熊學玉，謝一凡，姚剛峰

(1. 同濟大學建筑工程系，上海 200092；2. 同濟大學先進土木工程材料教育部重點實驗室，上海 200092；3. 蘇州科技大學土木工程學院，蘇州 215011)

框架節(jié)點作為傳力中樞，是RC 框架結構的關鍵部位，對于保證框架的整體性起決定性作用[1]。在地震作用下，框架節(jié)點核心區(qū)受到彎矩、剪力、軸壓力的共同作用，受力狀態(tài)和傳力機理十分復雜，屬于應力紊亂區(qū)，不再滿足平截面假定，其承載力由抗剪強度控制[2]。典型的RC 節(jié)點核心區(qū)受到的剪力可達框架柱內最大剪力的4 倍～6 倍[3]。因此，核心區(qū)受剪分析模型是框架節(jié)點研究熱點[4-6]。

節(jié)點受剪研究主要關注以下兩點：節(jié)點核心區(qū)受剪承載力和剪應力-剪應變骨架曲線。前者用于節(jié)點設計，實現(xiàn)強節(jié)點弱構件原則。后者可為數(shù)值模擬提供準確的理論模型基礎。研究表明[7]：地震作用下，框架節(jié)點的受力后期會出現(xiàn)明顯剪切變形，若忽略剪切變形，會導致模擬結果在剛度、承載力、滯回面積等方面誤差較大。

目前存在的節(jié)點核心區(qū)受剪分析模型可分為三類：理論模型、經(jīng)驗模型和拉壓桿模型[8]。理論模型[9-10]通過建立節(jié)點核心區(qū)剪切板的應變協(xié)調、平衡方程、本構關系，確定受剪承載力。理論模型可計算節(jié)點核心區(qū)的剪應力-剪應變骨架曲線和節(jié)點受剪承載力，但采用剪切板平均應力、應變假設，與框架節(jié)點實際受力不完全相符。研究表明[11]：理論模型與試驗結果吻合相對較差，且對不同的試驗結果的計算離散性較大。修正的斜壓場理論[11](modified compression field theory, MCFT)在混凝土構件受剪計算中應用廣泛。其理論公式為RC 配筋薄板剪切試驗擬合得到。但板與RC 框架節(jié)點受力情況不完全相同，計算結果低估核心區(qū)配箍率較低的節(jié)點強度，高估配箍率較高的節(jié)點強度[12]。Mitra 等[12]基于MCFT 存在的上述問題，提出了約束斜壓桿模型，假定節(jié)點核心區(qū)所有剪力均由混凝土斜壓桿傳遞。箍筋和柱縱筋對節(jié)點受剪的貢獻通過Mander 等[13]約束混凝土模型進行考慮。該模型計算思路簡單，但使用Mander 等[13]本構導致模型對節(jié)點核心區(qū)骨架曲線下降段斜率的計算誤差很大。模型只考慮箍筋對混凝土約束的貢獻，沒考慮箍筋本身承擔的抗剪貢獻。

其他兩種模型只關注節(jié)點受剪承載力的計算。經(jīng)驗模型[14-16]通過試驗數(shù)據(jù)對重要的影響參數(shù)進行回歸，給出經(jīng)驗公式。缺點是缺乏比較明確的物理模型，且具有一定的適用范圍。拉壓桿模型[17-18]認為節(jié)點剪力通過對角混凝土壓桿和鋼筋拉桿傳遞。Hwang 等[19-20]考慮節(jié)點核心區(qū)混凝土在雙軸拉壓組合受力下的軟化效應，建立了軟化的拉壓桿模型(Softened strut and tie model, SSTM)。并將其應用于RC 框架邊、中節(jié)點，RC 深梁，牛腿，低矮剪力墻等應力紊亂區(qū)的計算[21]，證明了SSTM 的廣泛適用性。然而，SSTM 仍存在以下問題：

1) 混凝土斜壓桿與水平線的夾角 θ采用簡化假設，根據(jù)節(jié)點的幾何尺寸確定，未考慮軸壓比與節(jié)點長寬比的影響。與已有試驗現(xiàn)象不符。

