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        小圖形?大舞臺(tái)

        2022-05-30 03:51:52吳永鎮(zhèn)仰美英
        中國(guó)教師 2022年10期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)學(xué)生

        吳永鎮(zhèn)?仰美英

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,要加強(qiáng)數(shù)學(xué)的過(guò)程教學(xué),重視教學(xué)開(kāi)放式探究。教學(xué)中,教師應(yīng)為學(xué)生提供更多的機(jī)會(huì)和時(shí)間,讓學(xué)生嘗試和探究、討論和交流、歸納和總結(jié)、提問(wèn)和質(zhì)疑,促使學(xué)生的思維充分發(fā)展。運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)關(guān)注的一類重點(diǎn),數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題涉及絕對(duì)值、點(diǎn)與數(shù)、距離、追及、相遇等多種概念和關(guān)系,常以規(guī)律題、探究題的形式出現(xiàn),不僅是孕育數(shù)形結(jié)合思想方法的土壤,更是思維活躍的動(dòng)力場(chǎng)。由于數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性與層次性,學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)易產(chǎn)生思維障礙,難以突破。究其原因,在于學(xué)生對(duì)“數(shù)軸”這一工具的功能與價(jià)值認(rèn)識(shí)不深刻,運(yùn)用不充分。數(shù)軸是從客觀實(shí)際中抽象出來(lái)的一種基本數(shù)學(xué)模型。伴隨著數(shù)軸,初中數(shù)學(xué)出現(xiàn)了首次數(shù)(具有實(shí)際意義的量)形(具有幾何直觀的點(diǎn))結(jié)合。數(shù)軸不僅能直觀地解釋正負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值等相關(guān)概念和加、減、乘、除等運(yùn)算法則、規(guī)律,而且是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的工具?;诖?,在2021年浙江省教師培訓(xùn)平臺(tái)項(xiàng)目“初中數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)策略”暨義烏市初中數(shù)學(xué)陳建新名師工作室活動(dòng)中,筆者執(zhí)教了一節(jié)拓展課“數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”,借助顯性的數(shù)學(xué)工具,闡述如何利用小圖形呈現(xiàn)思維的大舞臺(tái)。

        一、知識(shí)概述

        在學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后,教材安排了數(shù)軸的相關(guān)內(nèi)容。一方面,幫助學(xué)生在拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)建立數(shù)學(xué)模型的概念,為以后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ);另一方面,能讓學(xué)生在感受數(shù)形結(jié)合的過(guò)程中,初步體驗(yàn)圖形思維?;诖?,本節(jié)課筆者以點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題為例,主要圍繞兩類數(shù)學(xué)知識(shí)展開(kāi)教學(xué),一是兩點(diǎn)間的距離公式:AB= | a—b | = | b—a |;二是點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律:一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a,向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為a—b,向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為a+b。以上述主要知識(shí)為核心,由淺入深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜,把知識(shí)要點(diǎn)逐步滲透到教學(xué)活動(dòng)中,試圖讓學(xué)生學(xué)得更明白、掌握得更輕松。

        二、問(wèn)題探究

        如圖1,A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上,點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,點(diǎn)B表示的數(shù)為3。

        (1)A、B兩點(diǎn)間的距離是? ? ? ? ? ?;

        (2)甲從點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng),甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,經(jīng)過(guò)2秒后點(diǎn)甲對(duì)應(yīng)的數(shù)是? ? ? ? ? ;

        生1:AB的距離為3—(-2)=5,甲數(shù)為-2—1×

        2=-2—2=-4。

        師:參照上面的實(shí)例,一般的,數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離如何求?

        生2:數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于數(shù)軸右邊的數(shù)減去數(shù)軸左邊的數(shù)。

        生3:不清楚數(shù)軸上兩點(diǎn)的具體位置則可以用兩個(gè)數(shù)據(jù)減一減再添絕對(duì)值。

        變式1:甲從點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng),甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,經(jīng)過(guò)t秒后點(diǎn)甲對(duì)應(yīng)的數(shù)是? ? ? ? ? ?;

        變式2:甲從點(diǎn)A(A表示的數(shù)是a)向左運(yùn)動(dòng),甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,經(jīng)過(guò)t秒后點(diǎn)甲對(duì)應(yīng)的數(shù)是? ? ? ? ? ? ? (用含a的代數(shù)式表示)。

