王景環(huán) 程 雍 豆紅磊 韓以江

1 湘潭大學巖土力學與工程安全湖南省重點實驗室，湖南湘潭，411105

2 湘潭大學土木工程與力學學院，湖南 湘潭，411105

3 湖南省天宇檢測有限公司，湖南 婁底，417000

隨著科技與建筑行業(yè)的快速發(fā)展，各類高層建筑如雨后春筍般拔地而起。在施工或運營期間，房屋的倒塌、傾斜、裂縫等事故時有發(fā)生，這是由建筑物內(nèi)部結(jié)構(gòu)受力不均及外界環(huán)境作用導致的不均勻沉降的結(jié)果。因此，需要研究出可行的方法對建筑物沉降進行準確預測和分析，掌握其變形規(guī)律與發(fā)展趨勢，使人們能夠及時采取適當措施和方法減少工程事故帶來的安全隱患和經(jīng)濟損失［1］。目前，常用的變形預測分析模型主要包括時間序列模型、灰色系統(tǒng)模型、卡爾曼濾波模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等［2，3］。GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)模型中最常用的模型之一，因其具有“小樣本、貧信息”的獨特優(yōu)勢，已被廣泛應用于各種變形預測，并取得了較好的預測結(jié)果［4?6］。但是傳統(tǒng)GM（1，1）模型易受外界環(huán)境干擾，導致模型預測精度低、殘差大［7］。

原始數(shù)據(jù)序列加權(quán)是提高模型精度的方法之一。周永領(lǐng)等［8］利用權(quán)遞增因子構(gòu)建權(quán)矩陣，建立了非等間距加權(quán)GM（1，1）模型。趙建飛等［9］將權(quán)作為原始序列的平滑因子，借助MATLAB自編程序反復實驗得出權(quán)值大小；趙澤昆等［10］利用時間因素構(gòu)建權(quán)矩陣，建立了時間加權(quán)?新陳代謝GM（1，1）模型。以上方法中的權(quán)值大小隨時間遞增，充分考慮了新信息優(yōu)先原理，在一定程度上提高了模型的精度，但忽略了誤差對原始數(shù)據(jù)可信度的影響，存在一定局限。本文運用相對誤差與時間距離［11］相結(jié)合的定權(quán)方法，對原始數(shù)據(jù)序列的加權(quán)問題進行研究，建立加權(quán)GM（1，1）模型?？紤]誤差對原始數(shù)據(jù)可信度的影響，首先將相對誤差作為影響因子從原始數(shù)據(jù)中剔除；然后，把時間距離作為縮小系數(shù)加到相對誤差上，保證距預測點較近的數(shù)據(jù)具有較高利用率；最后引入新陳代謝思想［12，13］，充分體現(xiàn)新信息優(yōu)先原理，建立加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型。本文采用傳統(tǒng)模型、加權(quán)模型和加權(quán)動態(tài)模型對某高層建筑沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行對比分析，并利用MATLAB實現(xiàn)程序化建模［14］。

1 傳統(tǒng)GM（1，1）模型構(gòu)建

1）構(gòu)建累加序列。假設(shè)有n個非負原始觀測數(shù)據(jù)序列X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))，其中，x(0)(k)≥0，k=1，2，…，n。其1?AGO序列X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))，有：

2）構(gòu)造背景值。令X(1)的鄰近均值生成序列為Z(1)=(z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n))，其中：

3）建立微分方程。對X(1)建立一階線性微分方程：

式中，a為發(fā)展系數(shù)，反映x的發(fā)展趨勢；b為灰作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系。

4）求解方程。根據(jù)最小二乘法原理，參數(shù)a?的表達式如下：

將?代入白化微分方程，以x(1)(1)=x(0)(1)為初值，可得微分方程的解：

5）預測方程。對式（5）進行累減，得到原始序列X(0)的還原式：

2 加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型構(gòu)建

2.1 原始序列加權(quán)

原始數(shù)據(jù)序列中不同時間點的值都應被賦予一個權(quán)值，表征其可靠性［15］，而傳統(tǒng)GM（1，1）模型將原始序列中的數(shù)據(jù)看作是同等重要的，直接利用其構(gòu)造累加序列進行建模，勢必會對擬合預測結(jié)果造成影響，降低模型精度。本文將GM（1，1）模型一次擬合結(jié)果求出的相對誤差與時間距離結(jié)合起來，對原始序列加權(quán)，相對誤差在一定程度上直接反映外界干擾對模型造成的影響，以此作為誤差影響因子從原始數(shù)據(jù)中剔除；為突出新舊信息的不同等重要性，將時間距離作為縮小系數(shù)加到相對誤差上，以保證距預測點較近的數(shù)據(jù)有較高的利用率。

利用傳統(tǒng)GM（1，1）模型對原始數(shù)據(jù)序列進行擬合，得到殘差序列ε(0)={ε(1)，ε(2)，…，ε(n)}，相對誤差序列，距初始值的時間距離dt=k?1，t=1，2，…，n，k=1，2，…，n，現(xiàn)將原始數(shù)據(jù)序列的權(quán)值定義如下：

