吳 悔，黃世沛，曾國強，張正江

(溫州大學 電氣數(shù)字化設(shè)計技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實驗室，浙江 溫州 325035)

0 引言

DC-DC降壓變換器廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代工業(yè)，如海島微電網(wǎng)，電動汽車和太陽能電池能源管理等。隨著分布式發(fā)電和智能微電網(wǎng)發(fā)電技術(shù)的發(fā)展，對于DC-DC降壓變換器的可靠性的要求越來越高。傳統(tǒng)的變換器的控制方法集中于線性控制方案，如傳統(tǒng)的PID控制是基于目標誤差而不是模型的控制，雖然可以實現(xiàn)對系統(tǒng)輸出電壓的控制，但是動態(tài)響應(yīng)較慢、控制效果較差。

近年來，很多現(xiàn)代控制方法被提出來，如狀態(tài)空間法、Lyapunov直接法等，用于改善DC-DC變換器的控制性能。文獻[8]基于狀態(tài)空間法，設(shè)計了基于極點配置的反饋控制器，使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性和動態(tài)特性得到了進一步的改善。文獻[9]提出了一種基于Lyapunov直接法的非線性控制方法保證了系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定。文獻[10]針對具有輸入擾動的DC-DC升壓變換器，結(jié)合狀態(tài)空間理論提出了一種狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法，有效地降低了系統(tǒng)輸出電壓的超調(diào)量。文獻[11]利用了切換線性系統(tǒng)的理論，對DC-DC變換器進行建模與控制，最終也是能夠保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。近年來，由于有限時間控制的系統(tǒng)不僅具有收斂速度快的優(yōu)點，還具有較好的抗干擾性能，被廣泛研究，用于各類系統(tǒng)的設(shè)計。文獻[13]研究了一類線性系統(tǒng)的有限時間有界跟蹤控制問題，所提出的控制方法使得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差信號可以處于給定的界內(nèi)。文獻[14]設(shè)計了一種有限時間控制器，解決了具有參數(shù)不確定的剛體航天器的姿態(tài)跟蹤控制的問題。文獻[15]基于有限時間穩(wěn)定性理論，針對發(fā)生混沌現(xiàn)象的四階電力系統(tǒng)，設(shè)計了一種有限時間控制器，能較好地抵抗外界干擾。文獻[16]針對輸入電壓未知的Buck型DC-DC變換器提出了一種快速的電壓收斂控制算法，保證了輸出電壓在有限時間內(nèi)收斂于參考電壓。文獻[17]結(jié)合齊次滑?？刂评碚撛O(shè)計了有限時間的無電流傳感控制器，解決了Buck變換器輸出電壓的有限時間控制問題。文獻[18]提出了一類依賴駐留時間的切換規(guī)則，實現(xiàn)了DC-DC切換仿射系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。

需要指出的是，上述所討論到的研究結(jié)果均是基于連續(xù)時間控制的，即控制器時刻都在更新。當系統(tǒng)狀態(tài)趨于穩(wěn)定時，數(shù)據(jù)的傳輸、控制器的實時更新可能就會造成通信資源的浪費。隨著數(shù)字控制技術(shù)的發(fā)展，周期采樣控制被提出用于閉環(huán)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計。然而，為了較好地獲得期望的性能，一般周期采樣控制的更新周期很小，此方法仍舊會導致頻繁的數(shù)據(jù)傳輸?；谏鲜鲇懻摚绾胃咝У睦猛ㄐ刨Y源變得十分重要。有研究指出事件觸發(fā)控制既能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還能夠彌補傳統(tǒng)連續(xù)時間控制下造成的有限通信資源浪費的不足。文獻[20]提出了3種新的事件觸發(fā)設(shè)計策略，分別是基于固定閾值策略，相對閾值策略和切換閾值策略，保證了系統(tǒng)跟蹤誤差指數(shù)收斂到一個可調(diào)的緊集。文獻[21]提出了一種基于切換閾值策略的事件觸發(fā)控制器，保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號有界。

