萬(wàn)里平，朱國(guó)棟

(1.中國(guó)石化工程建設(shè)有限公司，北京 100101；2.中國(guó)特種設(shè)備檢測(cè)研究院，北京 100029)

符號(hào)說(shuō)明:

E——多孔板在設(shè)計(jì)溫度下的彈性模量，MPa；

E*——三角形布管的管板等效為當(dāng)量圓平板后的等效彈性模量，MPa;

Ez*——三角形布管的管板等效為當(dāng)量圓平板后的厚度方向等效彈性模量，MPa;

υ——多孔板的材料泊松比;

υ*——三角形布管的管板等效為當(dāng)量圓平板后的等效泊松比;

η——抗彎剛度系數(shù);

μ*——管帶系數(shù)，同ASME規(guī)范;

h——管板厚度，mm;

p——管心距，mm;

d*——有效管孔直徑，同ASME規(guī)范，mm;

G——多孔板剪切模量，MPa;

G*——三角形布管的管板等效為當(dāng)量圓平板后的等效剪切模量，MPa;

Gz*——三角形布管的管板等效為當(dāng)量圓平板后承受橫向剪切載荷的等效剪切模量，MPa;

KPS——確定管板表面膜加彎應(yīng)力的放大系數(shù)

0 引言

換熱器是石化裝置中最常見(jiàn)的熱交換設(shè)備，隨著裝置大型化，換熱器的規(guī)模也逐漸增大，對(duì)于某些超過(guò)常規(guī)設(shè)計(jì)規(guī)范的換熱器，需要按照分析設(shè)計(jì)規(guī)范，采用有限元方法進(jìn)行數(shù)值模擬及應(yīng)力評(píng)定[1-3]。換熱器的數(shù)值模擬中，核心內(nèi)容在于管板和換熱管的模擬。采用分析設(shè)計(jì)的換熱器通常直徑較大，布管數(shù)量較多，若按照實(shí)際結(jié)構(gòu)建立真實(shí)管板和換熱管模型，則模型單元網(wǎng)格數(shù)量較大，計(jì)算效率較低。世界幾大壓力容器設(shè)計(jì)體系中，均采用了將開(kāi)孔的管板等效為開(kāi)孔削弱當(dāng)量圓平板的計(jì)算方法，對(duì)當(dāng)量圓平板計(jì)算等效彈性模量E*和等效泊松比υ*，使得等效圓平板與原開(kāi)孔管板具有相同的剛度和強(qiáng)度。

合理確定等效削弱參數(shù)保證了等效圓平板變形和應(yīng)力結(jié)果的準(zhǔn)確性。OSWEILLER[4]對(duì)1948年至1989年期間發(fā)表的關(guān)于等效削弱參數(shù)的61篇研究文獻(xiàn)進(jìn)行了綜述，介紹了等效削弱參數(shù)的理論、試驗(yàn)基礎(chǔ)和標(biāo)準(zhǔn)采信情況。2014年ASME PTB-7—2014 ASME Ⅷ-1 UHX篇《管殼式換熱器標(biāo)準(zhǔn)釋義》進(jìn)一步介紹了等效削弱參數(shù)的3個(gè)研究階段和ASME采信情況。結(jié)合文獻(xiàn)[4]與ASME PTB-7—2014，可以看到：(1)1948年至1959年，針對(duì)三角形布管方式，引入抗彎剛度系數(shù)η用以描述開(kāi)孔對(duì)平板變形的影響，發(fā)現(xiàn)等效彈性模量E*和等效泊松比υ*與以下因素有關(guān)，即管帶系數(shù)，板厚，原材料彈性模量和泊松比，以及載荷形式(面內(nèi)載荷或彎曲載荷)，通過(guò)試驗(yàn)確定了管帶系數(shù)μ*=0.285的三角形布管管板，在全布滿(mǎn)和非全布滿(mǎn)等情況下的剛度減弱系數(shù)η，該系數(shù)1965年引入BS 1515—1965《焊接式壓力容器》；(2)1960年至1962年，研究對(duì)象仍為三角形布管管板，以h/p=2作為薄管板和厚管板的分界線(xiàn)，對(duì)于h/p≥2的平板，載荷形式對(duì)于等效削弱參數(shù)影響非常小，此時(shí)E*/E和υ*可以表示為管帶系數(shù)μ*的函數(shù)，1966年版的ASME Ⅲ和ASME Ⅷ-2采納了這一研究成果;(3)1963年至1985年，得益于高性能計(jì)算機(jī)誕生以及有限元方法的快速發(fā)展，進(jìn)一步研究了四邊形布管管板的等效削弱參數(shù)，提出沿管心距方向和對(duì)角線(xiàn)方向的等效削弱參數(shù)不同，并通過(guò)試驗(yàn)及有限元方法給出了0.1

