奚雯燕

【摘要】 絕對值是七年級上的內(nèi)容.數(shù)軸上表示一個數(shù)的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.從概念中可以獲知，絕對值是一個值，體現(xiàn)了代數(shù)的特征;絕對值表示一段距離，距離是幾何的內(nèi)容.因此絕對值是代數(shù)與幾何的結(jié)合體，可以實現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合在絕對值這個載體上得到了充分的詮釋.本文主要利用絕對值的幾何意義來快速解決某一類代數(shù)式最小值問題.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合;絕對值;最小值

1 供應(yīng)站問題

問題1 如圖1，在一條直線的流水線l上，有一臺機(jī)床A，旁邊有1名工人，現(xiàn)要在流水線上設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，建在哪里可使這名工人到它的距離最小？

分析 顯然P應(yīng)放在A處，距離最小，最小值為0.

問題2 如圖2，在一條直線的流水線l上，有兩臺機(jī)床A，B，每臺機(jī)床各有1名工人，現(xiàn)要在流水線上設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，建在哪里可使2名工人到它的距離之和最?。?/p>

分析 點A，B把直線分成3段，分別進(jìn)行比較.

①如圖3，當(dāng)點P在點A左側(cè)時，PA+PB>AB;

②如圖4，當(dāng)點P在點A，B之間時（包括A，B），PA+PB=AB;

③如圖5，當(dāng)點P在點B右側(cè)時，PA+PB>AB.

綜上所述，當(dāng)點P在線段AB上（包括端點），P到A，B兩點的距離和最小，最小值為AB長.

問題3 如圖6，在一條直線的流水線l上，有三臺機(jī)床A，B，C，每臺機(jī)床各有1名工人，現(xiàn)要在流水線上設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，建在哪里可使3名工人到它的距離之和最小？

分析 點A，B，C把直線分成4段，分別進(jìn)行比較.

①如圖7，當(dāng)點P在點A左側(cè)時，PA+PB+PC>AB+AC;

②如圖8，當(dāng)點P在點A，B之間時（包括A，B），PA+PB+PC≥AC，當(dāng)P與B重合時等號成立;

③如圖9，當(dāng)點P在點B，C之間時（包括B，C），PA+PB+PC≥AC，當(dāng)P與B重合時等號成立;

④如圖10，當(dāng)點P在點C右側(cè)時，PA+PB+PC>BC+AC.

0

綜上可知，當(dāng)點P在點B處時，P到A，B，C三點的距離和最小，最小值為AC長.

問題4 如圖11，在一條直線的流水線l上，有四臺機(jī)床A，B，C，D，每臺機(jī)床各有1名工人，現(xiàn)要在流水線上設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，建在哪里可使4名工人到它的距離之和最?。?/p>

1

分析 點A，B，C，D把直線分成5段，分別進(jìn)行比較.

①如圖12，當(dāng)點P在點A左側(cè)時，PA+PB+PC+PD>AB+AC+AD;

2

②如圖13，當(dāng)點P在點A，B之間時（包括A，B），PA+PB+PC+PD=（PA+PD）+（PB+PC）≥ AD+BC，當(dāng)P與B重合時等號成立;

3

③如圖14，當(dāng)點P在點B，C之間時（包括B，C），PA+PB+PC+PD=BC+AD;

4

④如圖15，當(dāng)點P在點C，D之間時（包括C，D），PA+PB+PC+PD=（PA+PD）+（PB+PC）≥AD+BC，當(dāng)P與C重合時等號成立;

5

⑤如圖16，當(dāng)點P在點D右側(cè)時，PA+PB+PC+PD>DA+DB+DC.

6

綜上可知，當(dāng)點P在線段BC上（包括端點B、C），P到A，B，C，D四點的距離和最小，最小值為BC+AD.