綜上所述，目前關(guān)于DC-DC變換器的漸近穩(wěn)定控制或有限時間控制的結(jié)果都是基于連續(xù)時間控制的，還未見有DC-DC變換器事件觸發(fā)控制的結(jié)果。因此，本文主要研究基于事件觸發(fā)機制的Buck型DC-DC變換器有限時間控制。首先，將Buck變換器建模成一類反饋型非線性系統(tǒng)。然后，構(gòu)造一種狀態(tài)變換，基于此變換設(shè)計一種事件觸發(fā)機制。接著，采用反步法設(shè)計一種狀態(tài)反饋控制器，該控制器僅在事件觸發(fā)條件滿足時才更新。通過構(gòu)造一類Lyapunov函數(shù)，證明閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性，即變換器的輸出電壓能在有限時間內(nèi)收斂到給定電壓，同時通過對事件觸發(fā)誤差求偏導數(shù)證明所提出的有限時間事件觸發(fā)控制方案不會產(chǎn)生Zeno現(xiàn)象。最后，通過仿真結(jié)果與分析，表明所提出的有限時間事件觸發(fā)控制方案的有效性。

1 問題描述

針對Buck型DC-DC變換器，其工作原理如圖1所示，根據(jù)開關(guān)管的導通和關(guān)斷兩種狀態(tài)，在開關(guān)頻率足夠快的情況下，建立如下的Buck型變換器的狀態(tài)空間模型：

(1)

其中：

v

是輸入電壓；

v

是輸出電壓；

S

是MOS型開關(guān)；

D

是二極管；

R

為負載電阻，

L

、

C

分別是電感和電容；

i

為電感電流；

μ

(

t

)∈[0,1]是控制輸入，該信號最終用于驅(qū)動PWM波。

圖1 Buck變換器電路圖

定義輸出電壓誤差：

x

=

v

-

v

，其中

v

為參考輸出電壓，則Buck電路的誤差動態(tài)方程如下：

(2)

式中，

(3)

(4)

本文的控制目標是實現(xiàn)Buck型DC-DC變換器(1)的有限時間輸出跟蹤控制，即設(shè)計基于事件觸發(fā)的有限時間控制器，保證輸出電壓有限時間跟蹤到給定參考電壓的同時減少不必要的通信資源浪費。

為了后續(xù)的設(shè)計和分析，給出如下定義和引理。

定義1：考慮如下系統(tǒng)

引理1：考慮如下系統(tǒng)

2 控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析

本節(jié)將給出主要結(jié)果。首先提出有限時間控制器與事件觸發(fā)機制設(shè)計結(jié)果，然后對閉環(huán)系統(tǒng)進行有限時間穩(wěn)定性分析，最后討論所設(shè)計的事件觸發(fā)機制不會發(fā)生Zeno現(xiàn)象。

2.1 事件觸發(fā)控制器的設(shè)計

在本小節(jié)，將給出有限時間控制器與事件觸發(fā)機制設(shè)計方法。其中，反步法是一種遞推的設(shè)計方法，通過若干步驟設(shè)計系統(tǒng)的控制器(不會超過系統(tǒng)的階數(shù))。本小節(jié)利用反步法設(shè)計整個系統(tǒng)的反饋控制律，首先構(gòu)造如下坐標變換：

(5)

步驟1:構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

(6)

(7)

步驟2： 構(gòu)造如下函數(shù)

V

(

z

,

z

)=

V

(

z

)+

W

(

z

)

(8)

(9)

運用young不等式，對式(9)進行放縮可得：

(10)

(11)

為了后續(xù)分析設(shè)計簡便，在本節(jié)中定義{

t

,

j

=1,2,…},

t

<

t

+1為觸發(fā)序列，其中

t

=0是初始的觸發(fā)時刻。首先定義如下的事件觸發(fā)誤差：

(12)

且有事件觸發(fā)機制設(shè)計如下：

(13)

(14)

(15)

(16)

2.2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

基于上述分析，將總結(jié)以下定理證明所設(shè)計的控制方案能夠保證Buck型變換器系統(tǒng)(1)的有限時間穩(wěn)定性。

定理1：針對系統(tǒng)(1)，在控制器(16)下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)將在有限的時間內(nèi)收斂到原點，即Buck變換器的輸出電壓能夠有限時間收斂到給定值。

