戴銘陽 陶友瑞

(1.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津 300401；2.河北工業(yè)大學(xué)電氣設(shè)備可靠性與智能化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300401)

圓柱滾子軸承是最常見的滾動(dòng)軸承類型，廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)中，其中滾子在受載區(qū)和非受載區(qū)交替運(yùn)行。常見的磨損和失效是由于滾子進(jìn)入加載區(qū)從而使接觸界面潤(rùn)滑失效造成的。因此，了解接觸區(qū)的潤(rùn)滑狀態(tài)有助于提高圓柱滾子軸承的可靠性。CHANG等[1]基于彈流潤(rùn)滑理論研究了軸承穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)的載荷分布和軸承的滑動(dòng)特性。CAO、LI等[2-3]研究了基于彈流潤(rùn)滑的圓柱滾子軸承穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)特性。賈志博和邱明[4]建立了高速輕載圓柱滾子軸承的動(dòng)力學(xué)方程。CAO等[5]結(jié)合彈流潤(rùn)滑研究了最大載荷滾子和內(nèi)滾道加速過程的潤(rùn)滑性能。ZHANG等[6]提出了有限線接觸條件下圓柱滾子型線的數(shù)值計(jì)算模型，分析了凸度對(duì)油膜壓力分布的影響。華同曙等[7]通過線接觸光彈流實(shí)驗(yàn)對(duì)滾子軸承進(jìn)行潤(rùn)滑研究,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在接觸區(qū)內(nèi)，呈現(xiàn)明顯的馬蹄形彈流特征，滾子端部出現(xiàn)閉合效應(yīng)，因此對(duì)于滾子的凸度設(shè)計(jì)是十分必要的。

圓柱滾子的彈性流體動(dòng)力潤(rùn)滑研究比較成熟,一些研究人員很早就開始在彈流潤(rùn)滑的基礎(chǔ)上研究油膜厚度。早在20世紀(jì)60年代，DOWSON和HIGGINSON[8]就提出了考慮負(fù)載、速度和材料參數(shù)對(duì)膜厚影響的最小膜厚方程(D-H方程)。該方程在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用。GELINCK和SCHIPPER[9]推導(dǎo)了粗糙表面接觸壓力的曲線擬合方程，然后利用MOES[10]提出的膜厚方程得到膜厚和粗糙度壓力的表達(dá)式。隨后，越來越多的研究人員關(guān)注表面粗糙度對(duì)油膜厚度的影響[11-14]。MASJEDI和KHONSARI[15]在考慮表面粗糙度和硬度的D-H方程的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了新的膜厚方程,通過大量的仿真結(jié)果回歸分析使最小油膜厚度方程更真實(shí)地反映實(shí)際潤(rùn)滑情況。

在潤(rùn)滑過程中，各種因素會(huì)同時(shí)影響軸承的潤(rùn)滑狀態(tài)，固體顆粒就是其中之一。而固體顆粒與潤(rùn)滑劑形成了微極流體，由于流體中含有懸浮的隨機(jī)取向的固體微粒，在運(yùn)動(dòng)過程中呈現(xiàn)出許多有別于牛頓流體的特性，影響著流體潤(rùn)滑性能，因而越來越引起人們的關(guān)注。XU等[16]研究了固體顆粒對(duì)等溫彈流潤(rùn)滑接觸的影響，李娜娜等[17]對(duì)含固體顆粒的軸承潤(rùn)滑問題進(jìn)行了分析研究，分析結(jié)果表明，沿油膜厚度方向分布的固體顆粒越多，對(duì)潤(rùn)滑油流動(dòng)的阻礙越強(qiáng)，對(duì)油膜壓力和油膜流動(dòng)的影響越大。上述研究中僅考慮某單一因素對(duì)潤(rùn)滑的影響，這與實(shí)際工況的復(fù)雜程度差別較大。

本文作者結(jié)合軸承動(dòng)力學(xué)，考慮表面粗糙度、微極流體效應(yīng)及滾子修形的多尺度參數(shù)的耦合影響，探討圓柱滾子復(fù)雜潤(rùn)滑模型的建立及潤(rùn)滑分析。

