秦鵬程， 王 銳， 姜 洋

(1. 陸軍炮兵防空兵學(xué)院， 安徽合肥 230031; 2. 中國兵器工業(yè)第206研究所， 陜西西安 710000)

0 引言

炮位偵校雷達(dá)是保障炮兵全天候、全天時(shí)獲取戰(zhàn)場情報(bào)信息不可或缺的重要偵察裝備。彈道外推算法是炮位偵校雷達(dá)實(shí)現(xiàn)炮位偵察校射功能的關(guān)鍵，算法的適用性和優(yōu)劣直接影響彈道外推的精度。在彈道外推過程中，任何數(shù)據(jù)都要受到設(shè)備或儀器、方法、環(huán)節(jié)和人員等因素的影響，因此所得到的外推結(jié)果存在誤差。

現(xiàn)將主要誤差因素描述如下：

1) 地球曲率：在建立炮位偵校雷達(dá)數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)時(shí)，通常將地球表面看作水平面，而實(shí)際上由于地球表面是球面，外推炮位與真實(shí)炮位存在高程差；2) 時(shí)間不同步誤差：測量數(shù)據(jù)因采樣時(shí)間不同步間隔(不一致)引起的誤差稱為時(shí)間不同步誤差。當(dāng)前彈道測量系統(tǒng)的各設(shè)備和計(jì)算機(jī)均應(yīng)工作在統(tǒng)一時(shí)間基準(zhǔn)上，時(shí)間不同步會(huì)產(chǎn)生測量誤差和數(shù)據(jù)處理誤差；3) 彈道模型誤差：建立彈道方程最初的目的主要是為了編制射表，因此彈道方程只是較好地?cái)M合了火炮射程，但對(duì)整條彈道曲線的空間位置擬合效果并不理想。即彈道模型和真實(shí)彈道并不完全重合，存在模型誤差；4) 信噪比變化：雷達(dá)的檢測能力測量誤差實(shí)質(zhì)上受信噪比影響，雷達(dá)量測信噪比受雷達(dá)與目標(biāo)距離的影響，并隨著距離的增加而減小。

本文結(jié)合精密雷達(dá)測量數(shù)據(jù)和七態(tài)濾波外推算法對(duì)以上誤差因素進(jìn)行詳細(xì)建模和量化分析，為算法優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。

1 建模分析1.1 地球曲率對(duì)定位精度的影響

炮位偵察過程中，考慮地球曲率所引起的外推落點(diǎn)高程差可概略用下式計(jì)算。

(1)

式中，為地球半徑，為雷達(dá)到炮位的距離。

如圖1所示，雷達(dá)在利用…采樣點(diǎn)進(jìn)行外推時(shí)，將地球表面當(dāng)做一個(gè)水平面。外推炮位在，而實(shí)際上由于地球表面是球面，炮位并未在點(diǎn)而是繼續(xù)下落到點(diǎn)，在原來假設(shè)落點(diǎn)處實(shí)際還存在一個(gè)彈道高度'。從平面幾何可知：

≈=

(2)

(3)

解算彈道方程時(shí)，根據(jù)落點(diǎn)高程來確定落點(diǎn)。因此，高程差的存在對(duì)定位精度存在較大影響?？紤]到地球曲率的影響，在外推到炮位高程時(shí)，再繼續(xù)向下遞推。

圖1 地球表面曲率對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的影響

1.2 時(shí)間不同步誤差

理想條件下，某炮位偵校雷達(dá)采樣點(diǎn)間隔取固定值0.3 s，但由于發(fā)射機(jī)電路及波導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)發(fā)射脈沖的延時(shí)作用，造成掃描起始時(shí)刻超前于天線口輻射的時(shí)刻，可能造成實(shí)際采樣間隔大于0.3 s，以某炮位偵校雷達(dá)為例，其實(shí)際采樣步長接近0.4 s。靶場試驗(yàn)證明：采樣點(diǎn)間隔取0.4 s，外推結(jié)果更接近真實(shí)炮位，由于雷達(dá)系統(tǒng)不同，采樣步長可能會(huì)有所不同。

