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        從差值0.5的來龍去脈說開去

        2022-05-30 20:16:50楊蘇麗
        關(guān)鍵詞:誤差

        楊蘇麗

        [摘 要]皮克公式是一個(gè)選學(xué)內(nèi)容,也是蘇教版教材的特設(shè)內(nèi)容,旨在讓學(xué)生通過計(jì)算釘子板上圍成的多邊形的面積來探究多邊形的面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系,并借此探究多邊形的面積大小與圖形所占平面大小的直觀聯(lián)系。在正式學(xué)習(xí)多邊形面積公式之前學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容,可以加深學(xué)生對(duì)面積概念的理性認(rèn)知。

        [關(guān)鍵詞]釘子板;皮克公式;多邊形面積;誤差

        [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2022)32-0021-03

        在“板上釘釘圍多邊形”的一次觀摩課上,學(xué)生人手一塊釘子板,一位學(xué)生圍出了這樣的圖形(如圖1)。

        圖形邊線穿過9枚釘子,圖形內(nèi)圍著12枚釘子,運(yùn)用皮克公式可算得這個(gè)圖形的面積是9÷2+12-1=15.5。而用外包的矩形減去剩余的兩個(gè)三角形的面積之和,所得面積是8×6-(8×6÷2+8×2÷2)=16。用組合法算出的面積與用皮克公式算出的面積相差0.5,授課教師一時(shí)間也不知道該怎么解釋,只能含糊帶過。

        可是,學(xué)生很快又發(fā)現(xiàn)了不尋常的結(jié)果:如圖2,套用皮克公式計(jì)算出的面積是5,而用數(shù)方格的方法算出的面積是4.5,兩者也相差0.5。對(duì)此,授課教師以凹多邊形不適用這個(gè)公式為由搪塞過去。不一會(huì)兒,又有學(xué)生提出異議:“老師,這個(gè)凹多邊形(如圖3)為什么不適用皮克公式?”授課教師再次以凹多邊形超出學(xué)習(xí)范圍為由,敷衍過去,并順手將這個(gè)學(xué)生繪制的凹多邊形改成了凸多邊形(如圖4)。

        本節(jié)課結(jié)束前,授課教師出示一個(gè)多邊形 (如圖5),讓學(xué)生用皮克公式嘗試算出其面積,感受用皮克公式計(jì)算面積的便捷性。這時(shí),一位學(xué)生小聲嘀咕:“數(shù)方格法也很方便?!毕抡n鈴聲響起后,聽課教師詢問學(xué)生還有什么問題,有位學(xué)生說道:“根據(jù)皮克公式,當(dāng)a=1時(shí),S=n÷2;當(dāng)a=2時(shí),S=n÷2+1 ;當(dāng)a=3時(shí),S=n÷2+2……為什么圖形內(nèi)的釘子每增加1枚,相應(yīng)的多邊形的面積就增加1個(gè)單位?”這個(gè)問題出乎聽課教師的意料,授課教師也一時(shí)錯(cuò)愕,說不出個(gè)所以然。

        課后,授課教師對(duì)計(jì)算圖1的圖形面積出現(xiàn)的0.5的面積差始終百思不得其解:“這個(gè)0.5到底是怎么造成的?”他與其他教師共同研究:有人說是可能哪里算漏了;有人提議改用數(shù)方格的方法來計(jì)算,卻發(fā)現(xiàn)方格很難湊整,得出的結(jié)果也只是一個(gè)近似值;有人覺得是釘子板不規(guī)范……眾說紛紜之時(shí),筆者問了一句:“出示圖5的目的是什么?”授課教師迅速回答:“一是讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用皮克公式,二是突顯皮克公式的便捷性。”當(dāng)筆者告訴他學(xué)生認(rèn)為用數(shù)方格的方法很方便時(shí),他沉吟片刻后說:“數(shù)方格很方便,那用皮克公式豈不是多此一舉,自找麻煩?”筆者接著問:“圖形內(nèi)多1枚釘子,多邊形的面積就會(huì)多1個(gè)單位,這兩個(gè)‘1的意義相同嗎?”他果斷地表示否定,并表示前一個(gè)“1”表示1枚釘子,后一個(gè)‘1表示1個(gè)基本的面積單位?!薄澳乔昂蠖际嵌喑鲆粋€(gè)1,這怎么解釋?”筆者追問。授課教師被問得啞口無言。

