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        一道高等數(shù)學(xué)求極限習(xí)題的不同解法背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)與原理

        2022-05-23 02:14:46
        數(shù)理化解題研究 2022年15期
        關(guān)鍵詞:乘積分式等價(jià)

        李 霞

        (云南民族大學(xué) 650031)

        1 由一題多解引發(fā)的疑問(wèn)

        =5-3=2

        (此處利用等價(jià)代換,當(dāng)x→0時(shí),sinx~x,sin5x~5x,sin3x~3x)

        利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限可以使得計(jì)算簡(jiǎn)化,從以上幾種方法比較來(lái)看,方法三與四應(yīng)該是所有解法中較簡(jiǎn)單的,但是卻很少有甚至沒(méi)有同學(xué)用這兩種方法做.

        問(wèn)題例1能不能寫(xiě)成如下形式呢?

        在講課本第一章第3節(jié)無(wú)窮大與無(wú)窮小,利用無(wú)窮小量進(jìn)行等價(jià)代換求極限時(shí),我們通常對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào),可以對(duì)分式的整個(gè)分子或分母進(jìn)行等價(jià)代換,也可以代換分子或分母中的因式,但分子或分母為多個(gè)式子的代數(shù)和的時(shí)候,一般不能代替其中的一項(xiàng),否則就易出錯(cuò).為什么不能代換,很多書(shū)上避而不談,可為什么如上問(wèn)題結(jié)論又是對(duì)的,那樣做到底對(duì)不對(duì),這或許就是很多同學(xué)迷惑的原因.

        2 解決疑問(wèn)有妙招:極限四則運(yùn)算法則來(lái)幫忙

        例1利用等價(jià)無(wú)窮小求極限的問(wèn)題,可以歸結(jié)為分式中分子或分母只有其中一個(gè)可直接等價(jià)代換或只有其中一個(gè)可化簡(jiǎn)成乘積的形式進(jìn)行代換的情形,怎么求極限呢,我們可以結(jié)合極限的四則運(yùn)算法則來(lái)解決.

        例2判斷下列的題能否拆成兩項(xiàng)直接利用等階無(wú)窮小代換進(jìn)行求極限.

        (∵當(dāng)x→0時(shí),sinx~x,tanx~x,ln(1+2x2-x3+2x4)~2x2-x3+2x4)

        那么對(duì)以分子分母都是加減,且分子分母都不易化成乘積的形式的極限計(jì)算,還能利用等價(jià)代換嗎?

        3 還有疑問(wèn)再探究:查閱資料引理來(lái)幫忙

        以上例4求極限的問(wèn)題,可以歸結(jié)為分式中分子和分母都不能化簡(jiǎn)成乘積的形式的情形,那是否還可以用等價(jià)代換呢?

        筆者查閱了相關(guān)資料,對(duì)于此種類(lèi)型的極限計(jì)算的方法,在許多文獻(xiàn)中都有介紹,除了利用洛必達(dá)法則外,仍可以利用等階無(wú)窮小代換來(lái)求解.在作者祝微、楊春艷《等階無(wú)窮小代換定理的拓展》一文中,給出了如下定理,下面我以引理形式給出:

        設(shè)α~α′,β~β′,γ~γ′,μ~μ′均為同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量.

        引理1與引理2的證明,見(jiàn)參考文獻(xiàn)[3].

        利用引理的結(jié)論,例4就可以直接利用如下等階代換求極限:

        總之,使用等價(jià)無(wú)窮小代換,是求函數(shù)極限常用的一種方法之一,在一定條件下,恰當(dāng)?shù)乩玫葍r(jià)無(wú)窮小代換求極限,可以很大程度上簡(jiǎn)化極限的計(jì)算.當(dāng)然,等學(xué)生學(xué)習(xí)了第二章導(dǎo)數(shù)及第三章微分中值定理以后,對(duì)于這種“0/0”型的極限計(jì)算,也可以考慮用洛必達(dá)法則求極限.

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