史巖，孫航，陳云閣，王玨

（海軍大連艦艇學(xué)院a. 水面艦艇作戰(zhàn)實(shí)驗(yàn)中心；b. 航海系；c. 作戰(zhàn)軟件與仿真研究所，遼寧 大連 116018）

0 引言

艦載對(duì)陸巡航導(dǎo)彈可以在距離目標(biāo)更遠(yuǎn)的紅方防護(hù)海域內(nèi)進(jìn)行發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了在保護(hù)自身發(fā)射平臺(tái)安全的前提下，對(duì)藍(lán)方所屬的陸地縱深目標(biāo)實(shí)施精確打擊的目的[1]。隨著導(dǎo)彈巡航距離的增加，需進(jìn)一步提高其航程計(jì)算精度。

在充分考慮導(dǎo)彈的各種約束條件以及實(shí)際航行區(qū)域的情況下，為導(dǎo)彈規(guī)劃出一條滿足某種或多種需求的航路是導(dǎo)彈航路規(guī)劃的主要任務(wù)[2]。由于導(dǎo)彈實(shí)際飛行航跡需要近似大地線的要求，因此在航路的規(guī)劃過程中，規(guī)劃航路的航程計(jì)算精度就應(yīng)該接近大地線的計(jì)算精度。目前，謝曉方等人提出利用Bowring 公式快速計(jì)算反艦導(dǎo)彈航路點(diǎn)間距離[3]，該方法編程簡(jiǎn)便，易于工程實(shí)現(xiàn)，但是考慮到艦載對(duì)陸巡航導(dǎo)彈可能規(guī)劃出由海面到陸地的直接連通的規(guī)劃航路情形，此時(shí)的航路點(diǎn)間會(huì)存在一定的高程差，因此從某種程度上影響了航路點(diǎn)間距離的計(jì)算精度。為了解決該問題，衛(wèi)澤[4]等提出顧及空間兩點(diǎn)間高程時(shí)的距離計(jì)算方法，但是該算法相比于Bowring 公式快速計(jì)算方法更加復(fù)雜。由于艦載對(duì)陸巡航導(dǎo)彈航路規(guī)劃時(shí)，航路點(diǎn)間距離的計(jì)算是對(duì)規(guī)劃航程的定量評(píng)估，因此有必要提出一套與導(dǎo)彈航路規(guī)劃相匹配的規(guī)劃航路點(diǎn)間距離的計(jì)算方法。本文在Bow?ring 反解公式[5]的基礎(chǔ)上，通過建立顧及高程的地球橢球模型，兼顧了艦載對(duì)陸巡航導(dǎo)彈規(guī)劃航路點(diǎn)間距離計(jì)算的精度和便捷性。

1 Bowring 公式相關(guān)內(nèi)容

通常地球的大地水準(zhǔn)面可近似為旋轉(zhuǎn)橢球面，而大地距離是指在這個(gè)橢球面上任意兩點(diǎn)之間大地線的長(zhǎng)度，即兩點(diǎn)的最短距離，對(duì)于導(dǎo)彈而言是兩個(gè)航路點(diǎn)之間的直飛路徑。導(dǎo)彈在規(guī)劃航路時(shí)，首先需要耗時(shí)規(guī)劃航路，則計(jì)算規(guī)劃的航程需要顧及到計(jì)算的效率[6]。此外，導(dǎo)彈按照規(guī)劃航路進(jìn)行實(shí)際飛行的過程中，需要按照接近大地線的航線巡航飛行，則在計(jì)算規(guī)劃的航程時(shí)應(yīng)該盡可能地提高大地距離的計(jì)算精度。