        該設(shè)計(jì)的目的是將特殊情景逐漸過(guò)渡到一般情景,從認(rèn)知規(guī)律的角度出發(fā)幫助學(xué)生有條理地思考、理解。

        (3)甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)向左運(yùn)動(dòng),甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,乙的速度是2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,求乙追上甲所用的時(shí)間。

        變式3:甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)向左運(yùn)動(dòng),甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,乙的速度是2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,求經(jīng)過(guò)幾秒乙和甲相距3個(gè)單位長(zhǎng)度。

        師:把變式3中的數(shù)據(jù)“3個(gè)單位長(zhǎng)度”改成“10個(gè)單位長(zhǎng)度”又如何解?解法跟變式3一樣嗎?

        生4:基本上一樣,但又有所區(qū)別。

        生5:由于變式A、B兩點(diǎn)之間原來(lái)的距離是5,所以有兩種情景。一種是乙沒(méi)有追上甲,另一種是乙追上了甲這兩種情況。而把“3”改成“10”則只有一種情況了,就是乙追上了甲。

        師:除了“10”,請(qǐng)?jiān)倥e一個(gè)只有一種情況的例子。為什么相距10個(gè)單位就只有一種情況?

        生6:可以是6、8等,當(dāng)給出的距離大于等于5時(shí),就只有一種情況了。

        師:什么時(shí)候需要考慮兩種情況,什么時(shí)候需要考慮一種情況呢?有什么規(guī)律嗎?

        生7:運(yùn)動(dòng)后甲、乙之間距離小于原來(lái)A、B之間距離時(shí)有兩種情況,否則就是一種情況。

        (4)甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)相向而行,甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,乙的速度是2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,求甲乙相遇點(diǎn)表示的數(shù)。

        (5)據(jù)上述情境,請(qǐng)自行改編題目并解答。

        杜威提倡“做中學(xué)”,使學(xué)校里獲得的知識(shí)與自身活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。從那些具有真正教育意義、有興趣的活動(dòng)中學(xué)習(xí),有助于學(xué)生的成長(zhǎng)和發(fā)展。

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不只是教師簡(jiǎn)單地傳授知識(shí),更是一個(gè)學(xué)生自主、主動(dòng)、積極探索的過(guò)程。通過(guò)變式,加大探索力度,提升思維層次,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)形成并完善知識(shí)體系,學(xué)會(huì)自學(xué)、學(xué)會(huì)整理、學(xué)會(huì)分類。

        學(xué)習(xí)知識(shí)的最佳途徑是自主發(fā)現(xiàn)。在自主探究中經(jīng)歷研究對(duì)象數(shù)學(xué)意義的建構(gòu),在不斷試錯(cuò)中形成思路并加深理解,這樣能夠減少枯燥、機(jī)械地重復(fù)性操作與模仿。引導(dǎo)學(xué)生在思考中擺脫數(shù)學(xué)知識(shí)與方法零散、碎片化的態(tài)勢(shì),將頭腦中多個(gè)孤立的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)組成微結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié),發(fā)動(dòng)學(xué)習(xí)動(dòng)力源,從而形成完整、有效、具體的知識(shí)宏結(jié)構(gòu)、方法的區(qū)塊鏈。本環(huán)節(jié)教師通過(guò)由特殊到一般層層深入的變式,以及“自主探究為主,教師講解為鋪”的教學(xué)方式,鼓勵(lì)學(xué)生自主探究點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)情況,把學(xué)習(xí)還給學(xué)生,把思考的時(shí)間交給學(xué)生,把做的機(jī)會(huì)留給學(xué)生,把糾錯(cuò)改正的空間留在課堂。

        三、拓展延伸

        已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn),分別代表-5、-2、2。兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行,甲的速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒。

        (1)多少秒后,甲到點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的距離和為8個(gè)單位長(zhǎng)度?

        解:設(shè)t秒后,甲到A、B、C的距離和為8個(gè)單位長(zhǎng)度。

        ∵d甲→A = td甲→B =? | t —3 | d甲→C =? | t —7 |

        ∴t+ | t —3 | + | t —7 |=8(對(duì)t以3和7為臨界值分類討論)

        ∴t1=2∴t2=4

        (2)若乙的速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇?