ASME Ⅷ-2(2021版)附錄5-E多孔板的等效方案，總的思路如下：(1)通過(guò)Option A/B/C任一方案，得到等效彈性模量E*,Ez*,等效剪切模量G*,Gz*，以及等效泊松比υ*等參數(shù)；(2)計(jì)算各向異性等效彈性模量矩陣的E11～E66等參數(shù)；(3)有限元模型中，設(shè)置各向異性彈性模量，載荷邊界條件根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整；(4)評(píng)定時(shí)許用應(yīng)力極限值需引入KPS和μ*作為系數(shù)。附錄5-E中Option A和Option B均給出簡(jiǎn)化過(guò)程需要的等效削弱參數(shù)，Option C方案是通過(guò)數(shù)值模擬得出等效削弱參數(shù)。

近年來(lái)，隨著煉化裝置產(chǎn)能快速增長(zhǎng)，換熱器的直徑不斷增加，附錄5-E在換熱器的設(shè)計(jì)中得到越來(lái)越多的應(yīng)用[12-14]。由于附錄5-E中沒(méi)有指明Option A和Option B的區(qū)別，工程人員在選擇方案上可能存在疑問(wèn)。本文對(duì)Option A和Option B兩種多孔板簡(jiǎn)化方案進(jìn)行探討，并從力學(xué)理論角度分析A與B的區(qū)別，為工程人員進(jìn)行管板簡(jiǎn)化提供參考，最后對(duì)各向異性和各向同性等效削弱參數(shù)對(duì)當(dāng)量圓平板分析結(jié)果的影響進(jìn)行對(duì)比研究。

1 Option A與Option B的異同點(diǎn)

附錄5-E的適用范圍為數(shù)量不小于19個(gè)開(kāi)孔的正三角形或正方形均布且垂直開(kāi)孔的圓形多孔板。前人研究表明，等效削弱參數(shù)與載荷形式(平面內(nèi)載荷或彎曲載荷),h/p，管孔排布形式(正三角形或正四邊形)及管帶系數(shù)μ*等相關(guān)。Option A適用于所有厚度圓平板，不同的h/p對(duì)應(yīng)不同的等效削弱參數(shù)，該方案對(duì)平面內(nèi)載荷和彎曲載荷情況均適用。Option B的h/p分兩種情況，當(dāng)h/p<2時(shí)，采用平面應(yīng)力的參數(shù)，且僅適用于平面內(nèi)載荷；當(dāng)h/p≥2時(shí)，采用一般平面應(yīng)變的參數(shù)，考慮了平面內(nèi)載荷和彎曲載荷情況。無(wú)論何種方案，對(duì)于h/p<0.1，按h/p=0.1取值；對(duì)于h/p>2，按h/p=2取值。兩種方案的適用范圍不同，使用方法不同，計(jì)算結(jié)果的差異性更關(guān)系到設(shè)計(jì)合理性和運(yùn)行安全，下文以正三角形分布的管板為例，進(jìn)行詳細(xì)討論。

1.1 Option A方案

Option A中，等效削弱參數(shù)E*和υ*是與h/p和μ*的函數(shù)。以正三角形布管的管板為例，E*和υ*與μ*的函數(shù)關(guān)系見(jiàn)式(1)(2)，ASME Ⅷ-2表5-E.1和表5-E.2給出了此兩項(xiàng)關(guān)系式系數(shù)A1～A7，B1～B7的值，取值與h/p相關(guān)。