1 軸承動(dòng)力學(xué)模型

1.1 軸承運(yùn)動(dòng)分析

圓柱滾子軸承原理如圖1所示。軸承的外圈是固定的，內(nèi)圈隨軸旋轉(zhuǎn)。圖中：Ri為內(nèi)圈接觸點(diǎn)的圓弧半徑；Rm為滾子的圓心半徑；Ro為外圈接觸點(diǎn)的圓弧半徑；ω表示軸承內(nèi)圈滾道角速度；ωc為保持器角速度；ωj表示滾子的轉(zhuǎn)速；徑向力W通過軸作用在軸承上。

根據(jù)圖1，可得軸承滾子與內(nèi)外圈相對(duì)滑動(dòng)速度為

Vij=(Rm-Rr)(ω-ωc)-Rrωj

(1)

Voj=(Rm+Rr)ωc-Rrωj

(2)

滾子與內(nèi)外圈之間的卷吸速度為

(3)

(4)

式中：下標(biāo)i和o表示與內(nèi)圈和外圈相關(guān)的量;下標(biāo)j表示滾子的位置，如圖1所示，最底下的為0號(hào)滾子，沿順時(shí)針編號(hào)依次增加。

將上述參數(shù)量綱一化可得：

(5)

1.2 滾子受力分析

根據(jù)圖2可得軸承徑向載荷平衡方程為

W=Qi0+2∑Qijcosφj

(6)

式中：Qi0為0號(hào)滾子與內(nèi)滾道之間的相互作用力，即最大承載滾子所受的接觸力；Qij為j號(hào)滾子與內(nèi)滾道之間的接觸力；φj表示第j號(hào)滾子的相位角。

變形協(xié)調(diào)方程如下：

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：δc為軸承間隙和接觸變形引起的中心位移；uc代表軸承徑向游隙；δij和δoj分別表示內(nèi)圈和外圈的接觸變形；l為滾子的長(zhǎng)度；m為單個(gè)滾子質(zhì)量。

流體動(dòng)壓力表達(dá)式[18]為

(11)

(12)

當(dāng)軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，滾子由滾子與滾道之間的摩擦力驅(qū)動(dòng)。量綱一摩擦力(或牽引力)[19]為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

1.3 動(dòng)力學(xué)模型

在空載區(qū)，由于離心力滾子壓在外滾道上，可以認(rèn)為滾子相對(duì)于外滾道的滑動(dòng)速度為0，則空載區(qū)滾子的旋轉(zhuǎn)速度為

(19)

式中：下標(biāo)u表示與無載荷區(qū)相關(guān)的量。

空載區(qū)各滾子在滾動(dòng)方向上的力平衡方程為

(20)

(21)

在滾子受載區(qū)，假設(shè)保持架對(duì)每個(gè)滾子的力都相等，則軸承勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)受力平衡可得：

(22)

式中：nu為空載區(qū)的滾子個(gè)數(shù)；Z為滾子總個(gè)數(shù)。

對(duì)于受載最大的滾子，由圖2可得滾子在滾動(dòng)方向上的力平衡方程:

(23)

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以忽略保持架與滾子之間的摩擦力，可得滾子的力矩平衡方程為

(24)

將求解載荷分布得到的最大接觸力代入式(11)、(12)、(13)和(14)。最后結(jié)合公式(19)—(24)整理得到式(25)和式(26)。

(25)

(26)

2 考慮粗糙度和微極流體的彈流潤(rùn)滑模型

2.1 滾子幾何模型

由于滾子和滾道表面不是絕對(duì)光滑的，同時(shí)粗糙度與油膜厚度處在同一數(shù)量級(jí)上，因此在彈流潤(rùn)滑計(jì)算時(shí)應(yīng)考慮表面粗糙度的影響。粗糙表面的滾子與粗糙表面的滾道之間的潤(rùn)滑可等效成一個(gè)滾子與粗糙平面之間的潤(rùn)滑，如圖3所示為滾子的幾何模型平面圖。Rx為滾動(dòng)方向上的最大曲率半徑，Rc是滾子邊倒圓中心到y(tǒng)軸的距離，yc是滾子邊倒圓的中心到x軸的距離，Ry為滾子凸度半徑，lc為滾子邊倒圓的長(zhǎng)度，r為滾子邊倒圓半徑，δ為滾子凸度。