        解:設(shè)經(jīng)過(guò)t秒相遇。

        ∵-5+ t=2—2t ∴t=

        ∴相遇點(diǎn):-5+1×=-

        (3)在(1)(2)的條件下,當(dāng)甲到A、B、C的距離和為8個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),甲調(diào)頭返回。甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎?若能,求出相遇點(diǎn);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。

        ①t1=2

        設(shè)經(jīng)x秒相遇,∵-3—x =-2—2x

        ∴x =1

        ∴相遇點(diǎn):-3—1×1=-4

        ②t1=4 甲、乙不能相遇

        在數(shù)軸上的相遇點(diǎn)就是甲、乙經(jīng)過(guò)t秒所表示的點(diǎn),可以利用是同一個(gè)點(diǎn)來(lái)尋找等量關(guān)系,同時(shí)在解決含絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)應(yīng)用分類思想,引導(dǎo)學(xué)生在遇到較為抽象的問(wèn)題時(shí)借助圖示的方法和方程的模型解決。以此加強(qiáng)新舊知識(shí)聯(lián)系,滲透數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生學(xué)到的知識(shí)更全面、更徹底,也符合循序漸進(jìn)的教學(xué)原則。

        具體情境產(chǎn)生問(wèn)題導(dǎo)向,動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生分類、分段導(dǎo)向。本題中的情境較為復(fù)雜,主要涉及點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)、離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離如何表示等。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)直接從某一個(gè)固定點(diǎn)出發(fā)時(shí),動(dòng)點(diǎn)離開(kāi)該固定點(diǎn)的距離只要考慮一種情況,而動(dòng)點(diǎn)從某一個(gè)固定點(diǎn)的一側(cè)運(yùn)動(dòng)到另一側(cè)時(shí),則需要考慮兩種運(yùn)動(dòng)情況,進(jìn)行分類討論。進(jìn)一步將運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從“單點(diǎn)單向”的基礎(chǔ)上拓展延伸到“雙點(diǎn)雙向”,將學(xué)生的思考不斷引向深入。本節(jié)內(nèi)容的授課對(duì)象是由具體形象思維向邏輯抽象思維過(guò)渡的初一學(xué)生,對(duì)幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的認(rèn)知還處在萌芽階段,學(xué)習(xí)上存在困難。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)有利于學(xué)生感受分類的必要性、理解分類的相關(guān)要素,并敢于在一些思維含量較大的問(wèn)題的解決過(guò)程中嘗試分類,循序漸進(jìn)地展開(kāi)學(xué)習(xí)。

        四、學(xué)以致用

        在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來(lái)一快一慢兩列火車,快車長(zhǎng)AB=2(單位長(zhǎng)度),慢車長(zhǎng)CD=

        4(單位長(zhǎng)度)。設(shè)正在行駛途中的某一時(shí)刻如圖5,以兩車之間的某點(diǎn)O為原點(diǎn),取向右方向?yàn)檎较虍嫈?shù)軸,此時(shí)快車頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10,慢車頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是14。若快車AB以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速繼續(xù)行駛,同時(shí)慢車CD以

        個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速繼續(xù)行駛。

        (1)求此時(shí)刻快車頭A與慢車頭C之間相距多少單位長(zhǎng)度?

        A、C之間的距離:14—(-10)=14+10=24

        (2)從此時(shí)刻開(kāi)始算起,再行駛多少秒兩列火車行駛到車頭A、C相距8個(gè)單位長(zhǎng)度?

        生1:設(shè)經(jīng)過(guò)t秒鐘兩列火車行駛到車頭A、C相距8個(gè)單位長(zhǎng)度。

        Q:∵t+8+t=24∴t=16∴t=

        師:該題解答完整了嗎?請(qǐng)兩位同學(xué)現(xiàn)場(chǎng)演示。

        演示起始位置: 同學(xué)1←—24—→同學(xué)2(兩位同學(xué)相距24個(gè)單位長(zhǎng)度)

        情況1:同學(xué)1←24—8→同學(xué)2(兩同學(xué)從相距24開(kāi)始相向而行,相遇前彼此相距8個(gè)單位)

        情況2:同學(xué)2←24+8→同學(xué)1(兩同學(xué)從相距24開(kāi)始相向而行,相遇過(guò)以后在拉開(kāi)8個(gè)單位)