(1)

(2)

h/p和μ*與以下幾個(gè)管板實(shí)際幾何參數(shù)有關(guān)：管板厚度h，管心距p，有效管孔直徑d*。文獻(xiàn)[4]認(rèn)為，ASME Ⅷ-2使用的管板等效方法，結(jié)合了O′DONNELL和LANGER的理論，以及SAMPSON和MEIJER的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[4]給出了MEIJERS的試驗(yàn)值，見(jiàn)表1。為驗(yàn)證ASME規(guī)范中等效削弱參數(shù)的來(lái)源，通過(guò)式(1)(2)，分別計(jì)算μ*=0.25和0.33時(shí)，不同的h/p對(duì)應(yīng)的E*/E，列入表1。

表1 E*/E的MEIJERS試驗(yàn)值與ASME Ⅷ-2附錄5-E的數(shù)據(jù)對(duì)比Tab.1 The comparison of E*/E between experimental data by MEIJERS and data as per Appendix 5-E,ASME Ⅷ-2

由表1的數(shù)據(jù)可以看出,Option A采用的等效削弱參數(shù)與MEIJERS試驗(yàn)值非常接近，可見(jiàn)該參數(shù)具有試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為支撐。Option A中E*/E計(jì)算結(jié)果較試驗(yàn)值多數(shù)情況偏大。

圖1 μ*=0.25，0.33時(shí)，E*/E隨h/p變化的曲線(xiàn)Fig.1 The trend curves of E*/E with variable h/pwhen μ*=0.25，0.33

O′DONNELL[10]給出了SAMPSON的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，圖1示出SAMPSON和MEIJERS試驗(yàn)數(shù)據(jù)與ASME Option A計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，可以看出，在h/p>2的范圍內(nèi)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)和Option A計(jì)算值非常接近，當(dāng)μ*=0.25時(shí)，Option A 取為定值，并大于SAMPSON的試驗(yàn)數(shù)據(jù)；當(dāng)μ*=0.33時(shí)，Option A取值在兩次試驗(yàn)值附近。

由表1和圖1可以看出，在0.1

表2 ASME規(guī)范中Option A與ASME Ⅷ-2中4.18節(jié)的E*/E計(jì)算值對(duì)比Tab.2 The comparison of E*/E in Option A and Subsection 4.18 in ASME Ⅷ-2

1.2 Option B方案

Option B給出了計(jì)算等效彈性模量E*,Ez*,等效剪切模量G*,Gz*，以及等效泊松比υ*等參數(shù)的公式。對(duì)于不同的h/p，按兩種情況處理：h/p<2時(shí)，視為平面應(yīng)力狀態(tài)，按式(3)～(5)計(jì)算，h/p≥2時(shí)，視為一般平面應(yīng)變狀態(tài)，按式(6)～(8)計(jì)算。平面應(yīng)力和一般平面應(yīng)變時(shí)其他面外等效參量的修正按式(9)(10)計(jì)算。

平面應(yīng)力：

E*=E[-0.000710796+0.138017μ*+4.22004μ*2

-7.55885μ*3+7.08667μ*4-2.88588μ*5]

(3)

υ*=0.999804-3.94540μ*+8.47377μ*2-8.02434μ*3

+2.79724μ*4

(4)

(5)

一般平面應(yīng)變：

(6)

(7)

(8)

平面應(yīng)力和一般平面應(yīng)變：

(9)

Gz*=G(0.000209547+3.00960μ*+32.784μ*2

-16.57921μ*3)/(1+34.783μ*-33.7539μ*2

+17.1860μ*3)

(10)

