時(shí)敏棟，許牧天，朱文杰，崔 越，張 程

（上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620）

0 引 言

車輪多邊形主要遍布在車輪踏面上，是車輪不圓形式中最普遍的一種，隨著城市軌道交通在各個(gè)城市的普及，車輪多邊形化也變得越來越來普遍，大多數(shù)都是以一階偏心為主，并且隨著車輛的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)以及速度的提升，車輪磨耗也隨著時(shí)間在不斷地累積，多邊形化亦逐漸呈現(xiàn)出高階的形態(tài)。車輪多邊形化會(huì)造成車輪與鋼軌間的垂向作用力的不斷改變，由于受力不均衡，就會(huì)直接導(dǎo)致車體產(chǎn)生垂向上的振動(dòng)，降低乘坐舒適性，而且會(huì)產(chǎn)生高頻尖銳的噪聲污染。

目前，列車車輪不平順磨耗的預(yù)測(cè)只是針對(duì)最大的不平順值，并沒有對(duì)每個(gè)采樣點(diǎn)的不平順點(diǎn)都進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而推斷車輪多邊形的具體發(fā)展。通用的預(yù)測(cè)手段為：人工經(jīng)驗(yàn)、算法預(yù)測(cè)和建立動(dòng)力學(xué)仿真模型。Braghin等人根據(jù)多體動(dòng)力學(xué)對(duì)列車磨耗進(jìn)行仿真，得到輪軌之間接觸參數(shù)之后再通過Derby磨損指數(shù)理論指導(dǎo)對(duì)車輪磨損建立模型，精確模擬了車輪的不平順磨損。Pascual等人通過分析運(yùn)營(yíng)列車中隨機(jī)選取的1 000多個(gè)車輪的磨損統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)輪緣厚度越厚，其磨損速度越快。李瀅等人將灰色模型和指數(shù)平滑模型相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了對(duì)車輪輪緣厚度的有效預(yù)測(cè)。

國(guó)內(nèi)對(duì)車輪多邊形階次的預(yù)測(cè)研究大體上處于一個(gè)緩慢的狀態(tài)中，主要的判斷方法多數(shù)集中在維保人員的工作經(jīng)驗(yàn)和建立磨耗預(yù)測(cè)模型來驗(yàn)證車輪未來的一個(gè)工作狀態(tài)。這2種方法中，人工經(jīng)驗(yàn)法主觀性強(qiáng)，基本滿足不了高精度數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，并且目前對(duì)于車輪多邊形以及形成機(jī)理的研究仍不多見，由于各種原因都會(huì)導(dǎo)致車輪發(fā)生多邊形磨耗，相關(guān)維保部門不能及時(shí)地對(duì)相應(yīng)的車輪進(jìn)行鏇修作業(yè)，從而導(dǎo)致視情維修的問題尤為突出，這就使得車輪的使用壽命大大減少，軌道交通運(yùn)營(yíng)與維修成本也隨之增加。同時(shí)車輪多邊形化嚴(yán)重影響列車運(yùn)行安全，綜合前述原因，必須對(duì)如何精確地預(yù)測(cè)出車輪多邊形階次的趨勢(shì)進(jìn)行研究。本文將灰色理論與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入車輪多邊形預(yù)測(cè)領(lǐng)域，提出了一種基于灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的車輪多邊形階次預(yù)測(cè)模型。該模型可根據(jù)少量的原始不平順數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)車輪滾動(dòng)圓每個(gè)測(cè)量點(diǎn)磨耗的發(fā)展，再進(jìn)行粗糙度的評(píng)定，推斷出車輪多邊形的階次，便于制定車輪鏇修計(jì)劃。

