李先兵

【摘要】 幾何最值是中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題之一，此類問題考查知識(shí)點(diǎn)豐富，綜合性強(qiáng)，而且具有一定的技巧性，備受命題者的追捧.今年來(lái)，為了遏制技巧，考查本質(zhì)，將幾何最值扭轉(zhuǎn)為用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.本文將利用二次函數(shù)求幾何最值問題進(jìn)行歸類，然后進(jìn)行分析求解，并給出了此類問題的解題策略.

【關(guān)鍵詞】 中考數(shù)學(xué);幾何最值;二次函數(shù)的性質(zhì)

利用二次函數(shù)求幾何最值只需充分運(yùn)用條件，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，如勾股定理，相似三角形，圖形的面積等尋求數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)造出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.現(xiàn)舉例說明.

1 求圖形面積的最值

例1 圖1

如圖1，銳角△ABD（AB

解 過M作MG⊥BD，MH⊥AC，垂足分別為G，H.

設(shè)AO=a，BO=b，

則BG=a+b2，

MG=a-b2.

因?yàn)椤袽半徑為5，

△ABO的面積為72，

所以a+b22+a-b22=52，ab2=72，

解之得a=7，b=1，

即AO=7，BO=1.

因?yàn)椤螪EF=∠DAB，

而∠DAB=∠DMG，

所以∠DMG=∠DEF.

又因?yàn)椤螪MG+∠MDG=90°，

所以∠DEF+∠MDG=90°.

所以∠EFD=90°，

所以△DEF∽△DMG，

所以EFFD=MGGD=34.

設(shè)EF=x，則

DF=43x，MF=5-43x.

所以△MEF面積=12×x×5-43x

=-23x2+52x，

所以當(dāng)x=158時(shí)，△MEF面積取得最大值7532.

注 關(guān)于幾何圖形面積最值問題，通常用二次函數(shù)的性質(zhì)解決.此題中的條件轉(zhuǎn)化可得該三角形恰好是直角三角形，這樣就更加堅(jiān)定了用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題的策略.

2 求線段長(zhǎng)度的最值

例2 圖2

如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為直徑，AD上存在點(diǎn)E，滿足AE=CD，連接BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BE與AD交于點(diǎn)G，連接CE，CG，若CE=BG，AD=2.求CG的最小值.

解 過點(diǎn)C作CH⊥BF于點(diǎn)H.

因?yàn)锽D為⊙O的直徑，

所以∠BAD=90°，

因?yàn)锳E=CD，

所以AB+DE=BC，

所以∠BEC=∠AGB.

所以∠CEF=∠BGD.

又因?yàn)镋C=BG，∠ECF=∠GBD，

所以△CFE≌△BDG.

所以BD=CF，∠CFH=∠BDA.

因?yàn)椤螧AD=∠CHF=90°，

所以△BAD≌△CHF.

所以FH=AD=2.

而AE=CD，

所以AD=EC，

所以BG=EC=AD=2.

因?yàn)锽D是直徑，

所以∠BCF=90°，

而CH⊥BF，

所以CH2=BH×HF.

設(shè)GH=x，則BH=2-x，

CH2=（2-x）×2=4-2x.

在Rt△CHG中，

CG2=CH2+GH2

=4-2x+x2

=x2-2x+4.

當(dāng)x=1時(shí)，CG2的最小值為3，

所以CG的最小值為3.

注 此問題求線段的最小值，一般都會(huì)理解為C點(diǎn)固定，然后去尋找G點(diǎn)的軌跡，此題的圖形較為復(fù)雜，很難直接得到其軌跡，進(jìn)入死胡同.回過頭來(lái)研究圖形發(fā)現(xiàn)，圖中的全等三角形比較多，這樣數(shù)量關(guān)系相對(duì)比較明確，我們就可以利用函數(shù)的思想，設(shè)其中一條線段的長(zhǎng)度為自變量，然后表達(dá)圖中的其他線段，不難發(fā)現(xiàn)此題的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到所求線段關(guān)于自變量的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

3 求圖形周長(zhǎng)的最值

例3

如圖3，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，等邊三角形DEF的頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在直角三角形的三邊上，求△DEF周長(zhǎng)的最小值.

解 過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，

因?yàn)椤鱀EF是等邊三角形

∠A=30°，

所以∠B=∠EDF=60°，

所以∠CDF=∠DEB，

DG=32BD，

因?yàn)镈E=DF，

所以△CDF≌△GED，

所以CF=DG.

設(shè)BD=x，則CD=1-x，

CF=DG=32x，

在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2，

所以DF2=（1-x）2+32x2=74x2-2x+1.

所以當(dāng)x=47時(shí)，DF最小，最小值為217，

故△DEF周長(zhǎng)的最小值為3217.

注 此問題初看起來(lái)應(yīng)該是想方設(shè)法將三角形的三邊利用圖形的變換轉(zhuǎn)移到一條折線，再利用化曲為直思想求得最小值，但是由于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的位置都不確定，操作起來(lái)很麻煩.過點(diǎn)D作DG⊥AB，△CDF≌△GED就顯而易見了.圖中的線段似乎都有一定的數(shù)量上的聯(lián)系了，于是選擇一條線段的長(zhǎng)度為自變量，所求量為因變量，建立等量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，問題即可迎刃而解.

4 求線段的積的最值

例4 圖4

如圖4，直線l：y=12x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以AB為直徑作⊙M，點(diǎn)P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O，A不重合），作PC⊥AB于C，連接BP并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D.連接OC，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OC×PD的最大值.

解 連接OD.

因?yàn)镻C⊥AB，

所以∠BCP=90°，

所以O(shè)，P，B，C四點(diǎn)共圓.

所以∠PBC=∠POC.

又因?yàn)椤螦OD=∠ABD，

所以∠AOD=∠AOC.

而∠BAO=∠BDO，

所以△ACO∽△DPO.

所以O(shè)COP=ACPD，

所以O(shè)C×PD=OP×AC.

設(shè)OP=t，則AP=8-t.

AC=AP×cos∠BAO

=（8-t）×845=255（8-t），

所以O(shè)C×PD

=OP×AC=t×255（8-t）

=255t（8-t），

所以當(dāng)t=4時(shí)，OC×PD取得最大值3255.

注 直接求兩條線段的乘積比較困難時(shí)，通常會(huì)根據(jù)線段成比例轉(zhuǎn)移線段.此題中對(duì)線段OC表達(dá)應(yīng)該是沒有問題的，但是對(duì)線段PD的表達(dá)卻顯得無(wú)從下手，這時(shí)自然會(huì)想到轉(zhuǎn)移線段的乘積.首先從感性思維的角度觀察OC和PD兩條線段分別放在哪兩個(gè)三角形中，而這兩個(gè)三角形看起來(lái)是相似的，不難看出△ACO與△DPO符合我們的想法，接下來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證.根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可得到∠BAO=∠BDO，只需再尋找一對(duì)角相等.目標(biāo)明確，思維順暢，完全避開了幾何最值的套路.