因此，對(duì)于μ*一定的管板，不同的h/p，計(jì)算得到的E*/E和υ*只有兩組數(shù)值，僅在h/p=2時(shí),E*/E和υ*開(kāi)始發(fā)生變化。文獻(xiàn)[11]中，對(duì)于h/p<2的平面應(yīng)力狀態(tài)，不再考慮h/p的影響，均按平面應(yīng)力狀態(tài)考慮，給出了E*/E和υ*與μ*的關(guān)系，文獻(xiàn)[4]中的表2對(duì)文獻(xiàn)[11]的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理。下面采用Option B的公式，計(jì)算得到E*/E和υ*的值，與文獻(xiàn)[4]中的相應(yīng)數(shù)據(jù)共同列入表3。

表3 文獻(xiàn)[11]與Option B的數(shù)據(jù)對(duì)比Tab.3 The comparison of data between reference [11]and Option B

由表3可看出，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，Option B和SLOT-O′DONNELL給出的E*/E和υ*非常接近，因此可以判斷，Option B與SLOT和O′DONNELL理論結(jié)果有很好的一致性。而一般平面應(yīng)變問(wèn)題，Option B同樣采用了文獻(xiàn)[10-11]中給出的E*/E和υ*與μ*的函數(shù)關(guān)系，同樣符合SLOT-O′DONNELL理論。

1.3 Option A與Option B的區(qū)別與聯(lián)系

經(jīng)前文分析可知，Option A方案基于O′DONNELL和LANGER的理論成果及SAMPSON和MEIJER的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，Option B方案基于O′DONNELL[11]的理論成果。

對(duì)于h/p<2，Option A根據(jù)MEIJERS的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，給出E*/E和υ*關(guān)于h/p和μ*的計(jì)算公式，隨h/p和μ*不同而不同，對(duì)于h/p>2，取h/p=2的數(shù)據(jù)，即E*/E和υ*僅與μ*相關(guān)，與h/p(主要體現(xiàn)為管板厚度h)無(wú)關(guān)；對(duì)于h/p<2，Option B認(rèn)為管板處于平面應(yīng)力狀態(tài)，E*/E和υ*僅與μ*相關(guān)，與h/p無(wú)關(guān)，h/p≥2，Option B認(rèn)為管板處于一般平面應(yīng)變狀態(tài)，也給出了E*/E和υ*關(guān)于μ*的計(jì)算公式，認(rèn)為管板厚度對(duì)等效削弱參數(shù)影響不大。

文獻(xiàn)[6]指出，當(dāng)h/p>2，即對(duì)厚管板而言，承受面內(nèi)載荷和彎曲載荷時(shí)，對(duì)等效削弱參數(shù)影響不大，而當(dāng)h/p<2時(shí)，面內(nèi)載荷與彎曲載荷對(duì)該參數(shù)有所影響。Option B同SLOT-O′DONNELL的理論，平面應(yīng)力狀態(tài)的理論公式推導(dǎo)基于面內(nèi)載荷得出，因此，ASME Ⅷ-2中規(guī)定，Option B方案在h/p<2時(shí)，僅適用于承受面內(nèi)載荷的情況，而Option A在h/p<2時(shí)的等效削弱參數(shù)基于MEIJERS的試驗(yàn)數(shù)據(jù)得出，因此Option A無(wú)載荷類(lèi)型的限制。顯然，對(duì)于換熱器管板承受管程與殼程壓力且h/p<2時(shí)，一般存在面內(nèi)載荷和彎曲載荷，按Option B方案會(huì)出現(xiàn)偏差，建議采用Option A進(jìn)行計(jì)算。

以下對(duì)Option A和Option B進(jìn)行數(shù)據(jù)比較。表4示出了μ*=0.33時(shí)，Option A和Option B計(jì)算得到的E*/E和υ*與h/p之間的關(guān)系?？梢钥闯?，當(dāng)h/p<2時(shí)，兩者差別較大，Option A的E*/E隨h/p增大而降低，Option B的E*/E保持不變；當(dāng)h/p>2時(shí)，由于Option A和Option B規(guī)定按h/p=2處理，Option A和Option B計(jì)算得到E*/E和υ*相近。

表4 Option A和Option B的數(shù)據(jù)對(duì)比Tab.4 The comparison of data between Option A and Option B

