張羿

在今天安哥拉東北部一個(gè)叫隆達(dá)（Lunda）的地方，生活著一個(gè)神秘的族群。大約在1600年前，這個(gè)族群遷徙到安哥拉，以流入贊比西河的隆圭本古（Lungwe-Bungo）支流的名字給自己取了名字——紹奎人（Chokwe）。根據(jù)紹奎人的傳統(tǒng)，婦女從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，男人外出狩獵。工匠們忙于煉鐵、繪畫(huà)、雕塑、制作家具、編織墊子籃子。他們的藝術(shù)水平高度完美。此外，他們還擁有一門獨(dú)特的沙畫(huà)藝術(shù)——索納（Sona）。

當(dāng)紹奎人在村莊里或狩獵營(yíng)地聚會(huì)時(shí)，他們圍坐在篝火旁邊或枝繁葉茂的樹(shù)蔭下，一邊講故事，一邊在沙地上畫(huà)畫(huà)。這些沙畫(huà)即是“索納”。它是一種古老的傳統(tǒng)，它描繪的是諺語(yǔ)、寓言、游戲、謎語(yǔ)、動(dòng)物等。在知識(shí)和智慧代代相傳的過(guò)程中，索納發(fā)揮著重要作用。

男孩在學(xué)校接受教育期間，就會(huì)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的索納畫(huà)法和意義。更難的索納只有那些說(shuō)書(shū)人知道，他們是真正的索納畫(huà)家。這些畫(huà)家會(huì)把關(guān)于索納的畫(huà)法技術(shù)傳給他們的男性后代。在紹奎人的社會(huì)中，他們很受尊敬，屬于紹奎社會(huì)的精英階層。

為了便于記憶標(biāo)準(zhǔn)化的沙畫(huà)，索納畫(huà)家首先用手指在沙地上等距地戳洞，形成點(diǎn)陣，如圖1。

接著，畫(huà)家會(huì)繞著這些點(diǎn)畫(huà)線，最終形成圖案。通常情況下，圖形是由一條或多條線組成的，這些線會(huì)把每個(gè)點(diǎn)都包圍起來(lái)。圖2展示了畫(huà)線的過(guò)程。

點(diǎn)陣的行列數(shù)以及畫(huà)線的規(guī)則都取決于要表現(xiàn)的主題。畫(huà)家們只需記住點(diǎn)陣的行列數(shù)和畫(huà)線的規(guī)則就能快速完成一幅索納作品。旁觀者會(huì)認(rèn)為磕磕絆絆是才疏學(xué)淺的表現(xiàn)，所以畫(huà)家們會(huì)一氣呵成完成畫(huà)作。如果圖案比較復(fù)雜，畫(huà)家會(huì)聚精會(huì)神，一言不發(fā)。但是，如果它相對(duì)簡(jiǎn)單，畫(huà)家就一邊畫(huà)畫(huà)一邊講故事。作品在沙子上畫(huà)好之后，一般都會(huì)被擦掉。

到了19世紀(jì)，隨著西方殖民者的入侵，索納技藝逐漸衰落。許多人都只知道比較簡(jiǎn)單的圖案，更復(fù)雜的圖案的秘密只有一些年長(zhǎng)的索納畫(huà)家了解。幸好，一些傳教士和民族學(xué)家歷盡千辛萬(wàn)苦收集索納，這項(xiàng)珍貴的文化遺產(chǎn)才得以不至失傳。

接下來(lái)，我們一邊聆聽(tīng)“獅子和男孩”與“公雞和豺狼”兩個(gè)故事，一邊欣賞紹奎人的索納沙畫(huà)藝術(shù)。

故事1：獅子和男孩

一個(gè)男孩和一頭獅子是好朋友，他們從小一起長(zhǎng)大，一直以打獵為生。有一天，輪到男孩去打獵了，但他不幸受傷暈倒。獅子立刻生起火，用一劑藥救活男孩。他們帶著獵物回家，舉辦了一場(chǎng)盛大的宴會(huì)，此后，他們的友誼更加牢固了。

過(guò)了一段時(shí)間，輪到獅子去打獵，在獵殺水牛的時(shí)候，獅子假裝暈倒在地。男孩以為獅子已經(jīng)死了，他突然想到，如果把獅子的眼睛、鼻子和耳朵制作成護(hù)身符，他就可以成為這個(gè)地區(qū)最著名的獵人。當(dāng)男孩試圖肢解獅子時(shí)，獅子突然一躍而起，殺死了背叛自己的朋友。