2) 拉壓桿模型有意忽略的變形協(xié)調條件，只能給出承載力計算結果?？紤]應變協(xié)調條件進行核心區(qū)骨架曲線計算的結果適用性尚待驗證。

邊節(jié)點與中節(jié)點相比，抗剪需求更高，抗剪強度較低[18]。準確計算邊節(jié)點的受剪性能十分必要。

本文針對邊節(jié)點受力特點，對斜壓桿傾角公式進行修正，根據(jù)44 個邊節(jié)點的剪應力-應變曲線數(shù)據(jù)擬合得到軟化混凝土本構曲線，考慮混凝土開裂前剛度取值，提出MSSTM 模型 (Modified softened strut and tie model, MSSTM)。采用SSTM模型、MSSTM 模型和約束斜壓桿模型對91 個RC邊節(jié)點的受剪承載力和26 個邊節(jié)點的骨架曲線進行計算，對比分析三模型的適用性。

1 MSSTM 模型建立

1.1 宏觀模型

梁端彎矩和柱端彎矩、軸力同時作用于節(jié)點，梁柱縱筋受到的壓力和拉力通過粘結作用傳入節(jié)點核心區(qū)[22-23]，形成沿對角線方向互相正交的斜向壓力和拉力。SSTM 的框架節(jié)點抗剪機理如圖1 所示。該抗剪機理由斜向機構、水平機構與豎向機構三部分共同組成，其中斜向機構如圖1(a)所示。

圖1 節(jié)點抗剪機構Fig. 1 Joint shear resisting mechanisms

研究表明[20]：軸壓力增加，節(jié)點核心區(qū)裂縫形成的傾角變陡；節(jié)點受剪承載力[24]與節(jié)點長寬比成反相關。基于幾何關系的假定未考慮兩者的影響。斜壓桿傾角的計算公式需修正。

根據(jù)邊節(jié)點的受力特點可知，RC 節(jié)點斜壓桿傾角可按圖2 所示機制進行定義[25]。圖2 中：hb為梁高；hc為柱高；ac、ab分別為柱端、梁端截面受壓區(qū)的高度。圖中陰影為混凝土受壓的應變分布示意圖。分別找到應變圖的形心位置，作對應的柱、梁水平線的平行線形成交點，交點連線與水平線的夾角即可認為是斜壓桿的傾角。由于三角形形心位置在1/3 處，因此，可得到計算公式如下：

圖2 斜壓桿傾角計算圖Fig. 2 Calculation of angle of strut inclination

式(2)從應變分布層次給出了斜壓桿傾角的計算公式。由式(3)可知，軸壓力增大，柱端混凝土受壓區(qū)高度增大，該公式計算的斜壓桿的傾角變陡，與試驗現(xiàn)象相符。

相應的斜壓桿的面積Astr為：

圖1(b)所示的水平機構由一個水平拉桿和兩個平壓桿(見陰影部分)組成。節(jié)點核心區(qū)箍筋構成了水平拉桿。圖1(c)所示的豎向機構由一豎向拉桿和兩個陡壓桿組成，其中柱的非角部縱筋構成了豎向拉桿。

1.2 平衡方程

根據(jù)拉壓桿模型，對節(jié)點列平衡方程，可得節(jié)點的水平剪力為：

當節(jié)點內存在三種機構參與抗剪時，水平拉桿和豎向拉桿各上述按比例占一部分，剩下的部分由斜向機構承擔。結合式(10)～式(13)，進行一定的代數(shù)變換，可得：

當節(jié)點核心區(qū)達到承載力時，認為核心區(qū)混凝土到達其抗壓強度。根據(jù)結點區(qū)的受力平衡，可以得到 σd,max的計算公式：

1.3 本構關系

框架節(jié)點核心區(qū)混凝土由于雙向受力，表現(xiàn)出軟化效應。SSTM 采用Zhang 和Hsu[27]提出的開裂混凝土的軟化本構曲線進行計算，如式(24)～式(26)所示。由于Hwang 計算節(jié)點的承載力，只取該本構的上升段[19]。

該本構根據(jù)配筋混凝土板的雙向剪切試驗進行回歸得到，考慮了開裂混凝土雙向受力引起的軟化效應。但用于節(jié)點計算時存在以下問題：

1) 配筋混凝土板的邊界條件與RC 框架節(jié)點有所不同，且板的厚度方向尺寸遠小于平面內尺寸，可簡化為平面應力問題。但框架節(jié)點厚度(寬度)方向與平面內尺寸相當，若簡化為平面應力問題會有較大誤差。