1 車輪多邊形階次相關(guān)概念

列車周向不平順是指距離輪緣內(nèi)側(cè)70 mm處車輪滾動(dòng)圓半徑的變化，在列車運(yùn)行時(shí)，車輪踏面會(huì)和鋼軌產(chǎn)生滑動(dòng)摩擦力，并且在運(yùn)行過程中不斷地在加速以及制動(dòng)中來回轉(zhuǎn)換，這就會(huì)導(dǎo)致車輪半徑發(fā)生周期性變化，從而形成多邊形磨耗。目前，國(guó)內(nèi)城市軌道交通車輛車輪主要是以偏心磨損（一階）為主，如圖1所示，但隨著列車的不斷運(yùn)行，慢慢會(huì)出現(xiàn)橢圓（二階）（見圖2）、三角形（三階）以及一些高階的狀況。

圖1 一階不圓Fig.1 The 1st order is not circular

圖2 二階不圓Fig.2 The 2nd order is not circular

本文采用激光位移傳感器作為高精度測(cè)量傳感器，完成對(duì)車輪滾動(dòng)圓直徑的數(shù)據(jù)采集，如圖3所示，該設(shè)備采用的激光位移傳感器重復(fù)精度達(dá)到了1μm，完全滿足檢測(cè)的精度要求。車輪半徑采用弓高弦長(zhǎng)測(cè)量方法來確定，其測(cè)量原理如圖4所示。

圖3 車輪不平順磨耗現(xiàn)場(chǎng)采集Fig.3 On-site collection of wheel roughness wear

圖4 車輪直徑測(cè)量方法Fig.4 Measuring method of wheel diameter

由圖4可知，2個(gè)同步輪半徑為，2個(gè)同步輪之間弦長(zhǎng)距離為2，激光傳感器激光發(fā)射點(diǎn)與弦長(zhǎng)的距離為，為激光傳感器實(shí)測(cè)距車輪踏面的距離，車輪半徑為，通過和標(biāo)準(zhǔn)車輪半徑做比較，即可得出輪徑差，其中、、的數(shù)值由機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)確定，根據(jù)勾股定理有：

可得：

2 等時(shí)距GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的建立

從系統(tǒng)的角度看，車輪整體的多邊形階次的發(fā)展是一個(gè)龐大的灰色系統(tǒng)，其中，車輪每個(gè)采樣點(diǎn)的不平順值是已得到確定的測(cè)量值，但影響因素“灰色信息”，不能對(duì)所有的影響因素進(jìn)行定量分析。所以分析車輪多邊形的發(fā)展趨勢(shì)主要從時(shí)間序列角度考慮，時(shí)間的變化是影響車輪多邊形階次變化的重要因素?；诖耍瑢⒒疑到y(tǒng)理論應(yīng)用于車輪多邊形階次的預(yù)測(cè)，能夠正確預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)。對(duì)于（1，1）模型的建立，這里將給出闡釋論述如下。

每個(gè)采樣點(diǎn)的不平順數(shù)據(jù)組含有個(gè)數(shù)據(jù)，即(1)，(2)，…，()]；對(duì)這些隨機(jī)的數(shù)據(jù)進(jìn)行累加操作后得到的數(shù)據(jù)組為：

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，（1，1）模型其實(shí)是一階微分方程模型，因而建立的灰色微分方程為：

根據(jù)最小二乘法的基本原理，可計(jì)算得到式（4）中的發(fā)展系數(shù)和灰色作用量，進(jìn)行微分方程求解后，即可得到灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)式：

3 不平順數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)殘差修正與效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

3.1 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)殘差修正

僅通過建立單一灰色模型對(duì)每個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，車輪不平順預(yù)測(cè)值存在較大的誤差。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在訓(xùn)練的時(shí)候具有高度的自學(xué)習(xí)以及非線性映射能力，而且能夠解決許多模糊的、不具備線性特征、包含多種復(fù)雜因素的問題，對(duì)于無規(guī)則、樣本數(shù)目巨大的殘差序列，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)其進(jìn)行修正會(huì)更加精確快捷。對(duì)此擬展開研究分述如下。

（1）計(jì)算殘差序列及歸一化處理。將實(shí)測(cè)的原始車輪周向不平順數(shù)據(jù)與灰色模型得到的預(yù)測(cè)值求差，得到殘差序列：