2 模型提煉

問題5 根據(jù)上述幾個問題的探索結(jié)果，若流水線l上有五臺機(jī)床，零件供應(yīng)站應(yīng)建在哪里？如果是六臺機(jī)床呢？

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分析 從問題1和問題3，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)流水線上有奇數(shù)個點時，供應(yīng)站建在最中間一個點，所以當(dāng)有五臺機(jī)床時，供應(yīng)站設(shè)置在第三臺機(jī)床處.從問題2和問題4，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)流水線上有偶數(shù)數(shù)個點時，供應(yīng)站設(shè)置在最中間一段上（包括兩個端點），所以當(dāng)有六臺機(jī)床時，供應(yīng)站設(shè)置在第三臺與第四臺機(jī)床之間，包括兩個機(jī)床.

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問題6 若在一條直線的流水線l上，有2n+1臺機(jī)床，n是正整數(shù)，每臺機(jī)床各有1名工人，現(xiàn)要在流水線上設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，建在哪里可使n名工人與它的距離之和最??？

分析 設(shè)從左至右機(jī)床依次是A1，A2，A3，…，A2n+1，當(dāng)n是正整數(shù)時，2n+1是奇數(shù)，P應(yīng)設(shè)置在“最中間”一點，即An+1處.

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問題7 若在一條直線的流水線l上，有2n臺機(jī)床，n是正整數(shù)，每臺機(jī)床各有1名工人，現(xiàn)要在流水線上設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，建在哪里可使n名工人與它的距離之和最小？

分析 設(shè)從左至右機(jī)床依次是A1，A2，A3，…，A2n，當(dāng)n是正整數(shù)時，2n是偶數(shù)，P應(yīng)設(shè)置在“最中間”一段，即線段AnAn+1上，包括兩個端點.

0

模型 一條直線l上從左至右有A1，A2，A3，…，An這n個點，在直線l上取點P，要使得P到這n個點的距離之和最小，P點應(yīng)設(shè)置在直線l的“最中間”處.

注 這個“最中間”是相對n個點講的，類似于找中位數(shù)的方法.若n是奇數(shù)，“最中間”就是第n+12個點，即點An+12;若n是偶數(shù)，“最中間”就是第n個和第n+1個這兩個點之間的部分，即線段AnAn+1，包括兩個端點.

3 幾個絕對值的和

數(shù)軸上點A，B分別表示a，b，則AB=|a-b|;反之|a-b|的意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點之間的距離.特別是后半句，實現(xiàn)了代數(shù)問題向幾何問題的轉(zhuǎn)化，這樣的轉(zhuǎn)化可以快速解決某類問題.

問題8 求|x-1|+|x-2|的最小值，并說出此時x滿足的條件.

分析 |x-1|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點與表示1的點之間的距離，|x-2|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點與表示2的點之間的距離.也就是數(shù)軸上有兩個定點A，B，分別表示1和2，現(xiàn)在要找一個點P，使得P到A，B兩點的距離之和最小.按照模型，兩個定點的“最中間”就是線段AB，當(dāng)點P放在線段AB上，即1≤x≤2時P點到A，B兩點距離之和最小，最小值就是線段AB的長，最小值為1.

問題9 求|x+1|+|x-2|+|x-4|的最小值，并說出此時x滿足的條件.

分析 |x+1|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點與表示-1的點之間的距離，|x-2|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點與表示2的點之間的距離，|x-4|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點與表示4的點之間的距離.也就是數(shù)軸上有三個定點A，B，C，分別表示-1，2和4，現(xiàn)在要找一個點P，使得P到A，B，C三點的距離之和最小.按照模型，三個定點的“最中間”就是點B，當(dāng)點P放在點B處，即x=2時點P到A，B，C三點的距離之和最小，最小值就是線段AC的長，最小值為5.

問題10 求2|x+1|+|x-2|+|x-4|的最小值，并說出此時x滿足的條件.

分析 2|x+1|+|x-2|+|x-4|=|x+1|+|x+1|+|x-2|+|x-4|.

數(shù)軸上有四個定點A，B，C，D，分別表示-1，-1，2和4，現(xiàn)在要找一個點P，使得P到A，B，C，D四點的距離之和最小.按照模型，四個定點的“最中間”就是線段BC，當(dāng)點P放在線段BC上，即-1≤x≤2時點P到A，B，C，D四點的距離之和最小，最小值為BC+AD=8.

