劉新亮 林開亮

近日熱播的電視連續(xù)劇《天才基本法》極大地激發(fā)了青少年觀眾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，劇情中特別提到著名的費馬大定理。費馬大定理是數(shù)學(xué)史上光輝燦爛的一頁，讓我們一起來詳細(xì)了解一下這個定理吧！

“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”：費馬

一般認(rèn)為，現(xiàn)代數(shù)論的創(chuàng)始人是費馬（1601—1665年）。他是法國數(shù)學(xué)家，但其主業(yè)是律師，數(shù)學(xué)是他的業(yè)余愛好。由于他在數(shù)學(xué)的許多分支如數(shù)論、微積分、解析幾何、概率都有根本性貢獻(xiàn)，被后人冠冕為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。

事實上，在17世紀(jì)初，數(shù)學(xué)這一學(xué)科剛剛從歐洲長達(dá)千年的中世紀(jì)黑暗時代中蘇醒過來，并不受重視。當(dāng)時，整個歐洲國家只有牛津大學(xué)設(shè)有專門的數(shù)學(xué)教授職位（始于1619年），所以17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家大多數(shù)是業(yè)余的。而費馬，正是其中最出類拔萃的一個。

費馬大定理的誕生

費馬數(shù)論研究工作的源泉，來自古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（大約生活在200—284年）的一部著作——《算術(shù)》。這部書共有13卷，但只有6卷留存于世。

1621年，法國數(shù)學(xué)家貝切特（1581—1638年）將《算術(shù)》譯成了拉丁文。除此之外，貝切特還編輯了一本數(shù)學(xué)趣味謎題集，收入許多著名的謎題，其中之一是砝碼問題：“最少需要多少個砝碼，可以在天平上稱出1克到40克之間任何整數(shù)克的重量？”

丟番圖的《算術(shù)》其實是一本問題集。其中有100多個問題，丟番圖對每個問題都給出了詳盡的解答。但費馬感興趣的是跳出原題、觸類旁通，去思考和解決一些相關(guān)的、更加微妙的問題。

勾股定理示意圖

正如費馬所說，在這個“想前人之未曾想”的過程中，他“發(fā)現(xiàn)了許多極優(yōu)美的定理”。著名的費馬大定理，就是這樣誕生的。

費馬大定理到底講了什么？

在《算術(shù)》第2卷中，丟番圖討論了勾股數(shù)，也就是方程x2+y2=z2的正整數(shù)解。例如：（x，y，z）=（3，4，5）就是最簡單的一組勾股數(shù)，即我們常說的“勾三股四弦五”。

費馬讀到丟番圖的這一段討論時，突發(fā)奇想，如果將該方程中的指數(shù)2替換成3會如何呢？費馬發(fā)現(xiàn)，此時的方程x3+y3=z3不再有正整數(shù)解。更進(jìn)一步，他將方程中的指數(shù)3替換成任意一個更大的整數(shù)n，得到方程xn+yn=zn。

費馬得出以下一般結(jié)論：當(dāng)n大于2時，方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解。

他在《算術(shù)》這一段的空白處寫道：“對此命題，我有一絕妙證明，可惜此處空白太小，無法寫下?！边@一行簡短的評注，引起了后世許多數(shù)學(xué)家的強(qiáng)烈興趣。但誰也不知道費馬所寫的“絕妙證明”究竟是怎樣的。費馬本人在1640年給出了n=4時的證明，而n=3時的證明是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783年）在100多年后（1758—1770年間）才給出的。

為什么350年后才有定論？

那么，當(dāng)n等于其他正整數(shù)時呢？此后，歷史上著名的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵紖⑴c了對這一命題的證明，但在長達(dá)350多年的時間里始終懸而未決。

直到1995年，費馬的上述論斷才被英國數(shù)學(xué)家懷爾斯（1953—）證明。但懷爾斯精彩絕倫的證明，絕非費馬當(dāng)時所能理解的那類證明。因為懷爾斯用到了近代數(shù)論最前沿的思想、語言和技術(shù)，經(jīng)過8年、用130頁的篇幅才證明了費馬大定理。

證明費馬大定理，是懷爾斯兒時的夢想。如他所說：“對每個人而言，實現(xiàn)童年的夢想，富有奇妙的魔力。只有極少數(shù)人能夠美夢成真，而我就是其中一個幸運兒?！?/p>

也許有人會問，這么多數(shù)學(xué)家花費大量時間證明一個命題，意義是什么呢？其實他們證明費馬大定理的過程，是不斷開拓數(shù)學(xué)新領(lǐng)域的過程。例如，歐拉證明費馬大定理n=3時，發(fā)明了虛數(shù)，擴(kuò)展了數(shù)域，之后虛數(shù)在信息學(xué)等多個領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。

費馬在空白處寫下那段話時，未必知道自己的研究有什么用，但是后世的研究者已經(jīng)將其發(fā)揮出更大的效用。因此，時至今日，費馬大定理穿越將近400年的時間，依然有其獨特的魅力！