董祥雨，魏代同，李宏坤

大連理工大學機械工程學院 遼寧大連 116024

斗 輪堆取料機是在斗輪挖掘機基礎上發(fā)展起來 的一種現(xiàn)代化連續(xù)散料裝卸機械，在一些散料裝卸的港口，煤、礦石等料場用于散料的堆存、挖取和均料[1]。其中，懸臂式斗輪堆取料機是應用和發(fā)展最早的連續(xù)化堆取料裝置，具有生產(chǎn)效率高、能耗少、成本低、操作簡單及安全可靠等諸多優(yōu)點。斗輪堆取料機作為效率較高的連續(xù)散料裝卸機械設備，其性能的好壞決定著整個散貨運輸作業(yè)系統(tǒng)的效率高低[2]。斗輪堆取料機的俯仰結構是其核心鋼架結構，其受到的載荷比較復雜，以斗輪堆取料機俯仰結構為研究對象進行靜、動力學分析研究，對保證斗輪堆取料機的安全運行和對其結構進行改進設計至關重要[3]。對俯仰結構進行模態(tài)特性和動力學特性分析，可以得到其在外界載荷作用下的動力學響應分析結果。這些分析結果不僅可以用來找出其結構設計中的薄弱點以及不合理之處，從而對其進行改善，進而達到提高結構疲勞壽命的目的；還能夠根據(jù)振動特性分析，在結構設計過程中將其固有頻率避開激勵源頻率，避免在運行時產(chǎn)生共振。

由于大型復雜結構的精細有限元模型包含百萬甚至上千萬個自由度，其動力學分析效率很低，在求解過程中會產(chǎn)生較大的計算成本[4]；因此，研究大型復雜結構的動力學模型降階方法具有重要意義。

經(jīng)過發(fā)展，高維復雜系統(tǒng)動力學模型降階形成了一些比較成熟的降階方法[5-7]，常用的降階方法有 3 種：簡化模型法、投影法和數(shù)據(jù)擬合法。本征正交分解 (Proper Orthogonal Decomposition，POD) 是一種有效的數(shù)據(jù)分析方法，能夠得到高維系統(tǒng)的低維近似表達，用于線性和非線性結構的系統(tǒng)分析。由于 POD 方法的有效性和準確性，其不僅能夠極大減少系統(tǒng)的自由度，還能夠大幅提高計算效率。POD 方法廣泛應用在不同領域，例如結構動力學[8-10]、優(yōu)化設計[11]及流體力學[12]等。靳玉林針對滾動軸承支承的復雜轉子系統(tǒng)展開降階研究，研究表明 POD 方法能夠快速精確地獲得復雜轉子-軸承系統(tǒng)低階主共振轉速范圍內(nèi)的振動特性[13]；路寬基于瞬態(tài)響應采用 POD 方法對不同的松動故障模型的動力學特性進行了研究，驗證了瞬態(tài) POD 方法得到的簡化模型能夠很好地保留原始系統(tǒng)的動力學特性，以及瞬態(tài) POD 方法的有效性和準確性[14]；Segala 等人利用 POD 方法對非線性支撐的簡支梁進行了模型降階，驗證了通過較少的模態(tài)數(shù)量能夠獲得原系統(tǒng)的主要動力學特性，在一定參數(shù)范圍內(nèi)具有較好的魯棒性[15]。

筆者針對堆取料機俯仰結構，提出了采用 POD 的模型降階方法，構建了俯仰結構的降階模型，并通過與全階有限元模型動力學特性的對比分析，驗證了降階方法的有效性。

1 基于 POD 的模型降階方法

POD 方法主要是在全階系統(tǒng)計算結果或試驗數(shù)據(jù)的基礎上，建立一組能夠充分描述全階系統(tǒng)動力學特性的正交基來描述系統(tǒng)的主要特性。本征正交分解方法又稱 Karhunen-Loève 分解、主成分分析 (Principal Component Analysis，PCA)、奇異值分解 (Singular Value Decomposition，SVD)、Hotelling 變換[16]。POD 方法本質(zhì)上是一種統(tǒng)計方法，POD 降階模態(tài)或降階基函數(shù)是通過求解自相關矩陣的特征向量獲得，而自相關矩陣是具有統(tǒng)計意義的 2 階中心矩。POD 方法的基本思想是：通過復雜系統(tǒng)的數(shù)值仿真信號或試驗數(shù)據(jù)信號構造自相關矩陣，再求解自相關矩陣的特征向量，獲得 POD 降階模態(tài)或降階基函數(shù)，然后將高維系統(tǒng)投影到前幾個最大特征值對應的降階模態(tài)張成的子空間上，從而達到降階的目的。