因此，滾子與平面之間的初始間隙為

(27)

2.2 彈流潤(rùn)滑模型

研究有限長(zhǎng)滾子的彈流潤(rùn)滑問題，這里需要考慮到滾子與滾道接觸面水平方向上x和y2個(gè)方向。假設(shè)不考慮y方向上的速度，且x方向上的速度不發(fā)生變化。由此可得二維穩(wěn)態(tài)彈流潤(rùn)滑的雷諾方程[19-20]為

(28)

式中：ρ為潤(rùn)滑油的密度(kg/m3)；η為潤(rùn)滑油黏度(Pa·s)；p為油膜壓力(Pa)；us為卷吸速度(m/s)；h為潤(rùn)滑油的膜厚(m)；N是量綱一參數(shù)，稱為耦合數(shù)，因?yàn)樗枋隽司€性動(dòng)量方程和角動(dòng)量方程的耦合，當(dāng)N等于0時(shí)，線性動(dòng)量方程與角動(dòng)量方程解耦，線性動(dòng)量方程退化為經(jīng)典的Navier-Stokes方程；lf為特征長(zhǎng)度，因?yàn)樗枋隽宋O流體和油膜間隙之間的相互作用，它等價(jià)于修正雷諾數(shù)方程的黏性項(xiàng)。

(29)

膜厚方程表達(dá)式[21]如下：

(30)

黏度與密度是與壓力p相關(guān)的函數(shù)，其計(jì)算公式如下：

(31)

(32)

式中：η0為潤(rùn)滑油初始黏度；ρ0為潤(rùn)滑油初始密度。

中心油膜厚度由載荷平衡方程控制，方程為

(33)

3 數(shù)值方法

在對(duì)滾子潤(rùn)滑可靠性的研究中，應(yīng)考慮滾子承載最嚴(yán)重的區(qū)域。因此，接下來的研究重點(diǎn)是在最大受載下滾子的潤(rùn)滑問題。在軸承運(yùn)行過程中，軸承的載荷必然會(huì)影響軸承的轉(zhuǎn)速。因此，通過軸承動(dòng)力學(xué)計(jì)算，可以求出載荷和相應(yīng)的轉(zhuǎn)速。

1.2.4 裸鼠移植瘤模型構(gòu)建 取對(duì)照組、陰性組、干擾組CaSki細(xì)胞，用0.25%胰蛋白酶消化液將細(xì)胞消化，1000 g離心10 min，把上清溶液吸棄，添加PBS，將細(xì)胞配制成每毫升含有4×107細(xì)胞的單細(xì)胞懸浮液，吸取300 μL注射至裸鼠右側(cè)后腿皮下，裸鼠均出現(xiàn)移植瘤。分別在接種CaSki細(xì)胞后7、12、17、22、27 d測(cè)量腫瘤體積，腫瘤體積=（長(zhǎng)徑×短徑2）÷2。在最后1次測(cè)量腫瘤體積后，脫臼法將裸鼠處死，取腫瘤組織，稱取腫瘤質(zhì)量。

根據(jù)圖4左邊的框圖求解載荷分布的非線性方程的自變量為軸承間隙δc和內(nèi)圈接觸載荷Qij。首先將軸承間隙δc和接觸載荷Qij的初值代入式(7)—(10)中，然后用牛頓法迭代求解。通過調(diào)整軸承間隙δc大小，當(dāng)式(6)左右兩側(cè)差小于10-10時(shí)，判定為收斂。通過與仿真軟件進(jìn)行結(jié)果對(duì)比，檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性。式(25)和式(26)的變量為保持架的轉(zhuǎn)速ωc和滾子的轉(zhuǎn)速ωj。采用Levenberg-Marquardt方法求解該非線性方程，直到最小誤差小于10-10。