證明：當

t

∈[

t

,

t

+1)時，根據(jù)式(4)、(5)以及事件觸發(fā)控制器(16)，可知式(11)中有下式成立：

(17)

又根據(jù)觸發(fā)機制中的式(13)和式(14)，可知在

t

∈[

t

,

t

+1)時，有下式成立：

(18)

(19)

(20)

(21)

式中，

a

=2(1-1(2-1))

r

1((2-1)*)，

a

=21-1+(1-1(2-1))

r

1((2-1)*)。

將式(18)～(21)代入到(17)，可以得到如下結(jié)論：

(22)

其中:

ε

=

β

22-1((2-1)*)

r

1((2-1)*)+

(23)

因此，將式(23)代入到式(11)，可以得到：

(24)

其中:

b

>0是一個常數(shù)。通過選取足夠小的

r

可以使得:

因此式(24)可以轉(zhuǎn)換成：

(25)

根據(jù)young不等式有：

2(|

z

|+|

z

|)

(26)

結(jié)合式(25)和(26)，可以得到如下結(jié)論：

(27)

根據(jù)式(27)、引理1以及定義1可知，閉環(huán)系統(tǒng)(1)是有限時間穩(wěn)定的，即Buck變換器的輸出電壓可以有限時間收斂到給定的電壓值。

注2：根據(jù)式(10)可知，參數(shù)

τ

和虛擬控制器增益

β

的選取決定了控制器增益

β

的大小，進一步影響了

r

的取值。又由式(27)和引理1可知，系統(tǒng)(1)的收斂時間也取決于

τ

的大小。當

τ

的值取得相對較小時，系統(tǒng)狀態(tài)的響應(yīng)速度也較快。結(jié)合事件觸發(fā)機制(12)～(15)以及(24)可知，

τ

的取值較大會增加事件觸發(fā)的次數(shù)，進而會降低系統(tǒng)輸出電壓的收斂速度以及造成系統(tǒng)通信資源的浪費。

2.3 Zeno現(xiàn)象的排除

由于事件觸發(fā)的引入，需要考慮在執(zhí)行所設(shè)計的事件觸發(fā)控制方案時，系統(tǒng)中是否會發(fā)生Zeno現(xiàn)象，即考慮在一個事件觸發(fā)區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)是否會存在無窮次采樣的現(xiàn)象。因此，結(jié)合上述定義的事件觸發(fā)誤差和所設(shè)計的事件觸發(fā)方案，總結(jié)以下定理表明系統(tǒng)的事件觸發(fā)區(qū)間間隔存在一個正的下界，即在本文所提出的控制方案下，系統(tǒng)不會產(chǎn)生Zeno現(xiàn)象。

定理2：考慮系統(tǒng)(1)，在事件觸發(fā)機制(12)～(15)和控制器(16)下，閉環(huán)系統(tǒng)不會發(fā)生Zeno現(xiàn)象，即系統(tǒng)的事件觸發(fā)區(qū)間間隔存在正的下界

d

，即

t

+1-

t

≥

d

，

j

=1,2,…。證明：當

t

∈[

t

,

t

+1)時，事件觸發(fā)誤差

e

(

t

)關(guān)于時間的導數(shù)為：

(28)

(29)

根據(jù)

z

(

t

)的定義，有以下不等式成立：

(30)

其中：

γ

>0是一個常數(shù)。所以，式(29)可以進一步改寫為：

(31)

因此，可以推斷出:

(32)

綜上所述，觸發(fā)區(qū)間間隔存在一個正的下界，即：

(33)

因此，排除了系統(tǒng)中Zeno現(xiàn)象存在的可能性，以上完成了定理2的證明。

注3：值得注意的是，本文構(gòu)造了不同于文獻[15-16]中所設(shè)計的事件觸發(fā)誤差:

