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        進(jìn)行蘭角恒等變換的幾個技巧

        2022-05-21 17:02:48陸咸娟
        關(guān)鍵詞:技巧

        陸咸娟

        解答三角函數(shù)問題,通常需先對三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變換,因此掌握一些進(jìn)行三角函數(shù)恒等變換的技巧是很有必要的.筆者對進(jìn)行三角恒等變換的技巧進(jìn)行了如下總結(jié),希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

        一.拆角與補角

        三角函數(shù)式中的角不相同,往往會給解題帶來很多麻煩,此時可以通過拆角、補角的方式,如c =(o+3)-B 、=o+p_a,p,將問題中的角統(tǒng)一.在變換角的過程中,通常要用到輔助角公式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式,兩角的和差公式等.

        例1.已知 sinβ=m sin (2α+β),且α+β≠ +kπ(k ∈ Z),m ≠1,求證:tan (α+β)= tanα.

        解析:題目中的已知角有β、2α+β,未知角有α+β、α,需通過拆角、補角來建立它們之間的聯(lián)系.仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn),β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,便可利用兩角的和差公式證明結(jié)論.

        證明:sin[(α+β)-α]=m sin[(α+β)+α],

        則sin(α+β)cos α- cos(α+β)sin α=m sin(α+β)· cos α+m cos(α+β) sin α,

        整理得(1+m)sin α cos(α+β)=(1-m)cos α sin(α+β).由于α+β≠ +kπ(k ∈Z) , α≠(k ∈Z) , m ≠1 ,

        所以(1-m)cosα= cos(α+β)=tan(α+β),因此 tan(α+β)= tanα.

        在進(jìn)行恒等變換的過程中,將角進(jìn)行合理拆分、組合,利用角之間的互余關(guān)系、互補關(guān)系、和差關(guān)系、倍半關(guān)系等,將不同的角進(jìn)行統(tǒng)一,便能使問題迎刃而解.

        二、升冪與降冪

        升冪與降冪是進(jìn)行三角恒等變換的重要方法.若三角函數(shù)式中冪的次數(shù)不一,則可通過升冪與降冪的方式,將三角函數(shù)式中的冪統(tǒng)一.在升冪或降冪的過程中,常用的公式有二倍角公式、sin2α+cos2α=1.

        例2.求值:.

        解:

        =? 2 cos2α sin2α???? =2

        3 cos2α sin2α(cos2α+ sin2α)? 3,

        所以 = .

        本題中出現(xiàn)了4次、5次、6次的三角函數(shù)式,需要對其作降冪處理.運用關(guān)系式 sin2α+ cos2α=1和二倍角公式2cos2α-1=1-2 sin2α= cos2α將其化簡,即可使其冪的次數(shù)變?yōu)?,通過約分,使函數(shù)式簡化.

        三、換元法

        換元法是指通過引進(jìn)新的變量,使復(fù)雜的三角函數(shù)式能夠轉(zhuǎn)化為簡單的形式.而對于一些較為復(fù)雜的三角函數(shù)式,可通過換元,將代數(shù)式中結(jié)構(gòu)相同的部分用新元代替,從而簡化關(guān)系式,順利解題.

        例3.已知函數(shù) f(x)=sinx + cosx + sinxcosx,求 f(x)的最大值.

        解:令 t = sinx + cosx = sin(x +),

        則 t ∈[- ,],

        所以sinxcosx = ,

        故原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為 f(t)=t+ =(t +1)2-1,

        t ∈[- ,].

        當(dāng) t = ,即 x = +2kπ,k ∈ Z 時,f(x)max =f(t)max

        =+

        利用已知條件中的特定關(guān)系,把式子sinx+cosx用 t 表示,即可實現(xiàn)變量替換,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性就能求出最大值.

        總之,在進(jìn)行變換的過程中,要合理運用拆角與補角、升冪與降冪、換元的方法來將三角函數(shù)式中的角、冪、函數(shù)名稱進(jìn)行變換,以使三角函數(shù)式中的角、冪、函數(shù)名稱統(tǒng)一,并化為最簡的形式.

        (作者單位:江蘇省鹽城市大岡中學(xué))

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