2) 該本構適用于混凝土板開裂后的應力-應變關系，當計算框架節(jié)點受剪承載力時，節(jié)點開裂嚴重，與該本構假定相符，因此適用性尚可；在計算RC 框架節(jié)點核心區(qū)在受力全過程的剪應力-剪應變骨架曲線時，由于加載前期核心區(qū)混凝土尚未開裂，混凝土尚未表現(xiàn)出軟化效應，軟化系數(shù)不適用。邊節(jié)點核心區(qū)在平面內存在梁端與上下柱端的約束，與剪切板的邊界條件差別較大。

上述分析可知，Zhang 和Hsu[27]提出的軟化本構曲線對RC 節(jié)點核心區(qū)剪應力-剪應變骨架曲線的計算的適用性不足。本文對此進行修正：

筆者從已有文獻中收集44 個RC 框架邊節(jié)點的試驗數(shù)據(jù)[24,28-32]。關鍵參數(shù)范圍如表1 所示?；炷翉姷燃壈–25～C70；梁高在200 mm～750 mm；節(jié)點核心區(qū)配箍率在0%～1.72%；鋼筋強度包含HRB300～HRB500；試驗軸壓比最大為0.25，對應設計軸壓比約0.4。因此，可認為試驗數(shù)據(jù)具有一定代表性。

表1 試驗數(shù)據(jù)范圍Table 1 Range of test data

取上述節(jié)點核心區(qū)剪應力-剪應變骨架曲線試驗數(shù)據(jù)點(每個試件上取關鍵點4 個～6 個)，參考Zhang 和Hsu[27]的軟化本構形式，對試驗數(shù)據(jù)點進行擬合。得到新的混凝土軟化本構曲線如式(28)～式(30)所示。

試驗數(shù)據(jù)點與擬合得到的新本構曲線以及原本構曲線的對比如圖3 所示。原公式下降段剛度過大，與試驗數(shù)據(jù)相差較多；且對峰值的計算也偏大。擬合的新本構與試驗數(shù)據(jù)較為吻合。

圖3 基于邊節(jié)點試驗數(shù)據(jù)的軟化混凝土本構擬合曲線Fig. 3 Proposed constitutive model of softened concrete for exterior joints

1.4 變形協(xié)調

1.5 求解過程

2 模型驗證

2.1 試驗數(shù)據(jù)庫

為了驗證上述框架節(jié)點受剪承載力計算模型的準確性，筆者對上述44 個邊節(jié)點[24,28-32]和SSTM原文中給出的試件及其他數(shù)據(jù)完整試件[33-44]進行收集，共得到了91 個RC 邊節(jié)點在反復荷載下的試驗數(shù)據(jù)，以此對MSSTM 模型進行驗證。試件選擇的原則如下：

1) 邊節(jié)點中存在樓板、橫梁、梁柱有偏心的試件不予選取。

2) 邊節(jié)點中梁縱筋在核心區(qū)錨固不足，發(fā)生縱筋錨固破壞的試件不予選取。

3) 邊節(jié)點中最終發(fā)生柱端屈服破壞(CF)的試件不予選取。發(fā)生梁端屈服破壞(BF)、梁端屈服后節(jié)點核心區(qū)剪切破壞(BY-JS)、節(jié)點核心區(qū)剪切破壞(JS)的三種破壞模式的試件予以保留。

2.2 結果分析與討論

1) 受剪承載力

為驗證MSSTM 模型的正確性，對上述91 個邊節(jié)點的受剪承載力進行了計算，同時采用SSTM模型和約束斜壓桿模型進行對比。節(jié)點信息、三個模型的計算值與試驗值的對比結果如表2 所示。

91 個試件中，35 個試件發(fā)生BF 破壞，由梁端受彎承載力控制，節(jié)點核心區(qū)尚未破壞；56 個試件發(fā)生BY-JS 破壞或JS 破壞，均為節(jié)點核心區(qū)破壞。合理的模型計算的BF 破壞節(jié)點承載力與試驗值之比應略高于1。BY-JS 和JS 節(jié)點承載力與試驗值之比應接近1，同時離散性較小。

