周傳楷

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) ?對稱性 ?解題

【中圖分類號(hào)】G64 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2022）05-0181-03

數(shù)學(xué)當(dāng)中的對稱現(xiàn)象較多，無論是圖形還是公式當(dāng)中都具有一定的對稱性。利用對稱性解決數(shù)學(xué)問題可以豐富解題思路、減輕解題工作量，為此本文將對數(shù)學(xué)中的對稱性及其應(yīng)用進(jìn)行簡要分析。

1.對稱概述

對稱指的是某種意義下的平衡、對等[1]。從某種角度來看，對稱象征著協(xié)調(diào)、和諧。日常生活中的對稱現(xiàn)象有很多，如太陽、埃菲爾鐵塔等，具有較強(qiáng)的美感。數(shù)學(xué)本身就是研究客觀世界中空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，而客觀世界中有大量的對稱現(xiàn)象，所以對稱性也是數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)。在古希臘時(shí)期，人們就開始研究數(shù)學(xué)中的對稱性。例如，泰勒斯應(yīng)用比例原理檢測了金字塔的高度。歐幾里得所著的《原本》描述了大量的對稱性命題，而赫爾曼·外爾在《對稱》一書當(dāng)中描述了多種對稱形式，如旋轉(zhuǎn)對稱性、雙側(cè)對稱性、結(jié)晶對稱性等。我國對數(shù)學(xué)中的對稱性也有深入研究，例如《九章算術(shù)》中的“盈不足術(shù)”就分析了平面圖形與立體圖形的對稱性。

2.對稱性在初等數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式與應(yīng)用

從義務(wù)教育到高等教育，數(shù)學(xué)一直是重點(diǎn)學(xué)科。而對稱性在數(shù)學(xué)中也占據(jù)著重要地位，例如對稱性在初等數(shù)學(xué)中發(fā)揮著重要作用。對稱性與初等數(shù)學(xué)息息相關(guān)，無論是平面幾何還是立體幾何當(dāng)中都包含大量的對稱性內(nèi)容，且代數(shù)知識(shí)當(dāng)中也展現(xiàn)出了大量的對稱性。

2.1對稱性在初等數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式

對稱性在初等數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)主要體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何以及公式、定理等方面。

（1）對稱性在平面幾何中的表現(xiàn)形式。

從平面幾何來看，軸對稱圖形、中心對稱圖形以及平移對稱圖形當(dāng)中都蘊(yùn)含了對稱性知識(shí)。第一，軸對稱圖形。軸對稱圖形指的是若沿著平面上的一條直線對一個(gè)平面圖形進(jìn)行折疊，且圖形在直線兩邊的部分能夠完全重合，這一平面圖形就屬于軸對稱圖形，而平面上的這條直線就屬于對稱軸。從軸對稱的定義來看，對稱軸可以將圖形分為相等的兩部分，且在鏡面反射過程中也不會(huì)出現(xiàn)變化。常見的軸對稱圖形有等腰三角形、等邊三角形以及正方形等（如圖1所示）。第二，中心對稱圖形。初等數(shù)學(xué)中對中心對稱圖形的表述為“若將一個(gè)平面圖形繞著平面上某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，旋轉(zhuǎn)后的圖形能與之前的圖形完全重合，這一圖形就屬于中心對稱圖形，這一點(diǎn)屬于對稱中心”[2]。常見的中心對稱圖形有橢圓形、拋物線以及雙曲線等。而中心對稱圖形與軸對稱圖形也有一定的關(guān)系，例如中心對稱圖形具有一個(gè)對稱中心點(diǎn)，而軸對稱圖形具有一條對稱軸;驗(yàn)證中心對稱圖形需要將圖形圍繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°，而驗(yàn)證軸對稱圖形需要將圖形按照對稱軸反轉(zhuǎn)180°;在旋轉(zhuǎn)之后，中心對稱圖形的旋轉(zhuǎn)圖形會(huì)與原圖形重合，而軸對稱圖形的旋轉(zhuǎn)圖形會(huì)與另一圖形重疊。從這些方面來看，軸對稱圖形不一定是中心對稱圖形，如等腰三角形等只屬于軸對稱圖形，不屬于中心對稱圖形。而中心對稱圖形也不一定是軸對稱圖形，如平行四邊形屬于中心對稱圖形，但不屬于軸對稱圖形。也有很多圖形同屬于軸對稱圖形和中心對稱圖形，如橢圓、正方形等。第三，平移對稱圖形。平移對稱圖形指的是如果按照一個(gè)方向?qū)⒁粋€(gè)平面圖形平移一段距離，且平移后的圖形能與原圖形重合，該圖形就屬于平移對稱圖形。例如，正弦函數(shù)的圖像就屬于平移對稱圖形。

第一，面對稱圖形。在給定平面的反射情況下，若立體圖形能夠變?yōu)樵瓐D形，則該立體圖形屬于面對稱圖形。常見的面對稱圖形有正方體、正四面體等，其中正方體的對稱面有九個(gè)，而正四面體有六個(gè)對稱面。同時(shí)，球體、圓錐也屬于面對稱圖形，且都具有無數(shù)個(gè)對稱面。從某種角度來看，面對稱圖形與軸對稱圖形十分相似，所以可以將軸對稱圖形看作是特殊的面對稱圖形[3]。但是，面對稱圖形的對稱性更加復(fù)雜，需要深入研究。第二，旋轉(zhuǎn)對稱圖形。如果將一個(gè)立體圖形繞著某一條定直線旋轉(zhuǎn)任意角度，且旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原圖形重合，該圖形就屬于旋轉(zhuǎn)對稱圖形。例如，正四面體旋轉(zhuǎn)120°或240°都能與原圖形重合。