        一、尋找問題根源

        “釘子板上的多邊形”是蘇教版教材新增的規(guī)律探索內(nèi)容,這些規(guī)律本就是客觀存在的,只是需要通過實(shí)驗(yàn)去探究提煉。與一些人為制造的排列規(guī)律不同,它更能激起學(xué)生的探究興趣。因此,許多教師熱衷于選擇這一內(nèi)容作為研究課。筆者在一個(gè)學(xué)期內(nèi)聽了這一內(nèi)容的好幾次課,幾乎每次課都會(huì)出現(xiàn)一些生成性問題,這些問題不僅難倒了學(xué)生,還難倒了教師。教師被難倒,究其原因是教師對(duì)問題研究不透徹。因此,教書,教師必須鉆研教材,只有自己有一桶水,才能倒給學(xué)生一碗水。

        只有找到知識(shí)本源,才能為學(xué)生徹底答疑解惑。通過研究相關(guān)文獻(xiàn)資料,不難知道“釘子板上的多邊形”這一知識(shí)來源于“格點(diǎn)圖上的多邊形”。弄清這一淵源,將釘子板圖轉(zhuǎn)化成點(diǎn)陣圖,用兩種方法求圖1中的三角形的面積存在0.5的差值的真相也就水落石出了:圖形內(nèi)的點(diǎn)跑出多邊形之外,處于邊線上的釘子數(shù)是9而非10。也就是說,之所以出現(xiàn)差0.5,是因?yàn)樵卺斪影迳蠂鷪D具有模糊性。

        那么,教學(xué)中如何同時(shí)滿足“學(xué)科”與“科學(xué)”的需要,既做到生動(dòng)有趣又做到嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)?有一種辦法就是對(duì)素材進(jìn)行改造:一是新課伊始,在釘子板上圍出多邊形后,及時(shí)將釘子板圖轉(zhuǎn)換成點(diǎn)陣圖;二是在課堂即將結(jié)束,教師介紹皮克公式時(shí),及時(shí)把點(diǎn)陣圖轉(zhuǎn)換成格點(diǎn)圖。 這樣一來,圖1帶來的麻煩就會(huì)迎刃而解。而針對(duì)圖2生成的問題“凹多邊形不適用這個(gè)公式”,果真如此嗎?說到底,這一問題依然屬于“是什么”的問題。根據(jù)皮克公式的表述——“設(shè)Y為一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形,其頂點(diǎn)全部落在格點(diǎn)上。若q為多邊形 Y內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù),p為多邊形Y各邊上的格點(diǎn)數(shù),則Y的面積 =q+[p2]-1”。不難發(fā)現(xiàn),皮克公式適用于簡(jiǎn)單多邊形,不分凹凸。根據(jù)凹多邊形的定義“把一個(gè)各邊不自交的多邊形,任意一邊延長(zhǎng)為直線,如果多邊形不是在這條直線的同一側(cè),則這個(gè)多邊形可以稱之為凹多邊形”中的“各邊不自交”來判斷,圖2不屬于凹多邊形,一般認(rèn)為它是組合圖形。本課教學(xué)確實(shí)與凹多邊形不沾邊,所以素材應(yīng)該以凸多邊形為主體。但是,教師一旦放手讓學(xué)生自主探究,學(xué)生天馬行空的想象力迸發(fā),就會(huì)冒出很多奇思妙想,畫出凹多邊形完全在情理之中,畫出像圖2這樣的多邊形自然不足為奇。

