們正處于一個極度浮躁、功利化和金錢萬能的時代，幾乎沒有人安貧樂道，也再沒有皓首窮經的學癡了。提出一個深奧的數學猜想，需要有超越現實的想象力，需要有穿透時空的洞察力，需要有超強的頓悟與貫通能力。沒有了這一切，就不可能提出讓人們跨越幾世紀才能證明的思想猜想。

看似無用的純科學停滯了，但高新技術卻突飛猛進，其區(qū)別是前者無利可圖，而后者能夠暴富。據報道，英國劍橋大學研究團隊研發(fā)出了一臺拉馬努金機（Ramanujian Machine），他們通過人工智能和大量的計算機自動化來模仿“靠直覺來生成沒有證明的數學猜想”。過去，僅僅靠數學天才提出數學猜想，這就是為什么數百年間只提出了幾十個猜想公式的原因。與此同時，美國普林斯頓大學數學教授費特洛維茨已經編制出一套程序，可以在數學圖論中提出多種數學猜想。由他編制的Graffiti程序，很容易提出幾千種猜想。因此，他頗有體會地說：“發(fā)現好的猜想，確切地說就是完成一半工作?！?/p>

總的來說，無論是拉馬努金機或是Graffiti程序，是值得肯定的，畢竟它們使得數學猜想或證明多了一種選擇。但是，我認為機器和程序不能完全替代數學家提出的猜想，也不能替代數學家孜孜以求的證明。科學研究重在過程，試問：機器能夠享受到求證過程中的樂趣嗎？機器能夠形成數學學科分支嗎？機器能夠培養(yǎng)出諸如費馬、哥德巴赫、高斯、歐拉、希爾百特、懷爾斯、陳景潤等這樣的數學家嗎？機器能夠代替以天才為中心形成的數學學派嗎？看來，它們都不能，所以從教育的角度，我們還必須重視數學杰出人才的培養(yǎng)，而且需要從幼兒開始，讓他們成為新知識的探索者！

英國天才理論物理學家史蒂芬·霍金在逝世前，曾經預言，人工智能將會制造出“超人”，他們將毀滅人類。雖然人工智能具有強大的計算能力、記憶力，甚至也有思維與情感，但它們畢竟是人研制出來的。人是有理性和道德底線的，而機器沒有。因此，一旦人工智能威脅到人類的生命時，制造它們的人就會將其摧毀。所以，對于“超人”我是持謹慎的樂觀的態(tài)度。但是，我對提出與證明深奧的數學猜想數學家的缺失，卻是擔心的，未雨綢繆，提出應有的措施才是萬全之策！

（責任編輯 劉第紅）B4EF8048-D6D6-49DB-93A8-A6CA705BA9D0