從那以后，再?zèng)]人看到獅子和男孩這兩大獵手在一起。

在索納沙畫(huà)中，獅子和男孩由兩個(gè)較大的圓點(diǎn)代表。

故事2：公雞和豺狼

公雞和豺狼想娶同一個(gè)女孩，于是他們都向女孩的父親提親。那父親要求提前支付彩禮，公雞和豺狼都表示同意，并立刻送上彩禮。突然，有傳言說(shuō)那女孩死了。公雞痛哭不已，而豺狼只是懊悔自己的彩禮打了水漂。原來(lái)，這是女孩的父親故意散布謠言，看誰(shuí)配得上他女兒，最后他把女兒嫁給了誠(chéng)意十足的公雞。

在索納沙畫(huà)中，上面兩個(gè)大點(diǎn)分別代表公雞和豺狼。下方的大點(diǎn)代表女孩。

觀察以上兩幅索納作品，我們大致可以發(fā)現(xiàn)以下3個(gè)特點(diǎn)：

1. 點(diǎn)陣中的每一個(gè)點(diǎn)都被線條分隔包圍。這顯而易見(jiàn)。

2. 整體圖案是對(duì)稱的。這同樣顯而易見(jiàn)。據(jù)統(tǒng)計(jì)，超過(guò)80%的索納是對(duì)稱的，有一條或多條對(duì)稱軸的索納出現(xiàn)的頻率很高，這表明軸對(duì)稱在紹奎人的民族文化中的重要性。

3. 整體圖案是單線性，即一筆畫(huà)出來(lái)的。這并不顯而易見(jiàn)。據(jù)統(tǒng)計(jì)，大約75%的索納是單線性的，這條線可以與自己相交，但永遠(yuǎn)不能重復(fù)自己走過(guò)的路徑。你可能會(huì)問(wèn)，如何一筆畫(huà)出上面的索納圖案？這個(gè)問(wèn)題恐怕并不簡(jiǎn)單。事實(shí)上，關(guān)于這類一筆畫(huà)問(wèn)題，大數(shù)學(xué)家歐拉曾經(jīng)給出過(guò)答案。

哥尼斯堡是中世紀(jì)德國(guó)的一座城市，城市建筑分布在普雷格爾河兩岸，河流中間有兩座島，兩岸和兩島之間有七座橋連接，如圖5。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的市長(zhǎng)閑來(lái)無(wú)事研究一個(gè)問(wèn)題，如何一次性通過(guò)這七座橋，既不能重復(fù)也不能落下。當(dāng)時(shí)，人們的解法簡(jiǎn)單粗暴——只要把所有走法都畫(huà)出來(lái)不就知道了嘛。市長(zhǎng)覺(jué)得這種解法并不能讓人滿意，于是向著名數(shù)學(xué)家歐拉求助。

歐拉敏銳地發(fā)現(xiàn)這里蘊(yùn)藏著深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，并把它稱為一筆畫(huà)問(wèn)題。歐拉表示：“把所有走法都列舉出來(lái)的解法沒(méi)有任何新意，用這種方法也許可以做出答案，但是到頭來(lái)依然搞不懂問(wèn)題的本質(zhì)?！?img src="https://cimg.fx361.com/images/2023/07/08/qkimagesmymymymy202208mymy20220802-5-l.jpg"/>

歐拉的解法是，把兩岸和兩島簡(jiǎn)化成四個(gè)“頂點(diǎn)”，把七座橋簡(jiǎn)化成七條邊。于是，如圖6，這四個(gè)頂點(diǎn)連接的邊的數(shù)量分別是3、3、3、5。此時(shí)，問(wèn)題隨之轉(zhuǎn)化成：能否一筆把圖6這個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)。經(jīng)過(guò)思考，歐拉確認(rèn)這是不可能的。同時(shí)，他還得出了任意一個(gè)圖形是否可以一筆畫(huà)的條件。首先，圖形中的頂點(diǎn)分為兩種，如果經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的線段數(shù)目是偶數(shù)，就稱之為偶點(diǎn)；如果經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的線段數(shù)目是奇數(shù)，就稱之為奇點(diǎn)。歐拉指出，如果一個(gè)圖形可以一筆畫(huà)，那么它的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)只能是0個(gè)或2個(gè)。如果奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是0個(gè)，那么從圖形中任意一點(diǎn)出發(fā)，都可以一筆畫(huà)；如果奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)，那么只能從一個(gè)奇點(diǎn)出發(fā)，畫(huà)到另一個(gè)奇點(diǎn)結(jié)束。

你可以用歐拉的方法嘗試一下能不能一筆寫成“口”“日”“目”三個(gè)字?！翱凇弊值乃膫€(gè)頂點(diǎn)全是邊數(shù)為2的偶點(diǎn)，不存在奇點(diǎn)，所以你從任意一點(diǎn)起筆就能一筆寫成?！叭铡弊种虚g一橫的兩端有兩個(gè)邊數(shù)為3的奇點(diǎn)，所以你可以從其中一個(gè)奇點(diǎn)起筆，寫到另一個(gè)奇點(diǎn)結(jié)束?！澳俊弊值闹虚g有兩橫，形成了4個(gè)邊數(shù)為3的奇點(diǎn)，你無(wú)論怎么寫都不能一筆寫成。