圖5所示為求解有限長(zhǎng)圓柱滾子軸承彈流潤(rùn)滑的流程。將通過求解軸承動(dòng)力學(xué)得到的軸承最大載荷和滾子轉(zhuǎn)速代入彈流潤(rùn)滑方程，利用中心和向前差分格式離散量綱一化雷諾方程、膜厚方程和載荷方程，得到各節(jié)點(diǎn)壓力、中心膜厚度和油膜厚度的非線性代數(shù)方程，然后用牛頓法得到壓力分布和膜厚分布。

從上述求解得到的壓力分布和油膜厚度分布中，可以得到軸承運(yùn)行中最危險(xiǎn)的點(diǎn)，即最小油膜厚度處。然后，通過合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得需要被擬合的數(shù)據(jù)，采用差分進(jìn)化算法擬合得到最小膜厚顯式方程。最后采用一階二階矩中心點(diǎn)法進(jìn)行可靠性分析?？煽啃苑治龅臉O限狀態(tài)方程如式(34)[22-23]所示。

g(X)=Hmin-3σ

(34)

式中：Hmin為擬合得到的最小膜厚；σ表示等效粗糙度均方根偏差。

一次二階矩可靠度計(jì)算公式[24]為

(35)

式中：μXi為輸入?yún)?shù)的期望值；σXi為輸入?yún)?shù)的方差。

4 算例與結(jié)果分析

選取SKF公司的N210EC軸承，軸承參數(shù)及工況見表1。

表1 軸承參數(shù)及工況

4.1 軸承動(dòng)力學(xué)

根據(jù)表1中的參數(shù)，通過求解式(6)—(10)可得到軸承各滾子的加載情況。

軸承各個(gè)滾子上的受載情況分布如圖6所示。

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，滾子的最大載荷為6 056.9 N。

先在Romax DESIGNER軟件中創(chuàng)建箱體，添加軸部件，隨后依據(jù)軸承參數(shù)創(chuàng)建圓柱滾子軸承，將軸承安裝于軸上，然后添加15 kN的點(diǎn)載荷，在軸的兩端添加功率載荷。建立的圓柱滾子軸承動(dòng)力學(xué)模型如圖7所示。

靜力學(xué)分析后可得載荷分布雷達(dá)圖，如圖8所示?？梢钥闯?，滾道最大載荷為5 969.2 N，計(jì)算值與仿真值之間的誤差僅為1.45%。

將滾子所受的最大載荷和表1中的參數(shù)代入軸承動(dòng)力學(xué)方程求解，可得滾子的自轉(zhuǎn)速度為6 286 r/min，滾子的公轉(zhuǎn)速度為837 r/min。

4.2 有限長(zhǎng)滾子彈流潤(rùn)滑

圖9顯示了微極流體參數(shù)對(duì)潤(rùn)滑油膜厚度分布的影響。X為滾子徑向的接觸寬度，與滾子長(zhǎng)度不在一個(gè)數(shù)量級(jí)上，且要小得多，因此這里就選擇量綱一化形式來表示，Y為滾子長(zhǎng)度。從圖中可以看出，微極性流體的油膜厚度大于普通流體，但“邊緣效應(yīng)”無法消除。圖10顯示了微極流體參數(shù)對(duì)膜壓分布的影響。圖10(a)所示為普通流體的壓力分布，圖10(b)所示為微極流體下的壓力分布，對(duì)比兩圖可得出，求解域中的微極流體的油膜壓力略低于普通流體，“邊緣效應(yīng)”仍然存在。

粗糙表面具有許多表面特征，常用的粗糙度模型由高度分布參數(shù)和自相關(guān)函數(shù)描述。WHITEHOUSE和ARCHARD在1970年實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)粗糙度服從高斯分布，因此，文中采用粗糙表面數(shù)字仿真來生成服從高斯分布的軸承表面粗糙度，從而使得潤(rùn)滑計(jì)算的結(jié)果更能反映真實(shí)的潤(rùn)滑狀態(tài)。如圖11所示，橫截面粗糙度沿各坐標(biāo)軸為高斯分布，最大粗糙度幅值為0.5 μm，兩表面粗糙度的算術(shù)平均值為0.312 5 μm。