1.3 真實(shí)彈道與模型匹配情況

射表用的彈道模型存在模型誤差，并且外推距離越遠(yuǎn)，外推誤差越大，如圖2所示。

圖2 模型誤差影響外推精度示意圖

外推距離受遮蔽角影響，遮蔽角越大，雷達(dá)起始波束俯仰角增大，開始采樣時(shí)間距發(fā)射時(shí)間越長，外推距離增加，模型誤差累積越多，雷達(dá)的偵察定位精度誤差就會(huì)越明顯。

圖 3為遮蔽角影響外推精度示意圖。正常情況下，起始波束到截止波束的角度為固定值。和分別為不同遮蔽角下起始波束俯仰角低和高時(shí)的外推起點(diǎn)，外推距離分別為點(diǎn)、到外推炮位的彈道曲線長度。從圖中可以看出，在作用距離和火炮射角相同的情況下，遮蔽角越大，截止波束俯仰角就越大，外推距離也就越遠(yuǎn)，導(dǎo)致外推誤差越大。其彈丸位置對(duì)應(yīng)的俯仰角可用下式表示：

(4)

式中，為彈丸北向坐標(biāo)，為彈丸高度，為炮位距雷達(dá)距離，為彈丸位置對(duì)應(yīng)的俯仰角。

圖3 遮蔽角影響外推精度示意圖

圖4為雷達(dá)作用距離影響外推精度示意圖。和分別為近作用距離和遠(yuǎn)作用距離時(shí)的外推起點(diǎn)，外推距離分別為點(diǎn)、到外推炮位的彈道曲線長度。從圖中可以看出，在火炮射角和雷達(dá)起始波束俯仰角相同的條件下，雷達(dá)的作用距離越遠(yuǎn)，外推距離就會(huì)越遠(yuǎn)，導(dǎo)致外推誤差也就越大。

圖4 雷達(dá)作用距離影響外推精度示意圖

以上情況均以偵察作業(yè)為例，其分析結(jié)果同樣適用于校射作業(yè)。

1.4 彈丸與雷達(dá)距離決定信噪比

設(shè)雷達(dá)的發(fā)射功率為，天線增益為，則在自由空間工作時(shí)，距離天線處目標(biāo)的功率密度為

(5)

假設(shè)目標(biāo)可將接收到的功率無損耗、均勻地輻射出來，用目標(biāo)的散射截面積來表征其散射特性，接收天線的有效接收面積為，則在雷達(dá)接收處接收回波功率為

(6)

由式(6)可以看出，接收的回波功率反比于目標(biāo)和雷達(dá)站間的距離的四次方。

若誤差的度量是測量值(估計(jì)值)和真實(shí)值之間差的均方根值(RMS)，雷達(dá)測量的理論均方根誤差可表示為

(7)

式中，是大約為1的常數(shù)，是接收信號(hào)能量，是單位帶寬噪聲功率。

從一個(gè)簡單的信號(hào)脈沖波形來看，若其寬度為，則接收信號(hào)能量=·，噪聲功率和噪聲功率譜密度之間的關(guān)系為=。一般情況下可認(rèn)為=1，這樣可得到信號(hào)功率比的表達(dá)式如下：

(8)

故正比于，可表示為

(9)

引入零均值高斯白噪聲，其方差為，則量測方程為

=()+

(10)

由式(9)可知

(11)

式中，、、分別為觀測量中距離、方位角、俯仰角噪聲方差與以彈丸距雷達(dá)距離四次方為分母函數(shù)的系數(shù)，表示兩者之間的正比關(guān)系。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 仿真條件

以122榴彈為例，利用靶場彈道精密測量雷達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算。主要仿真條件如下：

1) 彈丸發(fā)射條件：初速=700 m/s，射角=195°；2) 取雷達(dá)測量誤差：=65 m，==15 mil；3) 雷達(dá)距離炮位15 km，雷達(dá)初始采樣點(diǎn)的俯仰角為3.1°，采樣間隔 300 ms，從初始采樣點(diǎn)繼續(xù)探測18個(gè)彈道點(diǎn)后采樣中止。采用兩點(diǎn)差分法對(duì)狀態(tài)進(jìn)行初始化。