2 各向異性彈性模量矩陣

2.1 理論推導(dǎo)

(11)

(12)

(13)

在此基礎(chǔ)上，附錄5-E引入等效剪切模量G*,圓平板z方向有關(guān)的Ez*和Gz*等參數(shù)，可更準(zhǔn)確描述圓平板尤其是厚平板的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)。在文獻(xiàn)[11]中，對(duì)一般平面應(yīng)變狀態(tài)的管板如何獲得各向異性彈性矩陣的參數(shù)，給出了詳細(xì)的推導(dǎo)。以三角形布管為例，文獻(xiàn)[11]中式(58)～(75)給出了相應(yīng)的力學(xué)關(guān)系，為便于理解，對(duì)其進(jìn)行整理(見(jiàn)式(14)～(19))，將其以矩陣形式表示為式(20)。對(duì)比式(14)～(16)和式(11)～(13)可知，各向同性與各向異性彈性模量區(qū)別主要在于z方向有關(guān)的Ez*和Gz*等參數(shù)。

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

求式(20)中6×6矩陣的逆矩陣，即得到式(21)～(28)所示的，與ASME Ⅷ-2中表5-E.8相似的各向異性彈性模量矩陣。

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

圖2 模型1-iso的網(wǎng)格模型和邊界條件示意Fig.2 Schematic diagram of grid model and constraintboundaries of Model 1-iso

2.2 各向同性和各向異性彈性模量的區(qū)別

為進(jìn)一步研究各向異性彈性模量矩陣對(duì)等效圓平板剛度和強(qiáng)度的影響，建立若干不同厚度h的等效圓平板有限元模型，采用Solid 185單元，平板厚度方向劃分6層網(wǎng)格，原管板正三角形布管，管心距p=52.5 mm，管帶系數(shù)μ*=0.25，管板材料的彈性模量E=1.46×105MPa，泊松比υ=0.3。在圓平板表面施加1 MPa的壓力載荷，約束平板外側(cè)面的節(jié)點(diǎn)在柱坐標(biāo)下的所有自由度，近似模擬ASME Configuration a的位移邊界。分兩種類(lèi)型設(shè)置削弱參數(shù)：(1)等效削弱參數(shù)E*和υ*；(2)各向異性彈性模量矩陣，目的是考察兩類(lèi)模型在面內(nèi)載荷和彎曲載荷作用下的變形和應(yīng)力差異，采用Option A計(jì)算等效削弱參數(shù)。其中類(lèi)型1(-iso)的模型設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表5，類(lèi)型2(-ani)的模型設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表6。以模型1-iso為例顯示有限元模型的網(wǎng)格劃分及邊界條件設(shè)置，見(jiàn)圖2。

表5 模型設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)(類(lèi)型1)Tab.5 Design data for models (Type 1)

表6 模型設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)(類(lèi)型2)Tab.6 Design data for models (Type 2)

2.2.1 驗(yàn)證各向異性彈性矩陣的設(shè)置

由式(29)可得：

(30)

式(29)中等式左側(cè),其余5個(gè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系采用同樣方法驗(yàn)證，這里不再贅述,因此該模型的材料設(shè)置是正確的。

這里需要說(shuō)明:(1)由于材料的各向異性彈性模量基于笛卡爾坐標(biāo)系，式(30)在笛卡爾坐標(biāo)系下所有節(jié)點(diǎn)均成立，但對(duì)于柱坐標(biāo)系，只有在Y=0°的節(jié)點(diǎn)可以滿(mǎn)足式(30);(2)圖3中第1和第2張圖表明，柱坐標(biāo)下X方向和Y方向的應(yīng)力分布并非完全軸對(duì)稱(chēng)狀態(tài);(3)理論推導(dǎo)過(guò)程忽略等效圓平板邊界效應(yīng)對(duì)內(nèi)部區(qū)域應(yīng)變應(yīng)力的影響，對(duì)于一個(gè)無(wú)限大的圓平板笛卡爾坐標(biāo)系下的矩陣是適用的，但在實(shí)際管板模型中，若圓平板的直徑較小，則邊界效應(yīng)可能會(huì)使得平板邊緣的等效應(yīng)變和應(yīng)力偏離正確值。

