趙玉 許志城 魏俊潮

摘 要：平面向量的線性運算、向量共線以及以向量為背景的最值問題是近幾年高考考查的重點和熱點.本文通過探究雙變量問題的多種解法，體驗等和線定理應(yīng)用的簡潔性、高效性.

關(guān)鍵詞：平面向量;等和線定理;雙變量

中圖分類號：G632?? 文獻標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）25-0095-03

觀察三個例題的解法，常規(guī)解法是通過相關(guān)知識構(gòu)建出二元二次方程，此時較難求出系數(shù)之和，這為解題增添了難度.而采用等和線法則是巧妙地將復(fù)雜的求值、最值等一系列代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，將具體的代數(shù)式運算轉(zhuǎn)化為距離的比值問題，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型解決向量雙變量問題，完美地呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合之美，也充分體現(xiàn)了等和線解決雙變量問題的簡潔性、高效性.

向量等和線以平面向量基本定理為基礎(chǔ)，即一個向量可以用一組不共線的向量表示出來，此時兩基底的系數(shù)共同決定了第三條向量終點的位置，常用的結(jié)論是當(dāng)系數(shù)之和為1時，即三條共起點的向量的終點在同一條直線上.由于高考題中很多向量題目都涉及雙變量系數(shù)和的問題，在遇到這類問題時，解題大體上可分為以下三個步驟：確定等和線值為1的線（即兩個基底的終點所在的直線）;平移該線，結(jié)合動點的可行域，分析何處取得最大值和最小值;從長度的比值或點的位置兩個角度，計算最大值和最小值，如此便求得系數(shù)和的范圍.

而對于求解兩個系數(shù)的一般線性關(guān)系式問題，由于向量可以通過數(shù)乘運算將向量進行同向或者反向伸長、壓縮，所以所有系數(shù)的線性關(guān)系式都可以通過改變向量的基底，將所求系數(shù)的線性關(guān)系式轉(zhuǎn)換為兩個新的基底的系數(shù)和問題，最后再利用等和線三步驟解決問題.

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