（2）確定網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練參數(shù)。網(wǎng)絡(luò)隱含層傳遞函數(shù)為函數(shù)，訓(xùn)練算法采用收斂速度快、運(yùn)算次數(shù)少的基于Levenberg-Marquardr（LM）規(guī)則的訓(xùn)練函數(shù)，預(yù)測(cè)模型訓(xùn)練誤差精度為0.001，迭代次數(shù)為1 000。

（3）BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建立與仿真。研究中，近似使用1（為初始預(yù)測(cè)值序列個(gè)數(shù)）為網(wǎng)絡(luò)輸入（inputs），相應(yīng)的預(yù)測(cè)值序列為輸出（ouputs）對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，用1（為預(yù)測(cè)次數(shù)）作為預(yù)測(cè)樣本，利用函數(shù)仿真得到次的預(yù)測(cè)值序列。至此，對(duì)訓(xùn)練后的數(shù)據(jù)進(jìn)行反歸一化處理，即可得到修正過后的殘差序列。

3.2 預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)為：使用誤差來衡量單個(gè)預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)效果，使用平均絕對(duì)誤差（）和均方根誤差（）來衡量整體預(yù)測(cè)效果，對(duì)其給出的數(shù)學(xué)定義可寫為如下形式：

平均絕對(duì)誤差是將各個(gè)預(yù)測(cè)值誤差取絕對(duì)值累加之后再取其平均值，能客觀反映預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性。均方根誤差將每個(gè)采樣點(diǎn)預(yù)測(cè)值誤差平方后，再對(duì)其進(jìn)行求和，繼而進(jìn)行開方，這是衡定測(cè)量模型預(yù)測(cè)精度的常用指標(biāo)。該值越小，表明預(yù)測(cè)精度越高。

4 實(shí)例分析

本文實(shí)例分析數(shù)據(jù)來自使上海地鐵車輛車輪的歷史周向不平順數(shù)據(jù)序列，城市軌道交通車輛車輪直徑為840 mm，所以整個(gè)車輪的周長(zhǎng)大概在2.6 m左右，采樣間隔設(shè)置為2 mm，采樣周期d0.002 s，則相應(yīng)的采樣頻率F＝1d500 Hz，采集到的數(shù)據(jù)點(diǎn)為1 300個(gè)，每次采集數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔為2周，通過激光位移傳感器非接觸測(cè)量得到的不平順數(shù)據(jù)如圖5所示，經(jīng)過濾波處理、離散傅里葉變換、再根據(jù)粗糙度定義就能得到各個(gè)階次的粗糙度值如圖6所示。從圖6中可以看出，一階偏心在該車輪的磨耗中占據(jù)主導(dǎo)地位，同時(shí)也存在一定的二階橢圓化的存在，其他一些階次的粗糙度等級(jí)數(shù)值較小，所以并沒有在車輪周向上有顯著的表現(xiàn)。

圖5 車輪周向不平順采樣數(shù)據(jù)Fig.5 Sampling data of wheel circumferential irregularity

圖6 車輪各階次粗糙度等級(jí)Fig.6 Wheel roughness levels of each order

4.1 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)例預(yù)測(cè)

選取上海地鐵某車輛實(shí)測(cè)得到的7組歷史車輪不平順數(shù)據(jù)，對(duì)前6組數(shù)據(jù)建立的等時(shí)距灰色模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，每組數(shù)據(jù)時(shí)間間隔為2周?；疑Ｐ皖A(yù)測(cè)數(shù)據(jù)如圖7所示。由圖7可見，預(yù)測(cè)2周后的車輪周向不平順預(yù)測(cè)值與實(shí)際值存在一定偏差，得出絕對(duì)誤差0.112，均方根誤差0.214，可見灰色模型可以得出車輪周向不平順數(shù)值的變化趨勢(shì)，但一定存在較大的誤差。為此通過計(jì)算兩者的殘差序列，通過一個(gè)3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)殘差序列進(jìn)行修正，隱含層采用10個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)，采用函數(shù)為傳遞函數(shù)，最終預(yù)測(cè)結(jié)果如圖8所示。由圖8可見預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)基本上重合，經(jīng)過計(jì)算，可得絕對(duì)誤差0.04，均方根誤差0.101，2個(gè)數(shù)值都有大幅度的縮小，說明在預(yù)測(cè)精度層面來說，灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于灰色模型，更能反映出車輪整體的不平順狀態(tài)。

