劉光華 吳高敏

【摘要】 有限的網(wǎng)格將核心數(shù)學(xué)知識及豐富的數(shù)學(xué)原理融入其中，架起了數(shù)學(xué)思考與問題解決之間的橋梁.提高實踐能力.幾何變換是解決幾何作圖問題的常見思路與方法，靈活運用網(wǎng)格中豐富的“數(shù)形”關(guān)系是發(fā)現(xiàn)、解決問題的關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】 格點;格線;平移;畫圖

網(wǎng)格背景下的無刻度直尺畫圖問題因其結(jié)構(gòu)簡單，形式新穎，設(shè)計巧妙，從而引起了眾多地區(qū)中考命題者及一線教師、學(xué)生的關(guān)注.有限的網(wǎng)格將核心數(shù)學(xué)知識及豐富的數(shù)學(xué)原理融入其中，架起了數(shù)學(xué)思考與問題解決之間的橋梁.下面我們從平移變換的方法來探討幾種常見網(wǎng)格背景下的無刻度直尺畫圖.

問題 以下題的圖形都是由邊長為1的小正方組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，組成網(wǎng)格的每一條線叫做格線.圖中有A，B，C三點.請用無刻度的直尺按要求完成畫圖，畫圖過程用虛線，畫圖結(jié)果用實線.

1 畫線段的平移

平移線段AB到CD，使點A的對應(yīng)點為C，B的對應(yīng)點為D，畫出線段CD.

例1 如圖1，點A，B，C均在格點上.

畫法如圖2，點A，B，C均在格點上，觀察發(fā)現(xiàn)，點A向右平移3格再向下平移1格到對應(yīng)點C，所以將點B也向右平移3格再向下平移1格到對應(yīng)點D，連CD即可.

例2 如圖3，點A，B在格點上，點C在網(wǎng)格線上.

畫法如圖4，點C在網(wǎng)格線上，點C與點A，B的水平距離是確定的，連接BC，交縱向的網(wǎng)格線于點O，因為BC之間有3條縱向相互平行的格線，且它們之間的水平距離均為1，由平行線等分線段定理可知，點O為BC的中點.連接AO并延長，交最右側(cè)縱向網(wǎng)格線于點D，則四邊形ACDB為平行四邊形，CD即為所求作線段.

例3 如圖5，點A，B，C均在網(wǎng)格線上.

畫法如圖6，點A，B，C均在三條縱向的網(wǎng)格線上，三點之間的水平距離是確定的，連接BC，交縱向的網(wǎng)格線于點O，因為B，C之間有3條縱向相互平行的格線，且它們之間的水平距離均為1，由平行線等分線段定理可知，點O為BC的中點.連接AO并延長，交最右側(cè)縱向網(wǎng)格線于點D，連CD即可.

當(dāng)網(wǎng)格中的點在格線上時，只有這幾個點同時在橫向格線上或縱向格線上，它們的垂直距離或水平距離才可以確定，在滿足一定條件時就可以利用格線構(gòu)造出平行四邊形，畫出平移后的對應(yīng)線段.

2 利用平移畫垂線

例4 如圖7，點A，B，C均在格點上，過點C畫線段CD⊥AB.

畫法如圖8，利用格點中“一線三垂直”模型，取格點E畫BE⊥AB，將線段BE沿水平方向向左平移1格到CD，則CD⊥AB（也可以利用三角形全等關(guān)系直接取格點D畫出CD⊥AB）.

例5 如圖9，點A，B在格點上，C在網(wǎng)格線上，過點C畫線段CD⊥AB.

畫法如圖10，類比例4先利用格點中的“一線三垂直”模型，取格點E作BE⊥AB，要畫CD⊥AB，只需過點C畫CD∥BE，即平移線段BE到CD即可.由于點C在縱向的網(wǎng)格線上，連接CE，交C，E之間縱向網(wǎng)格線于點O，連接BO并延長，交點E所在縱向網(wǎng)格線于點D，連CD即可.

過已知點作格點線段（端點都在格點上）的垂線，可以先以該線段的一個端點借助“一線三垂直”模型作一條線段與它垂直（也可以理解為將格點線段繞端點旋轉(zhuǎn)90°），再通過將垂線段平移分步完成畫圖.

3 畫對稱

例6 如圖11，點A，B，C均在格點上，作點C關(guān)于AB的對稱點D.

1圖12

畫法如圖12，由軸對稱的性質(zhì)可知，點C關(guān)于AB的對稱點D滿足CD⊥AB，且點C，D到AB的距離相等.同上述方法先取格點E作BE⊥AB，再平移BE到CF，則有CF⊥AB.將線段AB向左平移1格到HG，交CF于點D，由平行線等分線段定理可知，點C，D到AB的距離相等.所以點D即為所求對稱點.

網(wǎng)格中的軸對稱畫圖一般在格點及格點線段中進行，它綜合了過已知點作格點線段的垂線及線段的平移等畫圖方法，在實際畫圖中可以拆解后分步進行.

幾何變換是解決幾何作圖問題的常見思路與方法，靈活運用網(wǎng)格中豐富的“數(shù)形”關(guān)系是發(fā)現(xiàn)、解決問題的關(guān)鍵.通過平移變換能構(gòu)造出有利于發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，綜合運用數(shù)學(xué)相關(guān)知識，從而實現(xiàn)問題的有效解決.