        對(duì)于在釘子板上圍出多邊形,然后計(jì)算多邊形的面積,學(xué)生一般會(huì)想到借用組合法或者割補(bǔ)法去計(jì)算,因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)三角形、平行四邊形等圖形的面積時(shí),學(xué)生學(xué)會(huì)了用割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,而釘子數(shù)則具有計(jì)量邊長(zhǎng)與高度的功能,一排釘子的數(shù)量就是所在邊的長(zhǎng)度,當(dāng)然,這個(gè)相鄰釘子之間的間距必須相等??墒歉鶕?jù)皮克公式計(jì)算出的面積與運(yùn)用幾何轉(zhuǎn)化法計(jì)算出的面積存在出入,這種強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突讓學(xué)生對(duì)皮克公式產(chǎn)生了懷疑。為了一探究竟,學(xué)生會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究動(dòng)機(jī),發(fā)現(xiàn)皮克公式中的點(diǎn)數(shù)和幾何法中的邊長(zhǎng)其實(shí)是一回事,而問題出在釘子板圖的粗糙性:少圍了1枚釘子,這就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出現(xiàn)誤差。因此,將釘子板圖換成格點(diǎn)圖,就能夠?qū)缀畏ê推た斯酵昝澜y(tǒng)一。

        二、追溯知識(shí)原理,搞清為什么

        仍以上述案例為例,在學(xué)生質(zhì)疑“為什么圖形內(nèi)的釘子每增加1枚,相應(yīng)的多邊形面積就增加1個(gè)單位”,尋找問題根源,也就是搞清楚“為什么”時(shí),教師或是沒有這個(gè)探索意識(shí),或是壓根就不知道,又或是知道但是沒有把握講清楚而作罷。然而,既然學(xué)生已經(jīng)明確提出疑問,教師就要勇敢面對(duì)。實(shí)際上,任何知識(shí)都繞不開“是什么”“為什么”“有什么用”三大要旨。盡管這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)只需要引導(dǎo)學(xué)生歸納出釘子板上的多邊形的規(guī)律,充分經(jīng)歷找的過程,而這個(gè)探索規(guī)律的過程,主要是在視覺上發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化一致——“圖形內(nèi)的釘子每增加1枚,相應(yīng)的多邊形面積就增加1個(gè)單位”,至于是因?yàn)槭裁?,學(xué)生還無法一探究竟。那么,受限于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,在無法清晰揭示的情況下,學(xué)生質(zhì)疑時(shí),教師該如何應(yīng)對(duì)?筆者以為,教師可以在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候點(diǎn)撥學(xué)生:一方面,通過多媒體動(dòng)圖演示(如圖6),進(jìn)行適當(dāng)?shù)臐B透,直觀展示圖形內(nèi)釘子數(shù)多1之后,多邊形多出的1個(gè)面積單位在哪里,從而弄清事情的原委,消除心頭疑慮;另一方面,教師正好通過這一細(xì)節(jié),潛移默化地引領(lǐng)學(xué)生由“a=1”向“a =2、a =3”等情況過渡。

        通過對(duì)比研究,發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)在于為什么圖形內(nèi)點(diǎn)數(shù)(釘子數(shù))加1,多邊形就會(huì)多1個(gè)面積單位,兩者都是多1,但是意義不一樣。為什么會(huì)這樣呢?想從理論上證明這個(gè)問題十分困難,畫圖直觀展示才是解決之道。然而,學(xué)生沒有經(jīng)驗(yàn)可依,意欲圖解,必須從最基礎(chǔ)的圖例入手,一步步發(fā)現(xiàn)規(guī)律,然后推廣到一般情況,這是一個(gè)合情推理的過程。通過圖示可以發(fā)現(xiàn),從a=1到a=2(如圖6),內(nèi)部增加了一個(gè)點(diǎn),從幾何學(xué)上講,向下擴(kuò)增了一個(gè)三角形(陰影部分),這個(gè)新增的三角形的底和原來的一樣,高恰好為1格,于是新增面積為2×1÷2=1,即新增一個(gè)高度為1的三角形;從皮克公式角度出發(fā),內(nèi)部增加一個(gè)點(diǎn),邊緣“吐出”一個(gè)點(diǎn),同時(shí)“吞并”一個(gè)點(diǎn),兩相抵消,邊線上的點(diǎn)數(shù)并未改變,于是根據(jù)皮克公式:新圖形的面積 =(q+1)+[p2]-1=q+ [p2] ,比原圖形的面積q+[p2]-1多1。