式中，λ為影響因子系數(shù)，取值如下：

因為以x(1)(1)=x(0)(1)為初值，所以ρ(1)=1。

由式（7）和式（8）可得：

將式（9）代入傳統(tǒng)模型，得出最后的還原式：

2.2 加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型

新信息對認知的作用大于老信息［16］，為體現(xiàn)新信息優(yōu)先原理，建立加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型［17］。利用加權(quán)模型求出n+1時刻的預測值，保持模型維度不變，將x(0)(n+1)加入原始序列，去掉x(0)(1)，組成新原始序列｛x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n+1)｝，利用該序列重新建模并預測n+2時刻的預測值，如此往復。

2.3 精度檢驗

為檢驗所建模型的可靠性，需要對其進行精度檢驗，常用的精度檢驗方法有殘差檢驗合格模型、均方差比合格模型和小誤差概率合格模型。

1）殘差檢驗合格模型。設(shè)原始序列X(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，相應的模擬序列，殘差序列ε(0)=，相對誤差序列為：

表1 精度檢驗等級Tab.1 Accuracy Test Grades

3 工程實例分析

本文以湖南省邵陽市某高層建筑房屋沉降監(jiān)測點實測數(shù)據(jù)為例，選取2018?11?02—2019?03?22房屋在建過程中具有代表性的監(jiān)測點P7?1的15期監(jiān)測數(shù)據(jù)進行分析，原始數(shù)據(jù)為5.36、6.02、7.14、8.15、8.30、9.56、9.51、9.81、9.88、10.31、10.64、10.69、10.98、11.25、11.65，代表監(jiān)測點累計沉降量，單位：mm。選取前10期數(shù)據(jù)進行建模，后5期數(shù)據(jù)分別進行3、4、5期預測，建立傳統(tǒng)模型、加權(quán)模型和加權(quán)動態(tài)模型，進行對比分析，3期預測的擬合預測結(jié)果見表2。

表2 監(jiān)測點3期擬合或預測結(jié)果Tab.2 Fitting or Prediction Results of Monitoring Points in Phase 3

采用殘差檢驗合格模型對擬合預測結(jié)果進行精度評定，結(jié)果見表3。由表3可知，與傳統(tǒng)GM（1，1）模型相比，加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型的擬合與預測精度均有較大提高，預測精度尤為突出，由四級提高到二級。為了更直觀地體現(xiàn)房屋沉降趨勢和各模型的擬合預測效果，本文繪制了圖1和圖2所示的變形分析曲線。

表3 監(jiān)測點3期擬合預測精度評定結(jié)果Tab.3 Fitting or Prediction Accuracy Assessment of Monitoring Points in Phase 3

從圖1和圖2可以看出，加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型的擬合預測曲線與原始數(shù)據(jù)曲線最為接近，殘差分布集中且絕對值較小，殘差最大值由傳統(tǒng)模型的?1.721 mm減小到?0.650 mm，在原始數(shù)據(jù)序列波動較大的情況下也能取得較好的擬合預測精度。為檢驗模型的預測能力，本文采用相同方法進行4期、5期預測，其精度評定結(jié)果見表4。

表4 監(jiān)測點4期、5期擬合預測精度評定Tab.4 Evaluation of Fitting or Prediction Accuracy of Monitoring Points in 4 and 5 Phases

圖1 監(jiān)測點3期擬合或預測值Fig.1 Fitting or Prediction Values of Monitoring Points in Phase 3

圖2 監(jiān)測點3期擬合或預測殘差值Fig.2 Fitting or Prediction Residual Values of Monitoring Points in Phase 3

分析表4可得，隨著預測期數(shù)增加，傳統(tǒng)GM（1，1）模型與加權(quán)GM（1，1）模型的擬合精度不變，加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型的擬合精度逐漸提高，這是新信息對認知的作用大于老信息的結(jié)果，也是動態(tài)模型的優(yōu)勢；3種模型的預測精度都隨預測期數(shù)的增加而降低，但加權(quán)模型降低的速率明顯小于傳統(tǒng)模型，5期預測的加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型的平均相對預測誤差只有5.283%，達到三級預測精度。對比分析發(fā)現(xiàn)，加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型精度最高，能較好地擬合預測高層建筑沉降數(shù)據(jù)，客觀地反映其沉降變形規(guī)律。

4 結(jié)束語

針對原始數(shù)據(jù)序列加權(quán)問題，本文用相對誤差與時間距離相結(jié)合的定權(quán)方法建立加權(quán)動態(tài)GM（1，1）模型。將相對誤差視為誤差影響因子從原始數(shù)據(jù)中剔除，將距初始值的時間距離作為縮小系數(shù)加到相對誤差上，保證了新信息具有較高的利用率。結(jié)合工程實例分析，發(fā)現(xiàn)該模型能有效減小觀測數(shù)據(jù)中的隨機誤差，對于多期預測均具有較高的擬合預測精度，對高層建筑沉降預測具有一定的參考與應用價值。

相對誤差在一定程度上反映了外界環(huán)境的影響，時間距離體現(xiàn)出新舊信息的不同等重要性，如何將兩者更好結(jié)合以提高模型精度有待進一步研究。