由表2 可知，對BF 破壞的試件，采用SSTM模型、MSSTM 模型和約束斜壓桿模型得到的試驗值與計算值之比的平均值分別為1.147、1.104、1.375。對BY-JS、JS 破壞的試件平均值和變異系數(shù) 分 別 為1.028、0.995、1.203 和0.230、0.164、0.273。三模型對BF 破壞試件的計算平均值均大于1?？紤]到按強節(jié)點弱構件原則設計時，節(jié)點承載力與剪力需求之比一般不會超過1.5，可認為約束斜壓桿模型計算結果偏大。三模型對BY-JS、JS 破壞的試件計算MSSTM 模型最準確，且變異系數(shù)最小，說明離散性較??；SSTM 模型計算結果均值較好，但離散性大于MSSTM；約束斜壓桿模型計算結果均值偏大，且離散性最大。

表2 框架邊節(jié)點三模型計算值與試驗值對比Table 2 Comparison of joint shear strength predictions with experimental results of three models

續(xù)表2

續(xù)表2

圖4 邊節(jié)點剪應力-剪應變骨架曲線計算流程圖Fig. 4 Flow chart for shear strain-stress curve calculation

對BF 破壞試件，認為計算值與試驗值之比大于1.5 或小于0.8 則為預測偏差；對BY-JS、JS 破壞試件，認為比值誤差超過20%為預測偏差，則三模型表現(xiàn)如下表3。三模型中MSSTM 對不同破壞模式預測均最準確。

表3 三模型預測偏差Table 3 Unacceptable Prediction Ratio of Three Models

三模型受剪承載力的計算值和試驗值的對比如圖5 所示。由圖5 可知，約束斜壓桿模型由于只考慮斜壓桿機構傳遞剪力，假設過于簡單，因此適用性有一定局限，表現(xiàn)為對不同節(jié)點預測適用性較差。BF 破壞和BY-JS、JS 破壞的試件計算值與試驗值之比最大值分別為3.22、1.83；最小值分別為0.57、0.61。對所有破壞模式的節(jié)點計算離散性最大。MSSTM 模型與約束斜壓桿模型相比，包括了三種機構共同抗剪，考慮因素較為全面；與SSTM 模型相比，計算斜壓桿與水平線夾角的計算中，考慮軸壓比的影響，按混凝土應變分布得到公式，且軟化混凝土本構選取得當，因此與試驗值最為接近，離散性最小。

圖5 三模型計算值與試驗值對比Fig. 5 Comparison of joint shear strength prediction with experimental results of three models

將軸壓比、節(jié)點長寬比和混凝土強度分別作為橫軸變量，按不同破壞模式對比三模型的計算結果如圖6、圖7 所示。圖6 中的節(jié)點核心區(qū)未破壞，計算值與試驗值之比大于1 可認為合理。由圖6(a)、圖6(b)可知，SSTM 模型對軸壓比在0.2以下、節(jié)點長寬比在1～1.5 的節(jié)點承載力計算結果準確性偏低。由圖6(c)可知，SSTM 模型對混凝土強度在20 MPa～40 MPa 的節(jié)點承載力計算結果偏低。

圖6 軸壓比、節(jié)點長寬比、混凝土強度的影響(BF 破壞)Fig. 6 Effect of column axial ratio, joint aspect ratio and concrete compressive strength on joint shear strength (BF)

圖7 為節(jié)點核心區(qū)破壞的節(jié)點，計算值與試驗值之比等于1 可認為計算結果準確。由圖7(a)可知，MSSTM 模型隨軸壓比的變化，其計算值與試驗值之比仍在1 附近，而SSTM 模型逐漸偏離1，說明SSTM 模型未準確考慮軸壓比的影響。由圖7(b)可知，MSSTM 模型對不同節(jié)點長寬比的邊節(jié)點適用性均較好。對節(jié)點長寬比大于1 的邊節(jié)點，其計算結果顯著較SSTM 模型更準確。由圖7(c)可知，約束斜壓桿模型對混凝土強度大于40 MPa 的試件，嚴重高估節(jié)點抗剪承載力。這可能是因為在約束斜壓桿模型中，節(jié)點混凝土雙向受力的軟化系數(shù)根據(jù)普通混凝土試驗數(shù)據(jù)回歸得到。試驗數(shù)據(jù)未包含高強混凝土節(jié)點，適用性存在局限。SSTM 模型對普通混凝土節(jié)點計算離散性較大，對高強混凝土節(jié)點計算效果較好；MSSTM模型對不同混凝土強度的節(jié)點整體計算離散性較為一致。