根據(jù)圖11所示的粗糙度分布，計(jì)算了圓柱滾子的彈流潤(rùn)滑結(jié)果，并與光滑解進(jìn)行了比較。

圖12顯示了凸度變化對(duì)油膜厚度和壓力分布的影響。當(dāng)δ=0時(shí)，最小膜厚出現(xiàn)在滾子兩側(cè)的端部。隨著凸度的增加，滾子端部的潤(rùn)滑狀況逐漸改善，油膜分布將沿滾子軸向向中部集中。結(jié)果表明，滾子凸度的增加使得滾子端部的膜厚增加，壓力減小，避免出現(xiàn)邊緣應(yīng)力集中,且形成了完整的潤(rùn)滑油膜可更好地平衡外載荷，保護(hù)接觸副表面，可以改善滾動(dòng)軸承的“邊緣效應(yīng)”，避免潤(rùn)滑失效。

由圖12(b)和圖12(d)可知，沿X軸正方向，壓力值先增大后減小，最大值靠近出油口處。當(dāng)δ=0時(shí)，滾子兩側(cè)會(huì)有較高的油膜壓力。但隨著凸度的增大，“邊緣效應(yīng)”逐漸改善，壓力分布沿滾子軸向向中間集中，輥中間出現(xiàn)較高壓力。

從圖12(c)、(d)中可以清楚地看到，粗糙表面的油膜厚度小于1.0 μm的區(qū)域明顯大于光滑表面的區(qū)域；同時(shí)，粗糙表面的油膜壓力大于3.0 MPa的區(qū)域也略大于光滑表面的區(qū)域并且壓力分布會(huì)有所波動(dòng)。這是由于粗糙峰使得兩接觸面的初始間隙變小，并且在一定的流量條件下，流速增大，導(dǎo)致油膜壓力增大。同時(shí)相較于光滑表面，滾動(dòng)軸承所承受的載荷由潤(rùn)滑油膜所承擔(dān)轉(zhuǎn)變?yōu)橛蓾?rùn)滑油膜和表面粗糙峰共同承擔(dān)，為了使得油膜厚度形狀平滑，油膜壓力將在粗糙峰處增大，將粗糙峰“壓平”。因此，在軸承潤(rùn)滑過程中，滾子與滾道接觸區(qū)域的潤(rùn)滑狀況比理想狀態(tài)下的潤(rùn)滑狀況差很多。

4.3 改進(jìn)的最小膜厚方程

為了評(píng)價(jià)軸承的潤(rùn)滑性能，必須進(jìn)行可靠性分析，可靠性分析需要顯式的最小油膜厚度表達(dá)式。因此，為擬合最小膜厚方程而選擇的輸入?yún)?shù)范圍如表2所示。根據(jù)軸承的實(shí)際工作情況，選擇載荷、轉(zhuǎn)速和材料參數(shù)的范圍。粗糙度的選定范圍為0.1～0.45 μm。量綱一微極流體參數(shù)的選擇范圍為0.1～0.7。

表2 參數(shù)范圍

對(duì)于膜厚，在不考慮表面粗糙度的情況下，假設(shè)方程的形式為c1Wc2Uc3Gc4，這種形式被許多文獻(xiàn)所采用，可以通過簡(jiǎn)單的計(jì)算獲取最小膜厚的信息。文中在上述形式基礎(chǔ)之上，乘上一個(gè)考慮表面粗糙度和微極性流體的影響因子，得到最小膜厚的形式為

表3 最小膜厚方程擬合數(shù)據(jù)

改進(jìn)后的薄膜厚度方程為

Hmin=2.013W-1.030U0.686G-0.5379×(1-

(36)

