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        構(gòu)造對偶式,讓解題更高效

        2022-05-21 17:02:48何鵬張志剛
        關(guān)鍵詞:解題

        何鵬 張志剛

        將函數(shù)式F中所有的“·”變成“+”,“+”變成“·”,“o"變成“1”,“1”變成“o”,并保持原函數(shù)中的運算順序不變,則得到的新表達式為函數(shù)式F的對偶式.在解題時,依據(jù)已知關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造結(jié)構(gòu)一致,具有某種對稱關(guān)系的一對對偶式,就能通過加法﹑減法、乘法等運算,巧妙地求得問題的答案.本文重點探討一下如何巧妙地構(gòu)造對偶式.

        一.通過取倒數(shù)構(gòu)造對偶式

        有些已知關(guān)系式中含有成倒數(shù)關(guān)系的式子,此時可根據(jù)已知關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,取倒數(shù),便可構(gòu)造出方程組,通過解方程求得問題的答案.

        例1.已知2f(x)+f(一)=3x ,求函數(shù)f()的解析式.解:用↓替換已知關(guān)系式中的x ,

        得2(與)+f(x)=3,

        W)-x ’

        2r(x)+f(A)=3x,

        因此

        2r()+八(s)=寧解得f(x)=2x-!.

        顯然與x成倒數(shù)關(guān)系,已知關(guān)系式是關(guān)于f(t)與f()的關(guān)系式,于是用替換已知關(guān)系式中的x ,構(gòu)造出已知關(guān)系式的對偶式,通過解方程組求得f(x)的表達式.

        例2:

        解:

        通過取倒數(shù),構(gòu)造 A 的對偶式 B ,然后借助基本不等式進行放縮處理,就能輕松證明不等式.

        例3:

        證明:

        根據(jù)目標不等式的結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造對偶式,便可結(jié)合已知條件進行放縮得A+B≥1+蘭+李+…+是,從而使問題獲解.

        二,通過和、差運算構(gòu)造對偶式

        當遇到求值題目時,通??赏ㄟ^和、差運算來構(gòu)造對偶式.將兩個已知關(guān)系式相加、或相減,或?qū)⒁阎P(guān)系式中的“+”替換成“一”,構(gòu)造出另外一個結(jié)構(gòu)一致,“+”“_”符號不一致的式子,再通過加減運算便能求得問題的答案.

        例4.已知f(一x)+2f(x)=2* ,求函數(shù)f(x)的解析式.解:用–x替換已知關(guān)系式中的x ,

        得f (x)+2f(一x)=2',

        因此 (一X)+ 2f (x)=2",

        \f(x)+2f(一x)=2*,解得f(x)= 2+'_2-*.

        已知關(guān)系式是關(guān)于fx)與f(一x)的關(guān)系式,而題目中α的取值具有任意性,因此可用-x替換已知關(guān)系式中的x ,構(gòu)造另一個結(jié)構(gòu)類似的關(guān)系式,進而把f(x)、f(-x)看作未知數(shù),通過解方程組求得f()的表達式.

        例5.已知 a = ,求 a5-2a4-2020a3的

        解:

        2021-1

        設(shè) b = -1,

        則 a -b =2,ab =2020,

        從而可得 a5-2a4-2020a3=a5-a -ba4-aba3=a5-a5+a4b -a4b =0.

        通過對已知條件和所求目標式的觀察,可以捕捉到以下信息:表達式“a5-2a4-2020a3”中的“2”可視為2=(+1)-(-1),“2020”可視為2=(+1)×(-1),于是聯(lián)想到通過和、差運算構(gòu)造對偶式,然后通過恒等變換求值.

        例6.已知α∈ R , sin α+2 cosα= ,則 tan2α=().

        A.3B.?? C.-??? D.-4?? 4???? 3

        解:設(shè)sin α+2 cosα=的對偶式為sin α-2 cosα=t,

        則sin α+2 cosα=①,

        由①2+②2得 t =-或 t = ,???? 當 t =-時,sin α=- ,cosα= ,從而可得 tanα=- , tan2α=- ;

        同理,當 t = 時,tan 2α=- .

        綜上可得tan2α=- ,故選C

        解答本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造已知關(guān)系式的對偶式 sin α-2cos α=t ,建立關(guān)于 sinα、 cosα的方程組,通過解方程組求得 sinα、 cosα的值,進而求得問題的答案.

        例7.若0<θ<,且3 sin θ+4 cos θ=5,求 tan θ的值.

        解:設(shè)3 sin θ-4cos θ=t(其中 t 為常數(shù)),

        則解得 ,,

        將其代入 sin2θ+ cos2θ=1,得 t =-,

        進而得 tan θ= .與研究

        將已知關(guān)系式中的“+”變成“-”,構(gòu)造對偶式,然后通過和、差運算,求得方程的解,即可求得問題的答案.