建立考慮彈道系數(shù)的七維狀態(tài)向量、三維量測模型，在此過程中使用經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)模型。分別利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)進(jìn)行濾波處理，得到外推起點(diǎn)，用龍格-庫塔法外推發(fā)射點(diǎn)。進(jìn)行10 000次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果并分析。

2.2 地球曲率對(duì)定位精度的影響

對(duì)地球曲率影響下的坐標(biāo)變換進(jìn)行建模，代入彈道外推算法中，通過比較考慮地球曲率的彈道外推算法在不同雷達(dá)和炮位距離條件下定位的圓中心概率誤差(Ecp)，研究地球曲率對(duì)定位精度的影響，如表1所示。

由表1可以看出，雷達(dá)距離炮位越遠(yuǎn)，地球曲率對(duì)定位精度的影響越大，采用考慮地球曲率模型的算法估計(jì)精度優(yōu)勢越明顯。以UKF算法為例，當(dāng)雷達(dá)距離炮位15 km時(shí)，新算法定位精度提高83.2%；當(dāng)雷達(dá)距離炮位40 km時(shí)，新算法定位精度提高168.3%。

表1 雷達(dá)與炮位在不同距離條件下受地球曲率的影響

2.3 時(shí)間不同步對(duì)定位精度的影響

仿真中取采樣步長0.3 s，而由于存在采樣時(shí)間不同步，實(shí)際采樣步長為0.4 s。對(duì)造成時(shí)間不同步的采樣時(shí)間誤差進(jìn)行研究，通過仿真實(shí)現(xiàn)了采樣間隔和濾波間隔不同步條件下的濾波，求其圓中心概率誤差(Ecp)，得到表2。

表2 時(shí)間不同步對(duì)定位精度的影響

可以看出：考慮時(shí)間不同步的外推算法(以UKF算法為例)定位精度提高了127.2%。為進(jìn)一步分析以上結(jié)論，對(duì)濾波終點(diǎn)的位置、速度、彈道系數(shù)誤差進(jìn)行比較，如圖5、圖6所示。

圖5 EKF中考慮時(shí)間不同步誤差與否的對(duì)比

圖6 UKF中考慮時(shí)間不同步誤差與否的對(duì)比

圖5、圖6分別為用EKF、UKF算法對(duì)是否考慮采樣點(diǎn)時(shí)間不同步進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的結(jié)果，將精密測量雷達(dá)數(shù)據(jù)作為采樣點(diǎn)真實(shí)位置、速度，結(jié)合動(dòng)力學(xué)方程得到真實(shí)彈道系數(shù)。由圖5、圖6可以看出：時(shí)間不同步對(duì)彈道系數(shù)的估計(jì)精度沒有明顯影響，但隨著處理采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，位置誤差、速度誤差逐漸增大，造成外推精度的降低。

2.4 彈道模型誤差對(duì)定位精度的影響

為研究模型誤差，利用經(jīng)典動(dòng)力學(xué)模型和精簡動(dòng)力學(xué)模型結(jié)合四階龍格-庫塔方程仿真彈道。標(biāo)準(zhǔn)條件下一條彈道由彈道系數(shù)()或阻力系數(shù)()、初速()和仰角()唯一確定。阻力系數(shù)()利用精簡動(dòng)力學(xué)方程求?。?/p>

(12)

初速()、仰角()取精密彈道數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)初值的對(duì)應(yīng)值。得到各彈道和仿真彈道對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置誤差如圖7、圖8所示。