現(xiàn)在再來(lái)看圖6，所有4個(gè)頂點(diǎn)全是奇點(diǎn)。所以不管怎么畫(huà)，都無(wú)法一筆畫(huà)成。因?yàn)樵诶L畫(huà)過(guò)程中一定會(huì)遇到一種情況，當(dāng)你經(jīng)過(guò)一座橋到達(dá)某個(gè)位置后，然后發(fā)現(xiàn)這個(gè)位置連接的另外兩座橋都已經(jīng)走過(guò)了，不重復(fù)就走不出去，所以這個(gè)問(wèn)題是無(wú)解的。

后來(lái)，“二戰(zhàn)”爆發(fā)，哥尼斯堡七橋中的兩座橋毀于戰(zhàn)火，只剩下了五座，如圖7。所以，哥尼斯堡七橋今天已經(jīng)不存在了。不僅七橋不存在，連哥尼斯堡也不存在了。1945年哥尼斯堡戰(zhàn)役后，蘇聯(lián)紅軍占領(lǐng)了這座城市。戰(zhàn)后它成為蘇聯(lián)領(lǐng)土，更名為加里寧格勒。如今，這里是俄羅斯的一部分，是俄軍波羅的海艦隊(duì)基地。

不過(guò)，如果你現(xiàn)在去那座城市，倒是可以一次不重復(fù)地走過(guò)五座橋了。如圖7，四個(gè)頂點(diǎn)連接的邊的數(shù)量分別是2、2、3、3。圖8是五橋的等效圖，你只需要從其中一個(gè)邊數(shù)為3的頂點(diǎn)出發(fā)，就一定能不重復(fù)地走過(guò)五座橋，最終走到另一個(gè)邊數(shù)為3的頂點(diǎn)結(jié)束。

歐拉這種用頂點(diǎn)和邊解決問(wèn)題的方式到后來(lái)發(fā)展成為一個(gè)數(shù)學(xué)概念“圖論”。其中“圖”就是畫(huà)面整體，“頂點(diǎn)”代表對(duì)象，也就是岸和島，“邊”代表對(duì)象之間的關(guān)系，也就是橋。七橋問(wèn)題的圖里只有4個(gè)頂點(diǎn)，7條邊。但在今天借助計(jì)算機(jī)，我們可以畫(huà)出上萬(wàn)億個(gè)“頂點(diǎn)和邊”的圖，把它作為數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算，這就是“圖計(jì)算技術(shù)”。通過(guò)不斷發(fā)展完善，圖計(jì)算技術(shù)已經(jīng)是世界前沿的數(shù)據(jù)技術(shù)，應(yīng)用非常廣泛。例如電網(wǎng)，全國(guó)一共有上億臺(tái)供電設(shè)備，一旦其中一臺(tái)設(shè)備出問(wèn)題，可能就會(huì)影響其他設(shè)備，出現(xiàn)大面積停電事故。所以可以把每個(gè)供電設(shè)備作為一個(gè)“頂點(diǎn)”，繪制出它們之間的關(guān)系圖，建立起一個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)，然后用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)演，模擬關(guān)掉其中一個(gè)會(huì)對(duì)其他設(shè)備產(chǎn)生什么影響，這樣在每次維護(hù)供電設(shè)備之前都可以提前預(yù)判，不影響正常供電。

時(shí)至今日，中國(guó)已經(jīng)成為世界上“大規(guī)模圖計(jì)算技術(shù)”技術(shù)性能最高、應(yīng)用最廣泛的國(guó)家。而這一切其實(shí)都起源于哥尼斯堡那道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題。

言歸正傳，現(xiàn)在再看前文中安哥拉大叔“獅子和男孩”“公雞和豺狼”兩幅索納沙畫(huà)作品，相信你很容易就能確定它們都可以一筆畫(huà)出來(lái)。獅子和男孩中所有頂點(diǎn)都是偶點(diǎn)，所以從任意一個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始就能一筆畫(huà)出這個(gè)圖案；公雞和豺狼中有兩個(gè)頂點(diǎn)是奇點(diǎn)（即圖4中的兩個(gè)紅點(diǎn)），其余都是偶點(diǎn)，那么一定可以從其中一個(gè)紅點(diǎn)出發(fā)，到另一個(gè)紅點(diǎn)結(jié)束。

圖9的幾幅索納沙畫(huà)作品錘子、小鳥(niǎo)、蝎子、山羊都是一筆畫(huà)成的，讀者可以自行嘗試。