王其淼

考題再現(xiàn)

例1 （2020·江蘇·揚(yáng)州）如圖1，已知點(diǎn)O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA = OB = OC = OD = 2，OC平分∠BOD，與BD交于點(diǎn)G，AC分別與BD，OD交于點(diǎn)E，F(xiàn).

（1）求證：OC[?]AD;

（2）如圖2，若DE = DF，求[AEAF]的值;

（3）當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)取最大值時(shí)，求[DEDF]的值.

考點(diǎn)剖析

1.知識(shí)點(diǎn)：本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.數(shù)學(xué)方法：構(gòu)造法.

學(xué)情分析

解題思路：（1）由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義證得∠ADO = ∠DOC，則可得出結(jié)論;

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EM[?]FD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證得∠M = ∠ADF = 45°，由直角三角形的性質(zhì)得出EM = [2]DE = [2]DF，由△AME ∽ △ADF，得出[AEAF] = [EMFD] = [2];

（3）設(shè)BC = CD = x，CG = m，則OG = 2 - m，由勾股定理得出4 - （2 - m）2 = x2 - m2，解得m = [14]x2，可用x表示四邊形ABCD的周長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出x = 2時(shí)，四邊形ABCD有最大值，得出∠ADF = ∠DOC = 60°，∠DAE = 30°，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案.

解：（1）∵AO = OD，∴∠OAD = ∠ADO.

∵OC平分∠BOD，∴∠DOC = ∠COB.

又∵∠DOC + ∠COB = ∠OAD + ∠ADO，

∴∠ADO = ∠DOC，∴OC[?]AD.

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EM[?]FD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

設(shè)∠DAC = α，∵CO[?]AD，∴∠ACO = ∠DAC = α，

∵AO = OC，∴∠OAC = ∠OCA = α.

∵OA = OD，∴∠ODA = ∠OAD = 2α.

∵DE = DF，∴∠DFE = ∠DEF = 3α.

∵AO = OB = OD，∴∠ADB = 90°，

∴∠DAE + ∠AED = 90°，即4α = 90°，

∴∠ADF = 2α = 45°，∴∠FDE = 45°，

∴∠M = ∠ADF = 45°，∴EM = [2]DE = [2]DF.

∵DF[?]EM，∴△AME ∽ △ADF，

∴[AEAF] = [EMFD] = [2].

（3）∵OD = OB，∠BOC = ∠DOC，OC = OC，

∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC = CD.

設(shè)BC = CD = x，CG = m，則OG = 2 - m，

∵OB2 - OG2 = BC2 - CG2，

∴4 - （2 - m）2 = x2 - m2，

解得m = [14]x2，∴OG = 2 - [14]x2，

∵OD = OB，∠DOG = ∠BOG，∴G為BD的中點(diǎn).

又∵O為AB的中點(diǎn)，∴AD = 2OG = 4 - [12]x2，

∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為BC + CD + AD + AB = 2x + 4 - [12]x2 + 4 = - [12]x2 + 2x + 8 = - [12]（x - 2）2 + 10，

∵- [12] < 0，∴x = 2時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)有最大值10，∴BC = 2，

∴△BCO為等邊三角形，∴∠BOC = 60°，

∵OC[?]AD，∴∠DAB = ∠COB = 60°，

∴∠ADF = ∠DOC = 60°，∠DAE = 30°，

∴∠AFD = 90°，∴[DEDA] = [33]，DF = [12]DA，

∴[DEDF] = [233].

拓展變形

例2 （2020·山東·德州）問(wèn)題探究：小紅遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖4，△ABC中，AB = 6，AC = 4，AD是中線，求AD的取值范圍. 她的做法是：延長(zhǎng)AD到E，使DE = AD，連接BE，證明△BED ≌ △CAD，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決.

請(qǐng)回答：

（1）小紅證明△BED ≌ △CAD的判定定理是：.

（2）AD的取值范圍是.

方法運(yùn)用：

（3）如圖5，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，使AE = EF，求證：BF = AC.

（4）如圖6，在矩形ABCD中，[ABBC] = [12]，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且[EFBE] = [12]，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EG = CG.

（作者單位：遼寧省大連市第九中學(xué)）