在關(guān)于大地距離的計(jì)算中[7-8]有以數(shù)值積分為基礎(chǔ)的Gauss 法[9]、牛頓法[10]，其精度隨著距離的增加而下降，且計(jì)算工作量較大、較復(fù)雜。有以Bessel大地投影[11]為基礎(chǔ)的公式法，其在計(jì)算過程中計(jì)算的精度與公式展開的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，需要較為復(fù)雜的迭代過程。有以地圖投影理論為基礎(chǔ)的Bowring 公式法，其計(jì)算精度在短距離內(nèi)較高，且計(jì)算過程較為簡(jiǎn)便，易于編程實(shí)現(xiàn)。由于導(dǎo)彈航路規(guī)劃中航路段側(cè)重于短距離（大地線計(jì)算可以按照距離長(zhǎng)短分為400 km 以下的短距離計(jì)算，400~1 000 km 的中距離計(jì)算，以及1 000 km 以上的長(zhǎng)距離計(jì)算[3]）范圍的計(jì)算，因此該法較為適用。同時(shí)，考慮到艦載對(duì)陸巡航導(dǎo)彈航路規(guī)劃中航路點(diǎn)之間存在較大的高程差時(shí)，需要在考慮高程差值的前提下對(duì)大地線距離進(jìn)行計(jì)算。在現(xiàn)有的Bowring 公式快速解算大地線長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上，利用顧及高程的地球輔助橢球模型參數(shù)的求取，重新推導(dǎo)顧及高程的Bowring 計(jì)算公式。

已知兩點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)時(shí)計(jì)算兩點(diǎn)間的大地線長(zhǎng)度以及方位，需要利用Bowring 公式。設(shè)定橢球面上的兩點(diǎn)P1(L1,B1)和P2(L2,B2)，a和b表示地球的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)度，e′為第二偏心率且有公式e′2=(a2-b2)/b2，具體公式見（1）~（12）。

S表示點(diǎn)P1，P2之間的距離，從點(diǎn)P1到P2的方位角為α12，點(diǎn)P2到P1的方位角為α21，則

相關(guān)文獻(xiàn)[12-13]指出，Bowring 公式的角度偏差較小，距離精度在300 km 內(nèi)的計(jì)算誤差僅為0.1 m，在700 km 內(nèi)的計(jì)算誤差僅為1 m，1 500 km 內(nèi)的計(jì)算誤差也只有l(wèi)0 m，而到2 000 km 時(shí)的計(jì)算誤差達(dá)到40 m。則可認(rèn)為Bowring 公式在求解航路點(diǎn)距離時(shí)的精度較高，且由于航路規(guī)劃中，航路點(diǎn)之間的規(guī)劃航段多在中短距離之間，所以結(jié)合Bowring 公式精度及易于編程的特點(diǎn)完全可以應(yīng)用在對(duì)陸巡航導(dǎo)彈規(guī)劃航路段的距離計(jì)算中。由于上述Bowring公式的計(jì)算精度是基于無(wú)高程差時(shí)大地線長(zhǎng)度的計(jì)算，為了更好地為導(dǎo)彈規(guī)劃航路提供航程參考，Bowring 計(jì)算公式需要顧及高程差值。

2 顧及高程的地球橢球模型

地球參考橢球面上點(diǎn)的大地坐標(biāo)為P(B,L)，其轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)的公式為

式中：e為第一偏心率，且有公式e2= (a2-b2)/a2。不在地球參考橢球面上點(diǎn)的大地坐標(biāo)P(B,L,H)，其轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)的公式為

設(shè)定高度的平均值為Hm，做中心與地球橢球的中心保持一致的輔助橢球（輔助橢球參數(shù)為af，bf），同時(shí)輔助橢球上x,y,z坐標(biāo)軸指向、扁率，也與地球橢球保持一致[14]，結(jié)合圖1 所示，則有

圖1 輔助橢球示意圖Fig.1 Auxiliary ellipsoid diagram

同時(shí)滿足如下關(guān)系：

原參考橢球上的點(diǎn)P(B，L，H)，在輔助橢球上的坐標(biāo)P(B，L，0)，則該點(diǎn)在輔助橢球上坐標(biāo)的改正量分別為dB，dL，dH。根據(jù)文獻(xiàn)[4]則有

說(shuō)明點(diǎn)P在輔助橢球中的經(jīng)度值L沒有發(fā)生改變，只有緯度值B和高程值H發(fā)生改變，設(shè)原參考橢球P1（B1，L1，H1），則點(diǎn)（B1，L1，Hm）在輔助橢球上，但其坐標(biāo)系是在原參考橢球中。在輔助橢球上且也是輔助橢球坐標(biāo)系的點(diǎn)為P′（B′1，L1，0），則有