圖7 軸壓比、節(jié)點長寬比、混凝土強度的影響(BY-JS、JS 破壞)Fig. 7 Effect of column axial ratio, joint aspect ratio and concrete compressive strength on joint shear strength (BY-JS、JS)

斜向機構傾角對計算結果敏感。根據(jù)SSTM模型，三種抗剪機構按式(16)～式(18)所得比例分擔水平剪力。不同斜壓桿傾角時，三種機構承擔剪力比例如圖8 所示。 tanθ=1 ，即 θ=45°時，混凝土斜壓桿傳遞水平剪力效率最高； tanθ ＞2，即θ＞ 63.5°時，豎向機構和斜向機構不傳遞水平剪力，全部剪力由水平箍筋承擔。按SSTM 模型計算，試件H1.5S、M1.5S θ為62.5°，混凝土斜壓桿幾乎不傳遞剪力。節(jié)點承載力正比于水平箍筋用量。但試驗結果表明：上述節(jié)點的核心區(qū)破壞嚴重，斜裂縫發(fā)展明顯。混凝土不傳遞剪力這一假設顯然與試驗現(xiàn)象不符。經(jīng)MSSTM 修正后，兩試件 θ均為57°，混凝土斜壓桿可傳遞部分剪力。計算值與試驗值之比從0.75、0.7 變成1.07、1.01。說明修正方法具有合理性。

圖8 不同機構剪力分配比例Fig. 8 Ratios of shear force distribution mechanisms

SSTM 模型與MSSTM 模型確定 θ與承載力預測準確度的關系如圖9 所示。與SSTM 模型相比，MSSTM 模型計算 θ向45°靠攏，說明MSSTM的斜壓桿分擔剪力較大，是傳遞剪力的主要機構，更合理反應了節(jié)點破壞機理，整體計算結果更準確。

圖9 斜向機構傾角的影響(BY-JS、JS 破壞)Fig. 9 Effect of angle of diagonal strut (BY-JS、JS)

軸壓比增加，節(jié)點柱端受壓區(qū)高度變大，增大了混凝土斜壓桿的面積，進而增加節(jié)點受剪承載力；同時軸壓比增加會改變節(jié)點核心區(qū)主應力方向，使核心區(qū)斜裂縫與水平夾角變陡。圖10 為不同軸壓比下，SSTM 模型與MSSTM 模型的 θ計算，試件#4、#5 軸壓比為0.25，軸壓比影響顯著。按MSSTM 模型計算的 θ大于SSTM 模型，計算結果也有相應改善。說明MSSTM 模型可較好考慮軸壓比影響。

圖10 軸壓比對斜向機構傾角的影響Fig. 10 Effect of axial force ratio on angle of diagonal strut

2) 剪應力-剪應變骨架曲線

MSSTM 模型根據(jù)收集到的邊節(jié)點試驗數(shù)據(jù)，得到擬合的軟化混凝土本構；并在計算過程中，令開裂前的軟化系數(shù)取1，改善了SSTM 模型開裂前剛度的計算準確性，部分程度提高了下降段剛度的計算效果；也較好地解決了約束斜壓桿模型對開裂前剛度、下降段剛度計算與試驗誤差較大的問題。

三模型在峰值剪應力、峰值剪應變、開裂剛度的計算值與試驗結果對比結果見表4。

表4 峰值應變、峰值應力、開裂剛度的試驗值與三模型計算值的對比Table 4 Comparison of peak shear stain, stress and initial stiffness with experimental results of three models

SSTM 模型、約束斜壓桿模型和MSSTM 模型對峰值應變計算值與試驗值之比的平均值分別為1.54、5.43 和1.64；峰值應力之比的平均值分別為1.39、1.19 和1.14；開裂剛度之比的平均值分別為0.38、0.57 和1.02。說明MSSTM 模型能較為準確的計算邊節(jié)點的峰值應變和峰值應力，在計算開裂前剛度準確程度較其余兩模型有明顯改善。

