鮑永葆 王永慶

【摘要】 要在復(fù)雜的幾何圖形中快速找到解題思路，我們平時要掌握一些基本圖形的性質(zhì)，它能為我們解決問題提供簡便的方法.

【關(guān)鍵詞】 基本圖形

為了提高幾何的解題速度，我們平時解題時要掌握一些基本圖形.例如兩條線段相交構(gòu)成的“”字型.

因為

∠A+∠B+∠AOB=180°，

∠C+∠D+∠COD=180°，

又因為∠AOB=∠COD，

所以∠A+∠B=∠C+∠D.

若∠A=∠C，那么∠B=∠D.

利用這兩個結(jié)論，可以為我們的解題提供很大的方便.

例1 如圖2，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).

解 連接CD，可構(gòu)成基本圖形.

由∠B+∠E

=∠OCD+∠ODC，

所以 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D

=∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB

=∠A+∠ACD+∠ADC

=180°.

例2 如圖3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).

解 連接EF，可構(gòu)成基本圖形.

由∠A+∠D=∠OEF+∠OFE，

所以 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

=∠B+∠C+∠A+∠D+∠E+∠F

=∠B+∠C+∠OEF+∠OFE+∠CEA+∠BFD

=∠B+∠C+∠OEF+∠CEA+∠OFE+∠BFD

=∠B+∠C+∠CEF+∠BFE

=360°.

例3 已知△ABC，BE是∠ABC的角平分線，CE是外角∠ACD的角平分線.求證：∠E=12∠A.

證明 由AC與BE相交構(gòu)成基本圖形可知，

∠A+∠ABE=∠ACE+∠E，

又因為BE，CE分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，所以∠ABE=12∠ABC，

∠ACE=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）

=12∠A+12∠ABC.

所以∠A+12∠ABC=12∠A+12∠ABC+∠E，

即∠E=12∠A.

例4 在同一平面內(nèi)，四條線段AB，BC，CD，DA首尾順次相接，AD，BC相交于點O，AP，CP分別是∠BAD和∠BCD的角平分線，AP，CP分別與BC，AD相交于點M和N，∠B=α，∠D=β.

（1）若α=β時，判斷∠APC與α的大小關(guān)系，并說明理由.

（2）當(dāng)α≠β時，請寫出∠APC與α，β的數(shù)量關(guān)系.

解 （1）AD與BC相交構(gòu)成基本圖形.

所以∠B+∠BAO=∠D+∠DCO，

因為∠B=∠D，

所以∠BAO=∠DCO，

又因為PA，PC分別是∠BAO和∠DCO的角平分線，

所以∠1=∠2=12∠BAO，

∠3=∠4=12∠DCO，

所以∠1=∠2=∠3=∠4.

又因為AP與BC相交構(gòu)成基本圖形.

所以∠B+∠1=∠APC+∠3，

所以∠B=∠APC，

即∠APC=α.

（2）由∠B+∠BAO=∠D+∠DCO，

即∠B+2∠1=∠D+2∠3，①

由∠B+∠1=∠APC+∠3，兩邊同時乘以2得

2∠B+2∠1=2∠APC+2∠3，②

②-①得∠B=2∠APC-∠D，

即∠APC=12（∠B+∠D），

∠APC=12（α+β）.

例5 已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE=AD.EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，AF=AB.求證：BD⊥EC;

證明 因為四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，

所以∠EAF=∠DAB=90°，

又因為AE=AD，

AF=AB，

所以△AEF≌△ADB（SAS），

所以∠AEF=∠ADB，

又因為AD與EG相交構(gòu)成基本圖形.

所以∠AEF+∠EAF=∠FDG+∠DGF，

即∠EAF=∠DGF=90°，

故BD⊥EC.