1.1 快照矩陣的建立

選取計算不同時刻下全階系統(tǒng)的節(jié)點位移響應數(shù)據(jù)后，存儲在快照矩陣Y中?？煺站仃?/p>

其中Y∈Rm×n，式中：m為全階系統(tǒng)的自由度數(shù)量；n為快照數(shù)據(jù)的數(shù)量；y(ti) 為不同時刻下系統(tǒng)的位移響應。

1.2 POD 基底的獲取

POD 方法的本質(zhì)是在全階系統(tǒng)的計算結果或試驗數(shù)據(jù)的基礎上，建立一組能夠充分描述全階系統(tǒng)動力學特性的正交基，使得全階系統(tǒng)向正交基投影后誤差最小。標準正交基

則 POD 投影應滿足[17]

式中：φj為 POD 模態(tài)正交基；矩陣Φ為 POD 模態(tài)正交基的組合。

式 (3) 的最小值問題等價為原全階系統(tǒng)在 POD 基上的投影最大，即

引入拉格朗日乘子λ，可以將上述最值問題轉化為優(yōu)化問題：

式 (5) 中的優(yōu)化問題又等價于

即最終轉化為求特征值問題。

定義相關矩陣

通過奇異值分解的方法計算求解相關矩陣R的特征值和特征向量，并按特征值從大到小的順序進行排列，得到相關矩陣R的一組特征值λ={λ1，λ2，…，λm}，及其對應的特征向量φi(i=1，2，…，n)。

第i個 POD 模態(tài)基向量可表示為

利用得到的 POD 模態(tài)基向量，任意時間和空間的位移響應可以表示為 POD 模態(tài)基向量線性組合，即

式中：ui(t) 為 POD 模態(tài)坐標。

POD 模態(tài)基向量具有特征值快速下降的特點，前幾個正交基向量能夠表征系統(tǒng)的大部分特征。降階維數(shù)通過定義奇異值或自相關矩陣特征值 (降階模態(tài)) 的能量百分比來確定[16]。一般情況下，為了盡可能少地選取 POD 模態(tài)基向量，通過降階空間的總能量與全階空間的總能量之比ε進行 POD 模態(tài)基向量的截取，ε可以表征為

通常要求ε≥95%，有的要求ε≥99%。按照能量占比原則截取之后的 POD 模態(tài)基向量，可以將全階系統(tǒng)投影到低維的降階子空間，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的降階。截取之后的 POD 模態(tài)基向量Φ∈Rk×k，k＜＜n，降階后的系統(tǒng)位移響應可以表示為

1.3 降階模型分析

一般大型復雜系統(tǒng)的全階動力學方程為

式中：M、C、K分別為全階模型的整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；、、y分別為外載荷F作用下全階系統(tǒng)的加速度響應向量、速度響應向量和位移響應向量。

將降階后的系統(tǒng)位移響應式 (12) 代入全階系統(tǒng)的動力學方程 (13) 中，原動力學方程可表示為

與全階系統(tǒng)相比，系統(tǒng)自由度由n降為k，系統(tǒng)的動力學方程的維數(shù)大大降低，由此可得一個低維的動力學模型。求解降階模型的方程組式 (14)，求解完式中：成后將計算結果映射回全階空間，可得到全階系統(tǒng)的最終位移響應。