圖7 仿真彈道與真實(shí)彈道對(duì)比

圖8 不同模型仿真彈道的位置誤差

通過計(jì)算得到圖7、圖8中數(shù)據(jù)彈道系數(shù)為0.571 4，阻力系數(shù)為0.07。為方便觀察，圖7(b)對(duì)圖7(a)部分彈道進(jìn)行放大。從以上仿真結(jié)果中可以看出：1)仿真彈道在上升沿時(shí)有較高的精度，與真實(shí)彈道的位置誤差較小，在上升到彈道頂點(diǎn)附近時(shí)誤差開始變大。2)在到達(dá)頂點(diǎn)之前，即上升沿經(jīng)典和精簡兩種動(dòng)力學(xué)模型都有較高的擬合程度。因此，相對(duì)炮位校射仿真，在進(jìn)行炮位偵察仿真時(shí)，精度較高。而在全彈道的位置誤差分析中，經(jīng)典動(dòng)力學(xué)模型位置誤差較小，擬合程度較高。

為研究遮蔽角對(duì)定位精度的影響，利用精密彈道數(shù)據(jù)，變換俯仰角大小進(jìn)行仿真。在炮位距雷達(dá)=15 km時(shí)，因?yàn)槔走_(dá)從第三秒開始采樣，可仿真最小俯仰角為2.646 0°，俯仰角從3°開始每間隔0.5°采樣，得到仿真結(jié)果如表3所示。

表3 雷達(dá)距炮位15 km時(shí)不同俯仰角對(duì)應(yīng)的定位精度

當(dāng)炮位距雷達(dá)=40 km時(shí)，可仿真最小俯仰角為1°，俯仰角從1°開始每間隔0.5°采樣，得到仿真結(jié)果如表4所示。

表4 雷達(dá)距炮位40 km時(shí)不同俯仰角對(duì)應(yīng)的定位精度

由表3、表4可以看出：1)其他條件不變，外推誤差隨著俯仰角增大而增大；2)相同俯仰角條件下，雷達(dá)與炮位距離越遠(yuǎn)，定位精度越差。

2.5 定位精度與信噪比的關(guān)系

當(dāng)雷達(dá)與彈丸相距為時(shí)，取雷達(dá)測量誤差：=65 m，==15 mil。由式(9)可假設(shè)，雷達(dá)彈丸距離為時(shí)，雷達(dá)測量噪聲：

(13)

表5列出了初始彈丸與雷達(dá)距離，以及對(duì)應(yīng)的是否考慮信噪比變化的雷達(dá)定位精度。由表5可知：考慮目標(biāo)信噪比變化時(shí)，由于模型更符合實(shí)際情況，因而炮位偵校雷達(dá)定位精度比不考慮雷達(dá)定位精度要提高10%左右。

表5 定位精度與信噪比的關(guān)系

3 因素比較與優(yōu)化方案

前面從外推精度、估計(jì)精度、彈道模型誤差等方面建模并量化分析了地球曲率、時(shí)間不同步、彈道模型誤差、信噪比變化等因素對(duì)炮位偵校雷達(dá)外推過程的影響。為綜合比較各因素對(duì)定位精度的影響程度，在2.1節(jié)仿真條件的前提下，每次調(diào)整其中一項(xiàng)進(jìn)行UKF濾波處理。結(jié)合表1～表5，對(duì)比外推結(jié)果，如表6所示。

表6 各因素對(duì)定位精度影響比較

由表6可以看出：各因素對(duì)定位精度的影響均較大，無法忽略。其中，通過比較是否考慮各誤差因素的外推結(jié)果，可知各因素對(duì)定位精度影響幅度依次為：地球曲率>時(shí)間不同步>彈道模型誤差>信噪比變化。在此基礎(chǔ)上，提出優(yōu)化方案如表7所示。

表7 炮位偵校雷達(dá)定位精度優(yōu)化方案

4 結(jié)束語

本文通過研究炮位偵校雷達(dá)工作的原理，對(duì)地球曲率變換、時(shí)間不同步、外推距離影響彈道模型誤差、彈丸與雷達(dá)距離和信噪比的關(guān)系等一系列問題進(jìn)行建模與仿真。通過理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證，得到了一些指導(dǎo)性的結(jié)論，可為炮位偵校雷達(dá)優(yōu)化數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)提供參考。