        三、找到知識(shí)之用,搞清有何用

        上述案例中,授課教師讓學(xué)生用皮克公式計(jì)算圖形面積后總結(jié),初衷是體現(xiàn)這一公式的優(yōu)越性。在與學(xué)生交流后,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生有了新的困惑:以前學(xué)過一些常用的面積公式,也掌握了割補(bǔ)法、數(shù)格法,那皮克公式還有何用?能比數(shù)方格法管用嗎?確實(shí),雖然本課的目標(biāo)是探究規(guī)律本身,讓學(xué)生了解到有這個(gè)規(guī)律存在,但是一旦找到規(guī)律,運(yùn)用規(guī)律就會(huì)擺到眼前,即皮克公式有什么用。上述案例中,授課教師想到了,但是沒有講透,學(xué)生反駁說“數(shù)方格法也很方便”,就說明授課教師所選的例子帶有誤導(dǎo)性,不夠典型。教師應(yīng)該出示一個(gè)用公式和數(shù)方格都很難推算面積的格點(diǎn)多邊形(如圖7),讓學(xué)生切身體會(huì)到皮克公式真的很管用。

        其實(shí),皮克公式與數(shù)方格法和幾何公式法之間有著緊密聯(lián)系:如果將格點(diǎn)間距縮小,直到相鄰點(diǎn)的間距變得無窮小,也就是“微分”,皮克公式就變成了一般的面積公式。在眾多展示課中,往往出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象:學(xué)生只關(guān)注邊上的釘子數(shù),不顧圖形內(nèi)的釘子數(shù)。其實(shí),這種現(xiàn)象符合學(xué)生的思維邏輯,因?yàn)閷W(xué)生掌握運(yùn)用的一般面積公式都是運(yùn)用邊長(zhǎng)推算的。例如,長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬,平行四邊形的面積=底×高。對(duì)此,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸本源:把多邊形涂色,直觀地展示面積大小就是格子數(shù)的多少,而格子數(shù)的多少與圖形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。

        為什么要學(xué)皮克公式?圖7就很好解釋了這個(gè)問題。在點(diǎn)陣圖中,如果一些幾何圖形的擺放位置是歪斜的,那么其邊長(zhǎng)或者高的長(zhǎng)度等就不容易推測(cè)出來。但是,此時(shí)其內(nèi)部包含的點(diǎn)數(shù)和邊經(jīng)過的點(diǎn)數(shù)依然可以清晰地?cái)?shù)出來,仍然可以運(yùn)用皮克公式算出其面積。另外,教材中運(yùn)用割補(bǔ)法驗(yàn)證多邊形(如平行四邊形面積公式推導(dǎo)時(shí))面積轉(zhuǎn)化是否正確時(shí),都是采用數(shù)方格的方法,數(shù)方格會(huì)遇到半格、大半格、小半格、對(duì)角線長(zhǎng)度等難題,所以多采用估算的辦法,這其實(shí)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,如果改用皮克公式,則可以堵住這個(gè)漏洞。

        至此,學(xué)生徹底弄明白了皮克公式的來龍去脈,但還可能會(huì)產(chǎn)生新的困惑:皮克公式到底在什么地方能派上用場(chǎng)?對(duì)此,教師可以講一個(gè)生動(dòng)的故事:數(shù)年前,一場(chǎng)數(shù)學(xué)研討會(huì)召開,由于會(huì)議地點(diǎn)是在一座山中,為了凸顯地方特色,主辦方展示了一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用的例子,那就是利用航拍,根據(jù)樹木的分布密度來確定森林面積大小。其具體方法是用點(diǎn)陣薄膜覆蓋在地圖上,再根據(jù)皮克公式求出面積,然后按照一定比例尺擴(kuò)大還原,就是森林面積。講完這個(gè)故事,教師可以讓學(xué)生繼續(xù)思考:這樣的算法會(huì)存在誤差嗎?為什么?

        總而言之,雖然“釘子板上的多邊形”的教學(xué)目標(biāo)只是尋找規(guī)律,但可能冷不丁就會(huì)碰到“釘子”?!芭龅结斪訒r(shí),要向釘子學(xué)習(xí)”,遇到難題,就要想辦法攻克,查找真相,這樣才能有效化解課堂中的突發(fā)狀況。

        (責(zé)編 吳美玲)

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