由式（17），（18）可得

參考橢球P1（B1，L1，H1），在輔助橢球上的投影點(diǎn)P′（B′1，L1，0）是由輔助橢球的參考系坐標(biāo)確定；參考橢球P2（B2，L2，H2）對(duì)應(yīng)的輔助橢球上的點(diǎn)（B′1，L2，H′2）是在原參考橢球的坐標(biāo)系，則其在輔助橢球上 的 投 影P′2（B′2，L2，0）是輔助橢球的參考系坐標(biāo)確定。

3 顧及高程的Bowring 公式

在新構(gòu)建的輔助橢球上應(yīng)用Bowring 公式，其橢球的長(zhǎng)短半軸隨之變化，則輔助橢球的第二偏心率 為

由（B1，L1，H1），（B2，L2，H2）得到輔助橢球上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（B′1，L1，0），（B′2，L2，0）帶入到Bowring 反解公式（26）~（32）中，則有

進(jìn)一步帶入求得顧及高程情況下的點(diǎn)P1，P2之間的距離以及兩點(diǎn)之間的方位角為

上述推導(dǎo)過程中，空間兩點(diǎn)可以是任意兩個(gè)具有高程差值的相鄰規(guī)劃航路點(diǎn)?？梢娫陬櫦昂铰伏c(diǎn)間高程值的情況下，Bowring 公式的推導(dǎo)過程較為簡(jiǎn)捷，比較適合計(jì)算機(jī)的編程實(shí)現(xiàn)。

4 算例分析

通過設(shè)計(jì)不同高程值時(shí)的相鄰空間航路點(diǎn)間距離的算例[15]，進(jìn)一步說(shuō)明應(yīng)用顧及高程的Bowring公式后對(duì)計(jì)算精度的影響。取克拉索夫斯基橢球基本常數(shù)a=6 378 245，e2= 0.006 693 421 622 97。計(jì)算Bowring 公式在是否顧及高程差時(shí)兩點(diǎn)之間的大地距離及方位角見表1，相關(guān)差值對(duì)比見表2所示。

表1 空間兩航路點(diǎn)間不同高程差值下的距離計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of distance between space waypoints with different elevation difference

表2 空間兩航路點(diǎn)間相關(guān)參數(shù)差值計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculation results of correlation parameter difference between space waypoints

從表2 中數(shù)據(jù)可以看出，大地高程差值引起的距離差在中短距離（1 000 km 以下）的大地線長(zhǎng)度中，從米級(jí)到百米級(jí)不等，說(shuō)明高程的差值對(duì)于大地距離的計(jì)算精度有一定程度影響。在空間兩點(diǎn)高程差值一定的情況下，兩點(diǎn)間顧及高程與未顧及高程時(shí)的距離差值隨著參考橢球面上的大地線長(zhǎng)度的增加而增加。在空間兩點(diǎn)經(jīng)緯度不變的情況下，兩點(diǎn)高程差值越大，則兩點(diǎn)間的距離越大。而在兩點(diǎn)方位角的變化中，高程差對(duì)兩點(diǎn)之間的方位角的影響較小。在針對(duì)導(dǎo)彈由海面發(fā)射直接打擊陸上目標(biāo)時(shí)，需應(yīng)用顧及高程的Bowring 公式求取大地線距離。而在導(dǎo)彈超低空臨海巡航時(shí)，其航路點(diǎn)間的計(jì)算可以直接應(yīng)用Bowring 公式，此時(shí)的距離也等效于導(dǎo)彈臨海巡航時(shí)大圓航線的航程。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文所給出的艦載對(duì)陸巡航導(dǎo)彈規(guī)劃航路點(diǎn)間距離的計(jì)算方法，充分考慮了導(dǎo)彈由海上發(fā)射攻擊陸地目標(biāo)時(shí)規(guī)劃航路點(diǎn)間可能存在一定高程差的特點(diǎn)。該算法較為簡(jiǎn)捷且精度符合需求，易于在規(guī)劃艦載對(duì)陸巡航導(dǎo)彈航路的過程中快速計(jì)算航程，便于工程實(shí)現(xiàn)。