洪聯(lián)平

【摘要】 順次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)，把形成的新四邊形稱為中點(diǎn)四邊形.中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的兩條對(duì)角線是否相等與垂直來決定.本文主要探究原四邊形的兩條對(duì)角線既不相等又不垂直;互相垂直;相等;既相等又垂直這四種情況下中點(diǎn)四邊形的形狀.

【關(guān)鍵詞】 原四邊形;中點(diǎn)四邊形;對(duì)角線;相等;垂直;形狀

問題 已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，順次連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到中點(diǎn)四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）.

（1）四邊形EFGH的形狀是;證明你的結(jié)論.

（2）當(dāng)AC，BD滿足時(shí)，四邊形EFGH是菱形;

（3）當(dāng)AC，BD滿足時(shí)，四邊形EFGH是矩形;

（4）當(dāng)AC，BD滿足時(shí)，四邊形EFGH是正方形.

解 （1）結(jié)論：四邊形EFGH是平行四邊形;

證明連接AC，BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，

所以EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，

所以EH∥FG，

同理GH∥EF，

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

（2）當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形.因?yàn)橛桑?）得四邊形EFGH是平行四邊形，

因?yàn)镠G=12AC，EH=12BD，

所以EH=GH，

所以四邊形EFGH是菱形;

故答案為AC=BD.

（3）當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形.因?yàn)橛桑?）得四邊形EFGH是平行四邊形，

因?yàn)锳C⊥BD，

EH∥BD，EF∥AC，

所以EF⊥EH，

所以∠FEH=90°，

所以四邊形EFGH是矩形.

故答案為AC⊥BD.

（4）當(dāng)AC⊥BD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形.因?yàn)锳C⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形，AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形，所以四邊形EFGH是正方形.

故答案為AC⊥BD，AC=BD.

歸納總結(jié)

原四邊形的形狀中點(diǎn)四邊形的形狀

任意四邊形平行四邊形平行四邊形

兩條對(duì)角線相等的四邊形（包括距形和等腰梯形）菱形

兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形（包括菱形）矩形

兩條對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形（包括正方形）正方形

應(yīng)用

例1 順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所組成的中點(diǎn)四邊形是（）

（A）平行四邊形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）任意四邊形.

解 原四邊形為任意四邊形，兩條對(duì)角線既不垂直也不相等，所以它的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形，故選（A）.

例2 順次連接菱形各邊中點(diǎn)所組成的中點(diǎn)四邊形是（）

（A）正方形. （B）矩形.

（C）菱形.（D）等腰梯形.

解 原四邊形為菱形，菱形對(duì)角線互相垂直但不相等，所以它的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形，再加鄰邊互相垂直，所以是矩形.

故選（B）.

例3 順次連接矩形各邊中點(diǎn)所組成的中點(diǎn)四邊形是（）

（A）平行四邊形. （B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 原四邊形為距形，矩形對(duì)角線相等但不垂直，所以它的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形，再加鄰邊相等，所以是菱形.

故選（C）.

例4 順次連接對(duì)角線互相垂直的等腰梯形的各邊中點(diǎn)所組成的中點(diǎn)四邊形是（）

（A）平行四邊形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 原四邊形為對(duì)角線互相垂直的等腰梯形，等腰梯形對(duì)角線相等再加上垂直，所以它的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形，再加鄰邊相等與鄰邊垂直，所以是正方形.

故選（D）.

例5 順次連接正方形的各邊中點(diǎn)所組成的中點(diǎn)四邊形是（）

（A）平行四邊形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 原四邊形為對(duì)角線相等且互相垂直的正方形，所以它的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形，再加鄰邊相等與鄰邊垂直，所以是正方形.

故選（D）.