（3）對稱性在公式與定理中的表現(xiàn)形式。

第一，公式。公式對稱性指的是公式當(dāng)中的運(yùn)算符號(hào)具有可交換性，即使互換公式中的符號(hào)也不會(huì)影響公式作用的發(fā)揮。相比于幾何圖形的對稱性，公式的對稱性不太明顯，但是可以豐富公式的內(nèi)涵。例如，s=屬于海倫公式，具有計(jì)算三角形面積的作用[4]。在這一公式當(dāng)中，a、b、c代表的是三角形三邊的周長，p指的是三角形周長的二分之一。任意更換a、b、c都不會(huì)改變公式的意義。且這一公式的對稱性屬于對稱輪換，受到了乘法結(jié)合律以及乘法交換律等因素的影響。第二，定理。大量的概念與定理當(dāng)中也具有對稱性的特點(diǎn)，如乘法與除法、加法與減法、函數(shù)與反函數(shù)等。

2.2對稱性在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

利用對稱性可有效解決各類數(shù)學(xué)問題。

第一，可以利用對稱性預(yù)測問題的結(jié)果。部分?jǐn)?shù)學(xué)題目較難，應(yīng)用對稱性可以預(yù)測問題的答案，之后再逐步驗(yàn)證答案正確與否。

第三，利用對稱性進(jìn)行題目的轉(zhuǎn)化。部分?jǐn)?shù)學(xué)題目當(dāng)中蘊(yùn)含了對稱性知識(shí)，但是很難看出來，就需要分析其中的對稱性，并將復(fù)雜題目轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵晤}目。

第四，利用對稱性進(jìn)行正確選擇。很多數(shù)學(xué)題目的解題方法都不止一種，但是為了提高解題效率需要選擇最簡便的解題方法。而利用對稱性就可以分析題目的簡單解題方法，從而提高解題質(zhì)量。

3.對稱性在高等數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式與應(yīng)用

對稱性在高等數(shù)學(xué)中也占據(jù)著重要地位，需要充分了解對稱性在高等數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式與具體應(yīng)用。

3.1對稱性在高等數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式

微積分主要是由微分學(xué)與積分學(xué)共同構(gòu)成的，其中微分學(xué)包括極限理論、微分、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容，而積分學(xué)包括定積分與不定積分等內(nèi)容。極限理論指的是若一個(gè)函數(shù)或數(shù)列無限接近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是這個(gè)函數(shù)或數(shù)列的極限;微分指的是對函數(shù)局部變化率的線性描述，可以描述當(dāng)函數(shù)自變量的取值發(fā)生十分微小的變化時(shí)，函數(shù)的值發(fā)生的變化;導(dǎo)數(shù)即當(dāng)自變量的增量無限接近于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限[5]。而對稱性在微積分中發(fā)揮著重要作用，需要綜合分析其作用。

3.2對稱性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

對稱性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范圍十分廣泛。例如，對偶是常見的對稱性表現(xiàn)形式。從本質(zhì)上看，對偶屬于極性互反關(guān)系，主要包括序?qū)ε?、邏輯對偶以及射影空間對偶等類型。其中，序?qū)ε贾傅氖嵌P(guān)系中的≧，≦;邏輯對偶指的是存在與不存在之間的關(guān)系，某個(gè)與任意之間的關(guān)系;射影空間對偶指的是射影平面上的點(diǎn)與直線。射影定理指的是在直角三角形當(dāng)中，斜邊上的高是兩個(gè)直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊都是這條直角邊在斜邊上的射影以及斜邊的比例中項(xiàng)。而對偶原理在射影空間中占據(jù)著重要地位，可以利用對偶原理分析射影定理問題，判斷命題的真假性。例如，若a、b、c、d屬于四個(gè)不同的平面，且a，b這兩個(gè)平面的交線和c，d這兩個(gè)平面的交線共面。判斷，a、b、c、d四個(gè)平面共點(diǎn)，且a，c這兩個(gè)平面的交線與b，d這兩個(gè)平面的交線也共面這一命題的真假。這一問題的難度相對較大，可以利用對偶原理解決問題，從而證明命題的真假。

4.結(jié)語

根據(jù)難度可以將數(shù)學(xué)分為初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)，而對稱性這一概念貫穿數(shù)學(xué)本身，在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)中發(fā)揮著重要作用。在初等數(shù)學(xué)中，可以利用對稱性解決平面幾何與立體幾何等問題。在高等數(shù)學(xué)中，可以利用對稱性解決二重積分等問題。需高度重視對稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，并通過有效措施充分發(fā)揮對稱性的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]李紅玲.對不需要極限及無窮小概念的微積分新理論的研究[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，39（5）：43-47.

[2]宋英平.基于專業(yè)應(yīng)用下的高職數(shù)學(xué)課程微積分案例研究[J].中國多媒體與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)學(xué)報(bào)（中旬刊），2021（10）：152-154+117.

[3]荊素風(fēng).高等數(shù)學(xué)微積分教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法滲透策略[J].山西財(cái)政稅務(wù)?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2021，23（6）：69-71.

[4]尹松庭.對稱性在積分計(jì)算中的運(yùn)用[J].樂山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，36（12）：1-4.

[5]姚青.生活數(shù)學(xué)新教材中數(shù)學(xué)模型思想的滲透 ——以人教版《生活數(shù)學(xué)》二年級(jí)“得數(shù)是3的加法（合一合）”教學(xué)為例[J].現(xiàn)代特殊教育，2021（23）：51-53.

[6]劉紅梅.二重積分計(jì)算巧用對稱性簡化求解[J].普洱學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，34（6）：45-47.

[7]王湘萍.淺談對稱性和奇偶性在積分學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（22）：127-128.