2 基于降階模型的俯仰結構動力學響應分析

2.1 斗輪堆取料機的主要工作過程及原理

斗輪堆取料機具有取料和堆料兩種功能，這兩種功能均通過專門配備的帶式輸送機來實現(xiàn)，堆料或取料與輸送能夠同時連續(xù)無間斷作業(yè)，因此具有較高的生產(chǎn)效率。堆取料機在進行取料作業(yè)時，懸臂架繞回轉中心做往復回轉運動，同時斗輪轉動挖取物料，靠自重使物料卸到繞回轉中心做往復運動的懸臂架帶式輸送機上。懸臂架每完成一次回轉動作，主機構前進一個吃料厚度，然后懸臂架反向回轉，完成下一次取料過程。在堆料作業(yè)過程中，料場帶式輸送機運來的物料通過尾車前端漏斗卸至懸臂架帶式輸送機上，然后輸送到斗輪頭部拋卸至料場[18]。

2.2 俯仰結構有限元模型構建

以某工程懸臂軌道式 DQ4200.3000.60 型堆取料機的俯仰結構為研究對象，進行幾何簡化之后的模型如圖 1 所示。俯仰結構材料屬性參數(shù)如表 1 所列。斗輪堆取料機主要技術參數(shù)如表 2 所列。

圖1 俯仰結構模型Fig.1 Model of pitching mechanism

表1 俯仰結構材料屬性參數(shù)Tab.1 Material property parameters of pitching mechanism

斗輪堆取料機在工作時所受的外界激勵源頻率f為斗輪周期性轉動取料的沖擊頻率，

式中：n為斗輪轉速，r/min；z為斗輪的鏟斗數(shù)量，個。

代入表 2 中相應數(shù)據(jù)，計算得出f=1.2 Hz。

表2 斗輪堆取料機主要技術參數(shù)Tab.2 Main technical parameters of bucket-wheel stacker-reclaimer

以往在對于大型復雜結構的有限元分析過程中，單元類型常采用梁單元，可以節(jié)省計算資源，但對于需要關注某些特定危險位置的復雜結構，梁單元存在局部響應不精確等問題，只能關注結構整體的狀態(tài)；而采用實體單元則有足夠的響應精度，并且有利于提高降階模型精度。在 ANSYS 中建立俯仰結構的有限元模型，如圖 2 所示。單元類型為 Solid45，每個節(jié)點有 3 個自由度，分別為x、y、z方向的移動自由度。模型共有 64 182 個單元、25 462 個節(jié)點和 76 386 個自由度。

圖2 俯仰結構有限元模型及測點位置Fig.2 Finite element model of pitching mechanism and location of testing points

為了建立斗輪堆取料機俯仰結構動力學分析的降階模型，筆者采用數(shù)值模擬的方法構建快照數(shù)據(jù)?？紤]到斗輪堆取料機俯仰結構的實際工作情況，在斗輪鏟斗相應節(jié)點上施加激勵頻率f=1.2 Hz 的簡諧載荷，對該俯仰結構的有限元模型進行瞬態(tài)動力學分析。設置時間步長 0.005 s，通過有限元方法計算俯仰結構在正常工況邊界條件下各節(jié)點的位移響應情況，并提取穩(wěn)定響應階段 600 個時刻點的快照數(shù)據(jù)構成快照矩陣。有限元分析計算所用設備配置為 Intel(R) Core(TM) i9-10900K 處理器，主頻 3.7 GHz，內(nèi)存 64 G，64 位操作系統(tǒng)。

2.3 俯仰結構降階模型的獲取

基于全階模型求解過程中所提取的快照矩陣，根據(jù) POD 的基本原理進行快照矩陣分解，獲取 POD 基模態(tài)，前 22 階 POD 模態(tài)的特征值如圖 3 所示。根據(jù)能量占比公式 (11) 進行 POD 模態(tài)的截取，POD 模態(tài)能量占比隨 POD 模態(tài)階數(shù)的變化曲線如圖 4 所示。

圖3 前 22 階 POD 模態(tài)對應的特征值 Fig.3 Eigenvalues of preceding 22 orders of POD modes

圖4 POD 模態(tài)能量占比隨 POD 模態(tài)階數(shù)的變化曲線Fig.4 Variation curve of POD modal energy ratio with order number of POD modes

從圖 4 可以看出，第 1 階模態(tài)能量占比為 87.13%，前 2 階模態(tài)能量占比為 99.64%，前 3 階模態(tài)能量占比為 99.93%。根據(jù)能量占比公式 (11)，在保證降階模型計算精度的前提下，選擇前 3 階 POD 模態(tài)作為投影子空間，即。將全階模型的系統(tǒng)矩陣及載荷向量投影到 POD 基模態(tài)所構成的降階子空間上，即從而實現(xiàn)模型降階的目的。