        生2:Q:∵t+t—8=24 ∴t=32 ∴t=

        師:對(duì)于相向運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題,不僅要考慮相遇以前的情景,而且還要考慮相遇以后的情景。

        (3)此時(shí)在快車AB上有一位愛(ài)動(dòng)腦筋的七年級(jí)學(xué)生乘客P,他發(fā)現(xiàn)行駛中有一段時(shí)間t秒,他的位置P到兩列火車頭A、C的距離和加上到兩列火車尾B、D的距離和是一個(gè)不變的值(即PA+PC+PB+PD為定值)。學(xué)生P發(fā)現(xiàn)的這一結(jié)論是否正確?若正確,求出這個(gè)時(shí)間及定值;若不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由。

        師:在兩車行駛的過(guò)程中,P到哪些點(diǎn)的距離之和是始終不變的?

        演示:把講臺(tái)當(dāng)動(dòng)車,教師站在講臺(tái)邊,并來(lái)回走動(dòng),不要走出講臺(tái)的范圍。讓學(xué)生觀察教師到講臺(tái)兩邊沿距離之和是否會(huì)變。

        生1:不變。

        師:由此情景聯(lián)想到P到哪些點(diǎn)的距離之和不變?

        生2:由于P在快車上,則P到快車的頭、尾距離之和不變,即PA+PB不變。

        師:那么PC+PD什么時(shí)候也不會(huì)變呢?把“戒尺”當(dāng)成慢車,當(dāng)慢車經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí),P到“戒尺”兩端的距離會(huì)變嗎?

        生3:不變,說(shuō)明P的相對(duì)位置在“慢車”上,則PC+PD不變。

        建構(gòu)主義認(rèn)為,學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程是學(xué)習(xí)者建構(gòu)自己的知識(shí)的過(guò)程,學(xué)生不是被動(dòng)的信息吸收者。該環(huán)節(jié)通過(guò)變“點(diǎn)”為“線段”生成新的課堂資源,輔之以情景演示的方法,讓學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)點(diǎn)意義的理解過(guò)程,擴(kuò)大學(xué)生的思考范圍,提升學(xué)生的發(fā)散性思維。典型性、啟發(fā)性、漸進(jìn)性的問(wèn)題鏈實(shí)現(xiàn)了從一題多解到一題多變的過(guò)渡,較好地達(dá)成了拓展思維、輕負(fù)高效的目的。

        數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、高于生活、應(yīng)用于生活。在應(yīng)用問(wèn)題中創(chuàng)設(shè)實(shí)際探究情境,以師生自導(dǎo)自演的教學(xué)方式,呈現(xiàn)出恰當(dāng)?shù)乃夭摹W寣W(xué)生自己參與模擬場(chǎng)景的表演,既直觀形象,又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,同時(shí)還讓數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化,不拘泥于形式,追求“生活味”與“數(shù)學(xué)味”的統(tǒng)一。

        數(shù)學(xué)教育的應(yīng)然理念與課堂教學(xué)的操作觀念正在不斷深入人心和創(chuàng)新發(fā)展,數(shù)學(xué)教師始終繞不開(kāi)一個(gè)核心問(wèn)題—究竟什么樣的課堂教學(xué)才是良好的數(shù)學(xué)教學(xué)?筆者認(rèn)為,圍繞學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維發(fā)展,能用最簡(jiǎn)單的方法、最少的工具解決問(wèn)題的教學(xué)便是良好的數(shù)學(xué)教學(xué)。本節(jié)課用“數(shù)軸”工具解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)軸上“相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)”的橫向聯(lián)系、縱向拓展的過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)進(jìn)行反思、重構(gòu)、歸納、總結(jié),化抽象為具體,化煩瑣為簡(jiǎn)潔,提升學(xué)生聯(lián)想、歸納、演繹、建模等能力,不斷發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“量變”到“質(zhì)變”的飛躍,讓學(xué)生“跳得更高、走得更遠(yuǎn)”。

        本文系浙江省金華市教育科學(xué)規(guī)劃2021年度研究課題“生本理念下課程育人實(shí)施路徑研究”(課題編號(hào):JB2021298)的階段性研究成果。

        (作者單位:1.浙江省義烏市北苑中學(xué);2.浙江省義烏市繡湖中學(xué))

        責(zé)任編輯:胡玉敏

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