李中華 馬佳琳

考題再現(xiàn)

例1 （2020·遼寧·大連）如圖1，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，BE = CE，點(diǎn)G在線段CD上，CG = CA，GF = DE，∠AFG = ∠CDE.

（1）填空：與∠CAG相等的角是 ;

（2）用等式表示線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（3）若∠BAC = 90°，∠ABC = 2∠ACD（如圖2），求[ACAB]的值.

考點(diǎn)剖析

本文僅就第（2）問(wèn)進(jìn)行探究.

1. 知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理.

2. 思想方法：幾何直觀、構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法.

3. 基本圖形：

（1） 如圖3，在△ABC中，條件：D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn).

結(jié)論：DE = [12]BC.

（2）如圖4，在四邊形ABCD中，條件：O為AB中點(diǎn)，且DO[?]CB，點(diǎn)P，Q分別在AD，DO上，PQ = OC，BC = AP? + OQ.

結(jié)論：AD = QD.

學(xué)情分析

思路1：如圖5，在CG上取點(diǎn)M，使GM = AF，連接AM，EM，證明△AGM ≌ △GAF，得到AM = GF，∠AFG = ∠AMG，從而證明四邊形AMED為平行四邊形，得到AD = EM，AD[?]EM，最后利用中位線定理得到結(jié)論.

解法1：AD = [12]BD，理由是：

如圖5，在CG上取點(diǎn)M，使GM = AF，連接AM，EM，

∵∠CAG = ∠CGA，AG = GA，

∴△AGM ≌ △GAF（SAS），

∴AM = GF，∠AFG = ∠AMG.

∵GF = DE，∠AFG = ∠CDE，

∴AM = DE，∠AMG = ∠CDE，

∴AM[?]DE，∴四邊形AMED為平行四邊形，

∴AD = EM，AD[?]EM，

∵BE = CE，即點(diǎn)E為BC中點(diǎn).

∴點(diǎn)M為DC中點(diǎn)，

∴ME為△BCD的中位線，

∴ME = [12]BD，

即AD = [12]BD.

思路2：如圖6，在CD上取點(diǎn)N，使DN = AF，取CD中點(diǎn)M，連接EM，EN，證明△END ≌ △GAF，得到EN = GA，∠END = ∠GAF，從而證明△ADG ≌ △EMN，得到AD = EM，AD[?]EM，最后利用中位線定理得到結(jié)論.

解法2：如圖6，在CD上取點(diǎn)N，使DN = AF，取CD中點(diǎn)M，連接EM，EN.

∵AF = DN，∠AFG = ∠NDE，DE = GF，

∴△END ≌ △GAF，

∴EN = GA，∠END = ∠GAF = ∠AGC，

∴∠AGD = ∠ENM，

∵點(diǎn)E，M分別為BA，CD的中點(diǎn)，

∴EM為△CBD的中位線，

∴EM = [12]BD，EM∥BD，

∴∠ADG = ∠EMN，

∴△ADG ≌ △EMN，

∴AD = EM = [12]BD.

即AD = [12BD].

勤于積累

本問(wèn)是一道三角形綜合證明題，考查同學(xué)們的幾何直觀能力和推理能力等核心素養(yǎng).思路1的關(guān)鍵在于根據(jù)題意構(gòu)造平行四邊形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化已知條件;思路2的關(guān)鍵在于構(gòu)造與△GAF全等的三角形，其復(fù)雜之處在于兩次證明全等.

本問(wèn)有多種解題思路，除了由“一邊一角”構(gòu)造全等、平行四邊形來(lái)解決外，還可以由全等 + 相似、“中線倍長(zhǎng)”或三角形中位線來(lái)解決.

通過(guò)上述剖析，我們可以發(fā)現(xiàn)添加輔助線構(gòu)造模型在幾何問(wèn)題中的重要性.當(dāng)題中滿足“一邊等、一角等”的條件時(shí)，可以考慮三角形全等的條件，構(gòu)造出一條邊，形成“SAS”全等，也可以構(gòu)造出一個(gè)角度，形成“AAS”或“ASA”全等. “一邊一角”構(gòu)造全等實(shí)際上是在“已知條件”或者“所求結(jié)論”中先找出有關(guān)系的線段，然后在線段的一端上找出有關(guān)系的角，將“一邊一角”放到一個(gè)三角形中，構(gòu)造另外一個(gè)三角形與其全等.由“一邊一角”構(gòu)造全等是一種常用的解題思路，同學(xué)們要注意掌握.

拓展變形

例2 如圖7所示，平行四邊形ABCD和平行四邊形CDEF有公共邊CD，邊AB和EF在同一條直線上，AC⊥CD且AC = AF，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，交CF于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，連接EG.

求證：BC = AG + EG.

證明：如圖8所示，在AD上取一點(diǎn)M，使得AM = AG，連接CM.

∵四邊形ABCD、四邊形EFCD都是平行四邊形，

∴AB = CD = EF，AD = BC，AD[?]BC，AB[?]CD.

∵AH⊥BC，∴AH⊥AD.

∵AC⊥AB，∴∠BAC = ∠GAM = 90°，

∴∠FAG = ∠CAM.

∵AF = AC，AG = AM，

∴△FAG ≌ △CAM（SAS），

∴∠ACM = ∠AFG = 45°，F(xiàn)G = CM.

∵∠ACD = ∠BAC = 90°，∴∠MCD = 45° = ∠EFG.

∵EF = CD，F(xiàn)G = CM，

∴△EFG ≌ △DCM（SAS），

∴EG = DM，

∴AG + EG = AM + DM = AD = BC.

即BC = AG + EG.

（作者單位：遼寧教育學(xué)院 沈陽(yáng)師范大學(xué)）