2.4 降階模型精度分析

2.4.1 俯仰結構的模態(tài)特性

基于上述過程所獲得的降階模型進行俯仰結構的模態(tài)特性分析，分別計算出斗輪堆取料機俯仰結構的固有頻率。俯仰結構全階模型和降階模型前 10 階固有頻率對比如表 3 所列。前 3 階模態(tài)振型對比如圖 5 所示。

圖5 俯仰結構全階模型和降階模型前 3 階模態(tài)振型對比Fig.5 Comparison of full-order model and reduced-order model of pitching mechanism in modal vibration mode of preceding 3 orders

表3 俯仰結構全階模型和降階模型前 10 階固有頻率對比Tab.3 Comparison of full-order model and reduced-order model of pitching mechanism in natural frequency of preceding 10 orders

從表 3 可以看出，俯仰結構全階模型與降階模型計算得到的固有頻率吻合較好，前 10 階固有頻率最大誤差僅為 0.67%，前 3 階模態(tài)振型對比也顯示此降階方法具有較高的計算精度。

此外，俯仰結構全階模型固有頻率的計算時間約為 1 159 s，而降階模型固有頻率的計算時間為 47.72 s，降階模型的模態(tài)特性計算效率提高了 95.88%。

2.4.2 外部激勵下俯仰結構的位移響應

為了進一步驗證俯仰結構降階模型的有效性，對俯仰結構進行外部激勵下的位移響應分析?？紤]到其實際工況，計算出在斗輪鏟斗處應施加相應簡諧載荷

其中ω=2πf，f=1.2 Hz。

簡諧激勵載荷波形如圖 6 所示。利用降階模型進行俯仰結構的動力學響應計算，計算完成后再將所得的方程解投影回原始物理空間。分別提取俯仰結構懸臂的前端、中部和后端測點的位移響應值，測點位置如圖 2 所示。分別提取各測點的位移響應值，與在相同簡諧激勵載荷下的全階模型進行對比，以此來評估降階模型的計算精度與計算效率。用 ANSYS 全階模型和 POD 模型降階法計算的各測點位移響應對比如圖 7～ 9 所示。

圖6 簡諧激勵載荷波形Fig.6 Waveform of simple harmonic excitation load

從圖 7～ 9 可以看出，俯仰結構全階模型與降階模型計算得到的位移值吻合較好，可以認為此降階模型具有較高的計算精度。在分析計算過程中，使用降階模型求解位移的時間為 46.20 s，遠遠小于使用全階模型的計算時間 3 300 s，計算效率提高了 98.6%。

圖7 全階模型和降階模型 A 測點位移響應對比Fig.7 Comparison of full-order model and reduced-order model in displacement response at testing point A

圖8 全階模型和降階模型 B 測點位移響應對比Fig.8 Comparison of full-order model and reduced-order model in displacement response at testing point B

圖9 全階模型和降階模型 C 測點位移響應對比Fig.9 Comparison of full-order model and reduced-order model in displacement response at testing point C

3 結論

針對斗輪堆取料機俯仰結構等大型結構動力學分析效率較低的問題，提出了一種基于 POD 的模型降階方法。首先通過動力學分析獲得原模型的位移場并組裝成快照矩陣，然后利用 POD 技術提取快照矩陣的主成分作為降階基，實現(xiàn)模型降階。結果表明：

(1) POD 方法應用于大型復雜結構的分析預測計算是可行的。雖然快照數(shù)據(jù)的獲取需要花費一定的計算時間，但是在 POD 降階模型建立完成之后，便能夠快捷、準確地得到任意節(jié)點的位移響應值，這為大型復雜結構的可靠性評估提供了一種有效可行的方法。

(2) 通過對 POD 降階模型與全階模型計算結果進行對比可知，POD 降階方法能夠成功應用于大型復雜結構的動力學計算，并且得到的降階模型具有較高的精度和效率，在本文中降階模型固有頻率和位移響應的計算效率分別比全階模型提高了 95.88% 和 98.6%。