孫文兵，謝文平

（邵陽學院 理學院，湖南 邵陽 422000）

孫文兵，謝文平

（邵陽學院 理學院，湖南 邵陽 422000）

構(gòu)造了一個帶參數(shù)的Riemann-Liouville分數(shù)階積分恒等式，得到幾個關(guān)于-預不變凸函數(shù)的帶參數(shù)的分數(shù)階積分不等式。當參數(shù)取特殊值時，分別得到了“中點型”“梯形型”和“Simpson型”積分不等式。利用構(gòu)建的不等式得到了幾個經(jīng)典數(shù)值積分的誤差估計式。

-預不變凸函數(shù)；Hermite-Hadamard 型不等式；Simpson型不等式；Riemann-Liouville分數(shù)階積分；誤差估計

0 引言

具有某種凸性的函數(shù)往往具備一些良好的性質(zhì)，因此凸函數(shù)在工程、經(jīng)濟等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。不少著名不等式的建立或改進也與函數(shù)凸性有關(guān)，如Hermite-Hadamard積分不等式、Simpson積分不等式等。

定理1（Hermite-Hadamard積分不等式） 設(shè)為凸函數(shù)，若且，則有

長期以來，學者對Hermite-Hadamard和Simpson積分不等式進行了不斷推廣和改進，一是從函數(shù)凸性角度，因為實際問題中函數(shù)難以滿足經(jīng)典凸性的條件，但可滿足某種廣義凸性，因此通過推廣凸函數(shù)的定義對不等式進行改進具有一定實際意義，如文獻［1-6］；二是從引入?yún)?shù)角度，通過改變參數(shù)調(diào)整不等式，使不等式具有更廣的適用性，如文獻［7］。近年來，這幾類不等式被推廣至分數(shù)階積分領(lǐng)域，如Riemann-Liouville分數(shù)階［8］、共形分數(shù)階［9-10］、局部分數(shù)階［11-13］等。筆者基于上述不等式改進思想，對具有-預不變凸性［14］的函數(shù)構(gòu)建了幾個帶參數(shù)的Riemann-Liouville分數(shù)階積分不等式。當參數(shù)取特殊值時，可得到“中點型”“梯形型”和“Simpson型”等特殊形式的積分不等式，利用構(gòu)建的不等式還得到了幾個經(jīng)典數(shù)值積分的誤差估計式。

1 預備知識

2 主要結(jié)果及證明

證明 對等式右邊部分分別進行分部積分，得到

同理

式（2）加式（3），可得式（1）。

證明 由引理1及模的性質(zhì)，可得

由式（5）和式（6），計算可得式（4）。

定理3得證。

其中，

定理4得證。

證明 對引理1的不等式兩邊取模，利用H?lder不等式以及為-預不變凸函數(shù)，可得

定理5得證。

3 在數(shù)值積分中的應(yīng)用

所以

命題1得證。

所以

命題2得證。

所以

命題3得證。

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Some fractional integrals inequalities for-preinvex functions and applications to numerical integration

SUN Wenbing, XIE Wenping

（School of Science，Shaoyang University，Shaoyang422000，Hunan Province，China）

An identity with parameters is constructed via Riemann-Liouville fractional integrals. With that, we derive some fractional integrals inequalities with parameters for-preinvex functions. The quot;midpoint typequot;, quot;trapezoidal typequot; and quot;Simpson typequot; integral inequalities are obtained respectively when the parameters are given special values. Finally, the error estimates of numerical integration are proposed to illustrate the applications of the results.

-preinvex functions; Hermite-Hadamard type inequalities; Simpson type inequalities; Riemann-Liouville fractional integrals; error estimation

O 178

A

1008?9497（2022）03?308?08

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.007

2021?03?22.

湖南省教育廳重點項目（21A0472）；湖南省自然科學基金資助項目（2020JJ4554）；湖南省普通高等學校教學改革研究項目（湘教通〔2019〕291號（787））.

孫文兵（1978—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-5673-4519，男，碩士，副教授，主要從事解析不等式研究，E-mail：swb0520@163.com.