結(jié)論1 |x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|（a1≤a2≤a3≤…≤an）：

（1）若n為奇數(shù)，則當(dāng)x=an+12時（取中心點），代數(shù)式的值最小;

（2）若n為偶數(shù)，則當(dāng)an2≤x≤an2+1時（取中心區(qū)域），代數(shù)式的值最小.

證明 （1）當(dāng)n=2k-1時，k為正整數(shù)

|x-a1|+|x-a2k-1|≥a2k-1-a1，

當(dāng)a1≤x≤a2k-1時，等號成立;

|x-a2|+|x-a2k-2|≥a2k-2-a2，

當(dāng)a2≤x≤a2k-2時，等號成立;

…

|x-ak-1|+|x-ak+1|≥ak+1-ak-1，

當(dāng)ak-1≤x≤ak+1時，等號成立;

|x-ak|≥0，當(dāng)x=ak時，等號成立.

把這k個式子相加得，

|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a2k-1|≥a2k-1+a2k-2+…+ak+1-a1-a2-1…-ak-1（*）

當(dāng)a1≤x≤a2k-1，a2≤x≤a2k-2，…，ak-1≤x≤ak+1，x=ak同時成立時，（*）取等號，即最小值，此時x=ak=an+12.

（2）當(dāng)n=2k時，k為正整數(shù)

|x-a1|+|x-a2k|≥a2k-a1，

當(dāng)a1≤x≤a2k時，等號成立;

|x-a2|+|x-a2k-1|≥a2k-1-a2，當(dāng)a2≤x≤a2k-1時，等號成立;

…

|x-ak|+|x-ak+1|≥ak+1-ak，當(dāng)ak≤x≤ak+1時，等號成立.

把這k個式子相加得，

|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a2k|≥a2k+a2k-1+…+ak+1-a1-a2-…-ak（*）

當(dāng)a1≤x≤a2k，a2≤x≤a2k-1，…，ak≤x≤ak+1同時成立時，（*）取等號，即最小值，此時ak≤x≤ak+1（an2≤x≤an2+1）.

問題11 求12x+1+13x-2的最小值，并說出此時x滿足的條件.

分析 12x+1+13x-2=12|x+2|+13|x-6|=16（3|x+2|+2|x-6|）.只要求出3|x+2|+2|x-6|的最小值，問題就能解決了.

按照問題10的思路，3|x+2|+2|x-6|=|x+2|+|x+2|+|x+2|+|x-6|+|x-6|，數(shù)軸上有五個定點A，B，C，D，E，分別表示

-2，-2，-2，6和6.

按照模型，五個定點的“最中間”就是點C，當(dāng)點P放在點C處，即x=-2時點P到A，B，C，D，E五點的距離之和最小，最小值為

BD+AE=16.

于是12x+1+13x-2的最小值為83.

結(jié)論2 對于求代數(shù)式|b1x-a1|+|b2x-a2|+|b3x-a3|+…+|bnx-an|的最小值問題，我們先將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為特殊形式d（|x-c1|+|x-c2|+|x-c3|+…+|x-cm|）（c1≤c2≤c3≤…≤cm），然后通過結(jié)論1所述方法求解.

4 解決問題

某公司員工分別住在A，B，C三個住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C區(qū)有10人.三個區(qū)在一條直線上，位置如圖21所示.公司打算在其間只設(shè)一個?？奎c，要使所有員工步行到?？奎c的路程總和最少，那么停靠點的位置應(yīng)在哪里？

1

分析 此問題可以轉(zhuǎn)化為幾個絕對值和的最小問題.將這條直線看作數(shù)軸，A為原點，100米為一個單位長度，則B表示100，C表示300，?？奎c表示數(shù)x，路程和表示為

|x|+…+|x|30個+

|x-100|+…+|x-100|15個+

|x-300|+…+|x-300|10個.

因為0≤…≤030個≤100≤…≤10015個≤300≤…≤30010個，55個數(shù)“最中間”是第28個數(shù)0，因此所以當(dāng)停靠點設(shè)在點A處，可使距離和最小，最小值為

15×100+10×300=4500米.

注 ?？空窘ㄔ谀睦?，只和點的個數(shù)有關(guān)，與相鄰點之間的距離無關(guān).