3 仿真實例分析

為了驗證本文所設(shè)計的事件觸發(fā)有限時間控制方案的有效性，本節(jié)將給出Buck變換器的仿真結(jié)果。首先給出系統(tǒng)控制器設(shè)計步驟如下：

1)選擇合理的參數(shù)

τ

。2)選取虛擬控制器增益

β

，結(jié)合參數(shù)

τ

確定控制器增益

β

的大小。

3)基于所設(shè)計的事件觸發(fā)方案，構(gòu)造事件觸發(fā)控制器(16)并計算占空比：

值得注意的是，所設(shè)計的參數(shù)

τ

,

β

和

β

的選取可能會影響事件觸發(fā)的頻率，以及系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，不宜過大或過小，應(yīng)當結(jié)合輸出電壓的調(diào)節(jié)速率和事件觸發(fā)發(fā)生的頻率來權(quán)衡選擇。

仿真結(jié)果如圖2～5所示。圖2給出了三組參數(shù)下Buck變換器的輸出電壓曲線，從圖中可以明顯看出，本文的控制方案能夠使得輸出電壓在有限時間內(nèi)收斂到參考電壓?？刂圃鲆?p>β

越大，Buck變換器輸出電壓收斂的越快，

β

=10時輸出電壓收斂時間是在0.39 s，

β

=5時輸出電壓收斂時間為1.57 s，

β

=1

.

5時輸出電壓收斂時間超過5 s。由此可見，同樣的控制方案但是選擇不同的參數(shù)，雖然均能實現(xiàn)控制目標，但是系統(tǒng)的響應(yīng)速度受到影響。參數(shù)

β

越大，輸出電壓的收斂速度越快。因此，參數(shù)

β

的選取需要參考輸出電壓的收斂速度以及系統(tǒng)調(diào)節(jié)精度的要求。圖3描述的是三組參數(shù)下Buck變換器中電感電流的變化情況，從圖中可以看出，電感電流在有限時間內(nèi)也達到了穩(wěn)態(tài)，參數(shù)

β

越大，電感電流的收斂速度也越快。

圖2 系統(tǒng)的輸出電壓vo

圖3 電感電流iL

圖4給出了參數(shù)

β

=10下系統(tǒng)的觸發(fā)時刻和事件觸發(fā)間隔的仿真結(jié)果，可見在0.39 s內(nèi)僅發(fā)生了41次事件觸發(fā)，避免了控制輸入信號連續(xù)傳輸，由于在0.39 s之后系統(tǒng)已達到有限時間穩(wěn)定，故0.39 s之后不再發(fā)生事件觸發(fā)。同時每次事件觸發(fā)間隔均大于0，表明所提出的事件觸發(fā)方案有效地節(jié)省了系統(tǒng)的通信資源，也避免了Zeno現(xiàn)象的發(fā)生。圖5給出了三組參數(shù)下所設(shè)計的基于事件觸發(fā)方案下的占空比?？梢钥闯稣伎毡染谟邢迺r間內(nèi)達到一個恒定值。仿真結(jié)果表明，本文所提出的事件觸發(fā)控制方案不僅能夠很好的保證系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性，實現(xiàn)系統(tǒng)輸出電壓的有限時間跟蹤，還能有效地利用系統(tǒng)的通信資源，從而避免不必要的浪費。

圖4 事件觸發(fā)機制(β1=10)

圖5 占空比μ(t)

4 結(jié)束語

本文針對Buck型DC-DC變換器，提出了一種基于事件觸發(fā)的有限時間控制器設(shè)計方法。采用反步法設(shè)計了一種事件觸發(fā)機制和有限時間狀態(tài)反饋控制器。通過理論分析證明了所提出的控制方案在減少不必要的通信資源浪費的同時，也保證了Buck變換器的輸出電壓在有限時間內(nèi)收斂到給定的參考電壓，也證明了閉環(huán)系統(tǒng)不會存在Zeno現(xiàn)象。最后，仿真結(jié)果說明了本文所提出的控制方案的有效性。在未來工作中，我們將考慮把本文提出的事件觸發(fā)有限時間控制方案推廣到具有不確定參數(shù)或者負載未知的Buck變換器。