麻翠玲，張曉玲?，何 勇

(1.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830017;2.新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830053)

0 引言

在芬斯勒幾何中有許多的非黎曼量(即在黎曼幾何中恒為零,但在芬斯勒幾何中未必為零的幾何量),例如:S 曲率,Berwald 曲率,Landsberg 曲率,χ 曲率,H 曲率,E 曲率等.研究這些特殊曲率的性質(zhì)往往能夠得到一些整體性結(jié)果,因此具有十分重要的意義[1?2].

設(shè)(M,F) 是n 維芬斯勒流形,切叢TM 上的非黎曼量χ=χidxi定義為

其中:S 表示S 曲率,“.” 和“;” 分別表示F 關(guān)于陳聯(lián)絡(luò)的豎直協(xié)變導(dǎo)數(shù)和水平協(xié)變導(dǎo)數(shù).

文獻(xiàn)[2]研究了旗曲率與χ 曲率之間的關(guān)系,證明了具有標(biāo)量旗曲率的芬斯勒度量具有幾乎消失χ 曲率當(dāng)且僅當(dāng)旗曲率幾乎消失.特別地,具有消失的χ 曲率當(dāng)且僅當(dāng)旗曲率消失,并證明了Randers 度量的S 曲率幾乎迷向當(dāng)且僅當(dāng)χ 曲率幾乎消失.文獻(xiàn)[3]給出了Kropina 度量具有幾乎消失χ 曲率的等價(jià)條件.文獻(xiàn)[4]給出了(α,β)-度量χ 曲率的具體表達(dá)式,并發(fā)現(xiàn)對(duì)于具有幾乎消失χ 曲率的m(≥2) 次多項(xiàng)式(α,β)-度量,其χ 曲率一定消失,且在共形平坦條件下,F 一定是局部閔可夫斯基度量.文獻(xiàn)[5]刻畫了一類具有消失χ 曲率的廣義(α,β)-度量,并研究了球?qū)ΨQ度量的相關(guān)性質(zhì).

文獻(xiàn)[6]研究了χ 曲率與Ricci 曲率之間的關(guān)系,并由此發(fā)現(xiàn)了一類新的非黎曼量.之后,他們證明了對(duì)于具有標(biāo)量曲率的噴射,其具有迷向曲率當(dāng)且僅當(dāng)χ 消失[1].沈忠民近期討論了χ 曲率關(guān)于噴射G 的幾種不同的表達(dá)式,證明了用S 曲率進(jìn)行射影變換得到的噴射總是具有消失的χ 曲率,并在χ=0 的條件下建立了有關(guān)噴射的Beltrami 定理.

(α,β)-度量是一類特殊的芬斯勒度量,表示形式如下

在本文中我們研究了一類具有消失χ 曲率的(α,β)-度量,并得到如下定理.

定理1設(shè)F=αφ(s) 是n(≥3) 維流形M 上的非黎曼(α,β)-度量,如果β 滿足

其中:?=?(x) 是標(biāo)量函數(shù),那么χ=0 等價(jià)于下列三個(gè)條件之一成立:

(a) ?=0,

其中

注記1文獻(xiàn)[4]證明了具有幾乎消失χ 曲率的多項(xiàng)式(α,β)-度量,其χ 曲率一定消失,未進(jìn)一步研究具有消失χ 曲率的多項(xiàng)式(α,β)-度量.本文研究了一般的(α,β)-度量,而不只是多項(xiàng)式(α,β)-度量.文獻(xiàn)[5]研究了廣義(α,β)-度量.在其中c 為常數(shù)的條件下,刻畫了其具有消失χ 曲率的性質(zhì).

注記2注意到

因此b 為常數(shù)的充要條件是rj+sj=0.如果β 滿足式(2),我們有rj+sj=0,即b 為常數(shù).

注記3對(duì)于多項(xiàng)式(α,β)-度量,令h=0,F 退化為黎曼度量,見定理3.

注記4對(duì)于多項(xiàng)式(α,β)-度量,令g=0,用Maple 程序計(jì)算得,當(dāng)2 ≤k ≤5 時(shí),F 均退化為黎曼度量.