        三、通過配湊系數(shù)構(gòu)造對偶式

        對于已知條件為實數(shù)a,b滿足的關(guān)系式 f(a,b)=0,求表達式 pa +qb(其中p,q為常數(shù))的最值問題,可聯(lián)想到平面向量數(shù)量積的坐標表示形式,于是嘗試

        對已知關(guān)系式和目標式進行整體考慮,構(gòu)造出對偶式,再借助數(shù)量積的性質(zhì)?≤進行放縮即可解題.

        例8.(1)已知實數(shù)a,b滿足 a2+4b2=1,求 a +b 的最大值;

        (2)已知實數(shù) a, b, c 滿足 a2+2b2+3c2=1,求 a +2b 的最大值.

        解:(1)因為 a +b =a ?1+2b ?,

        而 a2+4b2=1可變形為 a2+2b2=1,

        其對偶式為:12+ è(?) ?(?)2= .

        設(shè)向量 =a,2b,= è(?)1,? ?(?),

        則 a +b =a ?1+2b ?= ? ≤=? 2= ,當且僅當 a = , b =1時取等號.所

        以 a +b 的最大值是5.

        (2)因為 a +2b =a ?1+ b ?,

        而 a2+2b2+3c2=1可變形為 a2+ b2=1-3c2,其對偶式為:12+2=3.

        設(shè)向量 =a,? b,=1, ,

        則 a +2b =a ?1+ b ?= ? ≤

        = ?= ≤3,

        當且僅當a =b = ,c =0時取等號.

        所以a +2b 的最大值是 .

        本題中的兩個小問題在本質(zhì)上都是有限制條件的二元函數(shù)最值問題.由于目標關(guān)系式均為線性關(guān)系式,于是聯(lián)想到平面向量數(shù)量積的坐標表示,通過配湊系數(shù)構(gòu)造出 a2+2b2=1的對偶式,再對已知關(guān)系式和目標式進行拆分重組,借助數(shù)量積的性質(zhì)?≤進行放縮,就能順利解題.

        四、通過奇數(shù)、偶數(shù)變換構(gòu)造對偶式

        整數(shù)可分為奇數(shù)、偶數(shù).當遇到只含有奇數(shù)或偶數(shù)的式子,我們便可根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式構(gòu)造出對偶式,然后將兩式相加、減,以構(gòu)造出所有的整數(shù)項,或者關(guān)于自然數(shù) n 的數(shù)列,通過尋找數(shù)列中的規(guī)律,運用整體思想來求得問題的答案.

        例9.求證:2×4×6×…×2n < .證明:設(shè) A = × × ×…× ,

        24 6? 2n

        35 7? 2n +1,

        1234 56 2n -1 2n

        23, 45, 67,? 2n?? 2n +1,

        所以 A <B ,可得 A2<AB = ,

        故A < ,即× × ×…× < .

        根據(jù)所要求證的不等式中分子、分母的特點,構(gòu)造

        b? b +m

        五、通過變量輪換構(gòu)造對偶式

        有些題目中的幾個變量可輪換,即每個變量的意義、位置相同,可通過輪換變量來構(gòu)造對偶式,構(gòu)造出可使用基本不等式的條件,運用基本不等式來解題.

        例10.若 a >1, b >1,求證:+ ≥8. 證明:設(shè) A = + ,B = + ,則 A -B == += ≥0,

        從而可得 A≥B .

        由基本不等式得 B =b+1+ +a+1+

        =b -1++a -1+ +4≥2+2+4=8,

        當且僅當a =b =2時取等號.

        所以 A≥B≥8,即 + ≥8.

        仔細觀察目標式,可發(fā)現(xiàn) a、b 可輪換,于是構(gòu)造其對偶式,利用基本不等式證明結(jié)論.

        例11.若a,b,c都是正數(shù),求證: + +

        c +a ≥ 2 .

        證明:設(shè) A = + + ,

        B = a +b + b +c + c +a ,

        則 A +B = + +

        ≥ + + =a +b +c ,

        而 A -B =0,所以 A =B≥ ,

        即 + + ≥ ,原不等式成立.

        題目中 a、b、c 可輪換,于是構(gòu)造出對偶式B,將A、 B相加、減,便可構(gòu)造出可運用基本不等式的條件.

        從以上各例可以看出,運用構(gòu)造對偶式法解題的關(guān)鍵是構(gòu)造對偶式.在構(gòu)造對偶式時,要注意將題目的條件和結(jié)論關(guān)聯(lián)起來,通過觀察、類比、歸納、猜想等手段從中捕捉到有用信息,合理構(gòu)造出對偶式,通過加工、重組、再生,探求出解題的思路.

        (作者單位:山東省寧陽縣復(fù)圣中學)

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