圖7 灰色模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)Fig.7 Grey models predicted data

圖8 極坐標(biāo)下灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)Fig.8 Grey neural network model prediction in polar coordinates

4.2 預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的多邊形階次提取

每個(gè)波段的多邊形階次就是一段特定頻率完整的諧波，研究中把采集到的不平順數(shù)據(jù)在頻域上進(jìn)行分析，當(dāng)某一段頻率在頻域中的能量最大，則說明這段頻率代表的多邊形階次在車輪踏面上表現(xiàn)得更加顯著或者說是處于主導(dǎo)地位。假設(shè)測(cè)量的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1時(shí)，則1～20階多邊形對(duì)應(yīng)的階次頻率就分別為1 Hz，2 Hz，…，19 Hz，20 Hz?；谠摾碚?，為了得到車輪各個(gè)階次的多邊形粗糙度等級(jí)，首先得對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行低通濾波處理，接著利用FFT對(duì)濾波后的不平順值進(jìn)行頻域中的分析，再通過粗糙度等級(jí)的定義對(duì)各個(gè)階次的粗糙度進(jìn)行計(jì)算，10μm粗糙度的有效幅值對(duì)應(yīng)20 dB的粗糙度等級(jí)。通過灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)利用已有的7組數(shù)據(jù)來建立預(yù)測(cè)模型，得出2周之后的車輪不平順數(shù)據(jù)，經(jīng)過上述處理后最終的結(jié)果如圖9所示。由圖9的結(jié)果分析得知，雖然該車輪的一階偏心還是最顯著，但二、三、四、五階多邊形的粗糙度等級(jí)也在不停增大，高階多邊形數(shù)值雖然也有所增大，研究同時(shí)發(fā)現(xiàn)粗糙度等級(jí)卻并未顯得非常突出，可見隨著列車運(yùn)行時(shí)間越久，車輪多邊形會(huì)從一開始的一階偏心向更高的階次演變，最后的趨勢(shì)就是往高階多邊形化發(fā)展。

圖9 車輪各階次粗糙度等級(jí)Fig.9 Wheel roughness levels of each order

5 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)歷史車輪周向不平順數(shù)據(jù)建立了一種基于灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的車輪多邊形階次組合預(yù)測(cè)模型，主要利用等時(shí)距（1，1）對(duì)車輪每個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)建立不平順預(yù)測(cè)模型，再通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)每個(gè)采樣點(diǎn)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的殘差序列進(jìn)行修正，解決車輪周向不平順發(fā)展趨勢(shì)中不確定性問題，最后對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行離散傅里葉變換以及低通濾波處理，根據(jù)粗糙度的定義得到車輪各個(gè)階次的粗糙度等級(jí)，通過各個(gè)階次粗糙度的數(shù)值大小來判斷車輪多邊形階次的發(fā)展趨勢(shì)。并且以上海地鐵某車輛實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)展開了灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的實(shí)例預(yù)測(cè)分析，結(jié)果顯示，這種組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果的平均絕對(duì)誤差與均方根較單一的灰色預(yù)測(cè)模型均有所降低，模型預(yù)測(cè)精度得到提高，證明了模型的有效性，并且可以從最后的各個(gè)階次的粗糙度等級(jí)得出，隨著列車運(yùn)行時(shí)間的不斷增加，車輪多邊形也會(huì)不斷向著高階多邊形化發(fā)展，可為工務(wù)部門制定車輪鏇修策略提供重要指導(dǎo)意義。