注記5對(duì)于形如式(3)、式(4)的多項(xiàng)式(α,β)-度量

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)M 是一個(gè)n(≥2) 維光滑流形.切叢TM 上的點(diǎn)記為(x,y),其中:x ∈M,y ∈TxM.令(xi,yi) 是TM 的局部坐標(biāo),上的函數(shù)F :TM-→(0,+∞) 稱為芬斯勒度量,如果其滿足以下幾個(gè)條件:

(1) F 在TM {0} 上是光滑的；

(2) 對(duì)任意的λ＞0,F(x,λy)=λF(x,y)；

(3) 基本二次型為g=gij(x,y)dxi?dxj,其中:

設(shè)F 是n 維流形M 上的一個(gè)芬斯勒度量,F 的測(cè)地系數(shù)Gi定義為

其中:(gij)=(gij)?1.

設(shè)dV=σ(x)dx 是M 上的體積形式,那么S 曲率定義為

其中:bi|j表示β 關(guān)于α 的共變導(dǎo)數(shù).

2 一類(α,β)-度量的χ 曲率

引理1[7]設(shè)F=αφ(s) 是n 維流形上的一個(gè)(α,β)-度量.如果β 滿足式(2),那么其S 曲率為

利用引理1 和式(1),我們得到定理2.

定理2設(shè)F=αφ(s) 是n 維流形上的一個(gè)(α,β)-度量.如果β 滿足式(2),那么

將式(8) 代入式(7),即得式(6).

3 一類具有消失χ 曲率的(α,β)-度量

本節(jié)將給出定理1 的證明.

定理1 的證明

當(dāng)f=0 時(shí),F 為黎曼度量,因?yàn)槲墨I(xiàn)[8]已證明(α,β)-度量是黎曼度量當(dāng)且僅當(dāng)Φ=0.

當(dāng)?=0 時(shí),χi=0 顯然成立.因此下述分析中考慮?/=0 且f/=0 的情況.

當(dāng)?是非零常數(shù)時(shí),由式(6) 得

上式用bi縮并,得

從而g=0.代入式(9) 得,h=0 或sij=0.

當(dāng)?不是常數(shù)時(shí),為了簡(jiǎn)化計(jì)算,我們?cè)趚 點(diǎn)的切空間TxM 上取關(guān)于α 的正交基,使得

并且在TxM 上取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換ψ:(s,uA)→(yi):

對(duì)上式的下標(biāo)i,分別取i=1 和i=A,可得根

據(jù)χ1和χA關(guān)于uA的有理項(xiàng)和無理項(xiàng),χi=0 等價(jià)于下列四式成立

對(duì)式(12) 關(guān)于uB,uC求導(dǎo),得

在式(14) 中,令A(yù)=B,并取跡,得

類似地,在式(14) 中,令B=C,并取跡,得

由(n-1)×(15)-(16),得

因此,當(dāng)n ≥3 時(shí),?A=0.

此時(shí),式(10) 自然成立,且式(11) 可轉(zhuǎn)化為

由式(18) 的表達(dá)式可知,若g=0,則

方程(19) 的非零解為

其中:μ 是任意常數(shù).將式(20) 代入g=0,得

方程(21) 的解為

將式(22) 代入f 的表達(dá)式,可得

這與式(20) 矛盾.因此g 恒不為零.

從而,由式(18) 可得

則Hs=0,即H 為任意非零常數(shù).從而,由(24) 式知sij=0,此時(shí)式(13) 自然成立.反之,若F 滿足定理1 中的條件(a) 或(b),則顯然χ 曲率消失.對(duì)于情形(c),知

將以上兩式代入定理2 的(6) 式,則式(6) 恒成立.

例1解方程sf-(b2-s2)fs=0,得則當(dāng)時(shí),由定理1 中的(c) 可知,滿足此條件的(α,β)-度量具有消失的χ 曲率.

對(duì)于k(≥2) 次多項(xiàng)式(α,β)-度量,即F=αφ(s),其中:φ(s)=1+a1s+a2s2+···+aksk.我們有如下定理.

定理3設(shè)F=αφ(s) 是n(≥3) 維流形上的(α,β)-度量,其中φ(s) 是關(guān)于s 的k(≥2) 次多項(xiàng)式.如果h=0,那么F 為黎曼度量.

證明對(duì)h=0 乘以2Δ3(φ-sφ′)8,由最高次項(xiàng)系數(shù)為零,得

則ak=0.從而

類似地,由2Δ3(φ-sφ′)8·h=0 的最高次項(xiàng)系數(shù)為零,得

則a1=0.因而,φ(s)≡1,即F 為黎曼度量.