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        跨越300年的數(shù)學(xué)傳奇:費(fèi)馬大定理

        2022-05-30 10:48:04劉新亮林開(kāi)亮
        知識(shí)就是力量 2022年10期
        關(guān)鍵詞:費(fèi)馬數(shù)論爾斯

        劉新亮 林開(kāi)亮

        近日熱播的電視連續(xù)劇《天才基本法》極大地激發(fā)了青少年觀眾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,劇情中特別提到著名的費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬大定理是數(shù)學(xué)史上光輝燦爛的一頁(yè),讓我們一起來(lái)詳細(xì)了解一下這個(gè)定理吧!

        “業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”:費(fèi)馬

        一般認(rèn)為,現(xiàn)代數(shù)論的創(chuàng)始人是費(fèi)馬(1601—1665年)。他是法國(guó)數(shù)學(xué)家,但其主業(yè)是律師,數(shù)學(xué)是他的業(yè)余愛(ài)好。由于他在數(shù)學(xué)的許多分支如數(shù)論、微積分、解析幾何、概率都有根本性貢獻(xiàn),被后人冠冕為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。

        事實(shí)上,在17世紀(jì)初,數(shù)學(xué)這一學(xué)科剛剛從歐洲長(zhǎng)達(dá)千年的中世紀(jì)黑暗時(shí)代中蘇醒過(guò)來(lái),并不受重視。當(dāng)時(shí),整個(gè)歐洲國(guó)家只有牛津大學(xué)設(shè)有專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)教授職位(始于1619年),所以17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家大多數(shù)是業(yè)余的。而費(fèi)馬,正是其中最出類(lèi)拔萃的一個(gè)。

        費(fèi)馬大定理的誕生

        費(fèi)馬數(shù)論研究工作的源泉,來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(大約生活在200—284年)的一部著作——《算術(shù)》。這部書(shū)共有13卷,但只有6卷留存于世。

        1621年,法國(guó)數(shù)學(xué)家貝切特(1581—1638年)將《算術(shù)》譯成了拉丁文。除此之外,貝切特還編輯了一本數(shù)學(xué)趣味謎題集,收入許多著名的謎題,其中之一是砝碼問(wèn)題:“最少需要多少個(gè)砝碼,可以在天平上稱(chēng)出1克到40克之間任何整數(shù)克的重量?”

        丟番圖的《算術(shù)》其實(shí)是一本問(wèn)題集。其中有100多個(gè)問(wèn)題,丟番圖對(duì)每個(gè)問(wèn)題都給出了詳盡的解答。但費(fèi)馬感興趣的是跳出原題、觸類(lèi)旁通,去思考和解決一些相關(guān)的、更加微妙的問(wèn)題。

        勾股定理示意圖

        正如費(fèi)馬所說(shuō),在這個(gè)“想前人之未曾想”的過(guò)程中,他“發(fā)現(xiàn)了許多極優(yōu)美的定理”。著名的費(fèi)馬大定理,就是這樣誕生的。

        費(fèi)馬大定理到底講了什么?

        在《算術(shù)》第2卷中,丟番圖討論了勾股數(shù),也就是方程x2+y2=z2的正整數(shù)解。例如:(x,y,z)=(3,4,5)就是最簡(jiǎn)單的一組勾股數(shù),即我們常說(shuō)的“勾三股四弦五”。

        費(fèi)馬讀到丟番圖的這一段討論時(shí),突發(fā)奇想,如果將該方程中的指數(shù)2替換成3會(huì)如何呢?費(fèi)馬發(fā)現(xiàn),此時(shí)的方程x3+y3=z3不再有正整數(shù)解。更進(jìn)一步,他將方程中的指數(shù)3替換成任意一個(gè)更大的整數(shù)n,得到方程xn+yn=zn。

        費(fèi)馬得出以下一般結(jié)論:當(dāng)n大于2時(shí),方程xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解。

        他在《算術(shù)》這一段的空白處寫(xiě)道:“對(duì)此命題,我有一絕妙證明,可惜此處空白太小,無(wú)法寫(xiě)下?!边@一行簡(jiǎn)短的評(píng)注,引起了后世許多數(shù)學(xué)家的強(qiáng)烈興趣。但誰(shuí)也不知道費(fèi)馬所寫(xiě)的“絕妙證明”究竟是怎樣的。費(fèi)馬本人在1640年給出了n=4時(shí)的證明,而n=3時(shí)的證明是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(1707—1783年)在100多年后(1758—1770年間)才給出的。

        為什么350年后才有定論?

        那么,當(dāng)n等于其他正整數(shù)時(shí)呢?此后,歷史上著名的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵紖⑴c了對(duì)這一命題的證明,但在長(zhǎng)達(dá)350多年的時(shí)間里始終懸而未決。

        直到1995年,費(fèi)馬的上述論斷才被英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯(1953—)證明。但懷爾斯精彩絕倫的證明,絕非費(fèi)馬當(dāng)時(shí)所能理解的那類(lèi)證明。因?yàn)閼褷査褂玫搅私鷶?shù)論最前沿的思想、語(yǔ)言和技術(shù),經(jīng)過(guò)8年、用130頁(yè)的篇幅才證明了費(fèi)馬大定理。

        證明費(fèi)馬大定理,是懷爾斯兒時(shí)的夢(mèng)想。如他所說(shuō):“對(duì)每個(gè)人而言,實(shí)現(xiàn)童年的夢(mèng)想,富有奇妙的魔力。只有極少數(shù)人能夠美夢(mèng)成真,而我就是其中一個(gè)幸運(yùn)兒?!?/p>

        也許有人會(huì)問(wèn),這么多數(shù)學(xué)家花費(fèi)大量時(shí)間證明一個(gè)命題,意義是什么呢?其實(shí)他們證明費(fèi)馬大定理的過(guò)程,是不斷開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)新領(lǐng)域的過(guò)程。例如,歐拉證明費(fèi)馬大定理n=3時(shí),發(fā)明了虛數(shù),擴(kuò)展了數(shù)域,之后虛數(shù)在信息學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。

        費(fèi)馬在空白處寫(xiě)下那段話時(shí),未必知道自己的研究有什么用,但是后世的研究者已經(jīng)將其發(fā)揮出更大的效用。因此,時(shí)至今日,費(fèi)馬大定理穿越將近400年的時(shí)間,依然有其獨(dú)特的魅力!

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