在實(shí)際工作條件下，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣選取的12組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)ず穹匠痰臏?zhǔn)確性，結(jié)果如表4所示。最大誤差為7.14%，最小誤差為0.65%，平均誤差是3.43%。由于公式擬合過程中，參數(shù)過多，參數(shù)的取值與范圍都會(huì)對(duì)擬合公式的準(zhǔn)確性產(chǎn)生一定影響，這是不可避免的。因此確保擬合公式最大誤差在可接受范圍內(nèi)即可。顯然，除采樣點(diǎn)外，最小膜厚的擬合方程仍然能夠保證一定準(zhǔn)確性。

表4 改進(jìn)后的最小膜厚公式擬合數(shù)據(jù)

表5給出了改進(jìn)的膜厚方程與未考慮表面粗糙度和微極流體的彈流潤(rùn)滑數(shù)值分析結(jié)果的比較。研究的工況為：W=5 000 N,U=0.2 m/s,G=5 160,σ=0.312 5 μm,l=0.5,N=0.5,δ=0.01 mm。

表5 方法計(jì)算對(duì)比

在相同工況下，彈流潤(rùn)滑計(jì)算結(jié)果為1.02 μm，改進(jìn)的油膜厚度方程計(jì)算結(jié)果為1.21 μm，誤差為15.70%。微極流體中固體顆粒的作用等同于增加了潤(rùn)滑油的等量黏度，因此使得整體的潤(rùn)滑油膜增大，最小膜厚也會(huì)相應(yīng)增加。當(dāng)粗糙度存在時(shí)，兩接觸表面若出現(xiàn)波谷與波谷相對(duì)時(shí)，該區(qū)域的潤(rùn)滑油膜則會(huì)有一定程度的增加。當(dāng)兩者的影響疊加時(shí)，最小膜厚會(huì)趨于增大。結(jié)果與NADUVINAMANI和KASHINATH[25]的結(jié)果一致。因此，該擬合方程可以很好地替代考慮表面粗糙度和微極流體的圓柱滾子軸承彈流潤(rùn)滑計(jì)算，并可代替復(fù)雜的彈流潤(rùn)滑計(jì)算進(jìn)行可靠性分析，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。

圖13顯示了在上述工況下，載荷和轉(zhuǎn)速的標(biāo)準(zhǔn)差變化對(duì)軸承潤(rùn)滑可靠性的影響。當(dāng)載荷和速度的標(biāo)準(zhǔn)差較小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差的波動(dòng)對(duì)潤(rùn)滑可靠性影響不大。隨著載荷和速度標(biāo)準(zhǔn)差的不斷增大，潤(rùn)滑可靠度也呈線性下降。因此，保證軸承工作狀態(tài)的穩(wěn)定性是保證可靠潤(rùn)滑的首要目標(biāo)。

5 結(jié)論

基于軸承動(dòng)力學(xué)、軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)及微極流潤(rùn)滑理論，建立了有限長(zhǎng)圓柱滾子軸承潤(rùn)滑可靠性模型。得到如下結(jié)論：

(1)相比于無限長(zhǎng)微極流潤(rùn)滑模型，在滾子兩端出現(xiàn)“邊緣效應(yīng)”。此處油膜厚度最小，油膜壓力最大，因此在軸承滾子兩端的潤(rùn)滑情況最為惡劣。同時(shí)由于表面粗糙度的存在，油膜厚度及壓力分布會(huì)有所波動(dòng)，滾子與滾道接觸區(qū)域的潤(rùn)滑狀況比理想狀態(tài)下的潤(rùn)滑狀況差很多。

(2)增加滾子凸度，可以改善滾動(dòng)軸承的“邊緣效應(yīng)”。隨著凸度的增加，滾子端部的潤(rùn)滑狀況逐漸改善，油膜分布將沿滾子軸向向中部集中，壓力分布也沿滾子軸向向中間集中，同時(shí)滾子中間出現(xiàn)較高壓力。

(3)改進(jìn)的最小膜厚方程可用于軸承潤(rùn)滑可靠性的研究。同時(shí)，通過數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了改進(jìn)方程的準(zhǔn)確性。改進(jìn)的最小膜厚方程考慮了表面粗糙度和微極性流體的影響，能更準(zhǔn)確地反映實(shí)際潤(rùn)滑情況。