朱德云

由命題A可推出命題B，反之，由命題B亦可推出命題A，稱為A與B等價(jià).數(shù)學(xué)解題就是將數(shù)學(xué)問題不斷轉(zhuǎn)化的過程，但要保證問題的等價(jià)性，稍有疏忽，往往致錯(cuò).

例1 若二次方程x2-2ax+a2-4=0僅有一個(gè)正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解 因?yàn)槎畏匠虄H有一正根，所以方程另一根必為0或負(fù)數(shù)，從而有x1·x2≤0.

由Δ=（-2a）2-4（a2-4）w≥0，x1·x2=a2-4≤0.

解得-2≤a≤2.

剖析 當(dāng)a=-2時(shí)，原方程變?yōu)閤2+4x=0，它的兩根x1=0，x2=-4不合題意.錯(cuò)誤原因在于x1·x2≤0并不能保證方程僅有一正根.

正確解法 因?yàn)槎畏匠虄H有一正根，所以方程另一根必為0或負(fù)數(shù)：

（1）當(dāng)方程另一根為0時(shí)，有

Δ=（-2a）2-4（a2-4）>0，x1+x2=2a>0，x1·x2=a2-4=0，

解得a=2.

（2）當(dāng)方程另一根為負(fù)數(shù)時(shí)，有

Δ=（-2a）2-4（a2-4）>0，x1·x2=a2-4<0.

解得-2

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

-2

例2 定義：若實(shí)數(shù)x，y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t為常數(shù)，則稱點(diǎn)M（x，y）為“線點(diǎn)”.例如，點(diǎn)（0，-2）和（-2，0）是“線點(diǎn)”.在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（m，n）是“線點(diǎn)”，試用含t的代數(shù)式表示mn.

錯(cuò)解 因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）是“線點(diǎn)”，

所以m2=2n+t，①

n2=2m+t.②

①-②，得 （m+n）（m-n）=2（n-m），

由題意知m≠n，

所以m+n=-2.

①×②，并整理得

m2n2=4mn-4t+t2，

解得mn=t或mn=-t+4.

正確解法

因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）是“線點(diǎn)”，

所以m2=2n+t，①

n2=2m+t.②

①-②，得

（m+n）（m-n）=2（n-m），

由題意知m≠n，

所以m+n=-2.

①+②，得

m2+n2=2（m+n）+2t，

（m+n）2-2mn=2（m+n）+2t，

即（-2）2-2mn=2×（-2）+2t.

解得mn=4-t.

剖析 上述兩種解法在推理論證中似乎都正確無誤，但為什么答案不同呢？mn究竟有幾個(gè)結(jié)果呢？

錯(cuò)解產(chǎn)生了一個(gè)不易察覺的不合題意的解（增解）.

當(dāng)mn=t，m+n=-2時(shí)，代入①得

m2=-n（m+n）+mn，

m2+n2=0.

所以m=n=0.

所以m+n=0，這與m+n=-2相矛盾，

所以滿足m2=2n+t，n2=2m+t，mn=t的實(shí)數(shù)m，n不存在，mn=t不合題意，舍去.

喜歡刨根究底的讀者可能會(huì)想：為什么正確解法沒有出現(xiàn)增解，錯(cuò)解卻產(chǎn)生增解，增解從何而來？

原來，由m2=2n+t，n2=2m+t可以推得

m2-n2=2n-2m，m2+n2=2m+2n+2t，

反過來，由m2-n2=2n-2m，m2+n2=2m+2n+2t，也可以推得

m2=2n+t，n2=2m+t.

因此m2-n2=2n-2m，m2+n2=2m+2n+2t與m2=2n+t，n2=2m+t等價(jià)，

故正確解法不會(huì)出現(xiàn)增解.

由m2=2n+t，n2=2m+t可以推得

m2-n2=2n-2m，m2n2=（2m+t）（2n+t），

反過來，由m2-n2=2n-2m，m2n2=（2m+t）（2n+t），可以推得

m2=2n+t，n2=2m+t或m2=-2m-t，n2=-2n-t（請(qǐng)讀者自己推導(dǎo)）.

因此m2-n2=2n-2m，m2n2=（2m+t）（2n+t）與m2=2n+t，n2=2m+t不等價(jià).

當(dāng)兩個(gè)不等實(shí)數(shù)m，n滿足m2=-2m-t，n2=-2n-t時(shí)，可知m，n是方程z2=-2z-t的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，于是有mn=t，這正是錯(cuò)解產(chǎn)生的增解.