選擇典型的試件進行三個模型骨架曲線與試驗對比，如圖11 所示。

以試件3 為例，說明典型邊節(jié)點核心區(qū)骨架曲線的一般特征。加載初期，節(jié)點核心區(qū)混凝土未開裂，骨架曲線上變現(xiàn)為彈性，且斜率較大；當核心區(qū)混凝土主拉應變到達混凝土開裂應變時，混凝土核心區(qū)開裂，出現(xiàn)交叉斜裂縫，箍筋應變迅速增加，骨架曲線剛度減小，但承載力仍可上升；當節(jié)點核心區(qū)箍筋到達屈服，骨架曲線到達峰值，此時節(jié)點核心區(qū)交叉斜裂縫發(fā)展充分；隨著進一步加載，節(jié)點核心區(qū)破壞嚴重，承載力迅速下降，骨架曲線進入下降段。

與SSTM 模型和約束斜壓桿模型相比，MSSTM模型計算得到的峰值點、開裂前剛度明顯與試驗更符合，峰值后的下降段剛度有一定改善，但由于此時混凝土破壞嚴重，影響下降段剛度因素較多，結果具有一定離散性。其中圖11(h)、圖11(i)中的試件H0.7S 和H2.0S 的計算峰值應力準確性相對較差。原因如下：試件H0.7S 為梁端受彎破壞，節(jié)點基本完好，試驗無法得到節(jié)點承載力，計算峰值應力高于試驗值具有一定合理性。斜壓桿面積計算中梁端受壓區(qū)高度的計算公式(4)為近似公式。試件H0.7S 的節(jié)點長寬比為0.7，梁高相對較小。MSSTM 計算結果高度依賴斜壓桿面積。對此類試件或可采用有限元或條帶法準確計算梁端受壓區(qū)高度，改善計算結果準確性，相關問題待進一步研究。文獻[21]給出試件H2.0S 的破壞圖，節(jié)點核心區(qū)破壞嚴重，且由于節(jié)點長寬比較大，梁、柱混凝土強度分別為26.4 MPa、48.2 MPa，節(jié)點核心區(qū)斜裂縫延伸至柱端，梁端裂縫開展不充分。初步分析認為試件H2.0S 屬于節(jié)點核心區(qū)和柱端混合破壞(JS-CF)。破壞模式不屬于BY-JS破壞，柱端破壞嚴重，受壓區(qū)高度ac很小，式(3)已不適用該試件的計算。

圖11(e)中的下降段剛度計算相對精確度較差。分析發(fā)現(xiàn)試驗數(shù)據(jù)在強度下降后又有向上趨勢，可能是節(jié)點變形過大時，加載裝置提供額外剛度，對試驗數(shù)據(jù)產(chǎn)生誤差。

圖11 三模型計算核心區(qū)剪應力-剪應變骨架曲線與試驗對比Fig. 11 Comparison of shear strain stress curve with experimental results of three models

3 結論

本文針對框架邊節(jié)點的理論計算進行了研究，得到如下結論：

(1) 針對SSTM 模型進行了修正，建立了MSSTM模型。對91 個框架邊節(jié)點的受剪承載力的進行計算，并與SSTM 模型、約束斜壓桿模型進行對比，結果表明：對56 個發(fā)生節(jié)點核心區(qū)破壞的節(jié)點，SSTM 模型、約束斜壓桿模型和MSSTM 模型計算值與試驗值之比的平均值分別為1.028、1.203和0.995，變異系數(shù)分別為0.230、0.273 和0.164，說明MSSTM 模型計算結果較為準確，且離散性最小。

(2) 對26 個邊節(jié)點的核心區(qū)剪應力-剪應變骨架曲線進行了計算，與SSTM 模型和約束斜壓桿模型進行對比。三模型的峰值應變、峰值應力、開裂剛度的計算值與試驗值之比的平均值分別為SSTM 模型：1.54、1.39 和0.38；約束斜壓桿模型：5.43、1.19 和0.57；MSSTM 模型：1.64、1.14 和1.02。說明MSSTM 模型對核心區(qū)剪應力-剪應變骨架曲線的計算與試驗結果更吻合。

(3) MSSTM 模型實現(xiàn)了節(jié)點受剪承載力和核心區(qū)剪應力-剪應變骨架曲線計算的雙重目標，精度較好。因此可為RC 框架邊節(jié)點的設計和有限元模擬[48-51]提供理論基礎。