圖3 柱坐標(biāo)系下的X，Y，Z方向的應(yīng)力分布云圖

圖4 距離中心20 mm節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變

2.2.2 各向同性和各向異性彈性模量矩陣對(duì)應(yīng)力和變形的影響

對(duì)類(lèi)型1和類(lèi)型2共10個(gè)模型進(jìn)行應(yīng)力分析，得到每個(gè)模型在柱坐標(biāo)下，Y=0°方向，從管板中心到管板邊緣下表面所有節(jié)點(diǎn)在柱坐標(biāo)下X,Y,Z方向應(yīng)力及Z方向的變形，將同樣厚度的模型作為一組進(jìn)行對(duì)比，例如模型1-iso和1-ani為一組，其應(yīng)力結(jié)果和Z方向的變形結(jié)果見(jiàn)圖5,6。

圖5 模型1-iso和1-ani應(yīng)力對(duì)比Fig.5 The comparison of stresses betweenModel 1-iso and Model 1-ani

表7列出了同樣厚度的兩類(lèi)模型之間，X方向(平板中心和平板邊緣)和Y方向(平板中心和平板邊緣)的應(yīng)力以及Z方向(平板中心)變形的數(shù)值對(duì)比，從相對(duì)誤差可以看出，除去個(gè)別偏差較大值外，兩類(lèi)模型的應(yīng)力和Z方向變形基本隨參量h/p的增加而誤差增加，這與前述理論對(duì)比吻合，隨h/p增加，Z方向有關(guān)的Ez*和Gz*等參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響越大，因此對(duì)于厚管板(h/p≥2)的模型，應(yīng)采用各向異性彈性模量矩陣進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算。

圖6 模型1-iso和1-ani Z向位移對(duì)比Fig.6 The comparison of displacement in Z directionbetween Model 1-iso and Model 1-ani

表7 兩類(lèi)模型應(yīng)力結(jié)果對(duì)比Tab.7 The comparison of stresses in the two types of models

3 結(jié)論

本文總結(jié)了前人關(guān)于多孔板等效圓平板的研究成果，介紹了ASME Ⅷ-2附錄5-E中計(jì)算等效削弱參數(shù)的兩種方案Option A和Option B的理論來(lái)源。其中Option A與前人理論研究成果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)相符，適用范圍廣，無(wú)論何種厚度的管板和載荷類(lèi)型，均可以采用Option A計(jì)算等效削弱參數(shù)。Option B區(qū)分平面應(yīng)力狀態(tài)和一般平面應(yīng)變狀態(tài)，更加靈活。而當(dāng)管板處于一般平面應(yīng)變?yōu)橹鲿r(shí)，即h/p≥2時(shí)，由于Option A和Option B的理論基礎(chǔ)相似，兩種方案得到的等效削弱參數(shù)接近。當(dāng)h/p<2時(shí),Option A和Option B計(jì)算得到的參數(shù)偏差較大。對(duì)于常見(jiàn)管板多為h/p≥2，平面應(yīng)變狀態(tài)為主。

對(duì)ASME規(guī)范各向異性彈性模量矩陣進(jìn)行理論分析，并指出基于笛卡爾坐標(biāo)系的彈性模量矩陣在有限元模擬中應(yīng)注意轉(zhuǎn)換，材料參數(shù)設(shè)置應(yīng)在笛卡爾坐標(biāo)系下使用，并且應(yīng)注意模型的Z向應(yīng)與柱坐標(biāo)Z方向一致。5組圓平板模型對(duì)比了各向同性彈性模量和各向異性彈性模量對(duì)應(yīng)力和變形的影響，隨著h/p增加，Z方向的削弱參數(shù)對(duì)應(yīng)變和應(yīng)力影響增大，因此，管帶系數(shù)μ*=0.25附近，對(duì)于h/p≥2的管板，建議考慮各向異性彈性模量矩陣進(jìn)行應(yīng)力分析。