唐朝君 余湛 魏正元

0 引言

近年來,多智能體系統一致性問題的研究吸引了來自計算機應用、自動控制、數學等領域研究學者的關注[1-4].其中系統中含有多個領導智能體的跟蹤問題也被稱為包含控制問題,包含控制在軍事和民用領域都有著廣泛的應用.在研究多智能體系統的有限時間一致性問題中,文獻[5]構建了一個有效的分布式協議框架,在此協議下解決了有限時間的一致性問題，文獻[6]通過二重積分器設計了用于實現在干擾下有限時間一致性問題的分布協議，文獻[7]研究了在外部干擾下的非線性多智能體系統,通過利用滑?？刂萍夹g解決有限時間一致性的跟蹤控制問題.然而上述文獻的收斂時間是與初始狀態(tài)息息相關的,因此,初始狀態(tài)無法影響收斂時間的研究成為一個重要課題.文獻[8]通過研究固定時間穩(wěn)定性,從而提出了固定時間一致性問題,并且保證了收斂時間是與初始狀態(tài)沒有關系的.對于帶有外部干擾的多智能體系統,文獻[9]通過設計非線性協議解決了固定時間一致性問題.對于非線性的多智能體系統,并且該通信拓撲是有向的,其固定時間一致性問題在文獻[10]中被解決.在多智能體系統包含控制問題中,文獻[11]提出了固定無向網絡拓撲下的包含控制問題，文獻[12]研究了多智能體系統分別在靜態(tài)和動態(tài)領導下的包含控制問題，文獻[13]通過齊次控制技術設計了用于實現有限時間包含控制問題的控制協議，文獻[14]針對有向切換網絡拓撲研究其包含控制問題.但是在已有文獻中,對固定時間包含控制的研究結果還比較少.特別是對于有向網絡拓撲下固定時間包含控制的研究,相關的研究結果更少.

基于上述原因,本文在文獻[10]的基礎上,通過設計更加一般的非線性系統和控制協議,研究多個領導的包含控制問題.本文與文獻[10]的不同主要體現在兩個方面:第一,文獻[10]研究的是具有單個領導智能體的領導-跟隨一致性問題,本文研究的是具有多個領導智能體的包含控制問題,文獻[10]是本文的一個特例;第二,本文將文獻[10]中的控制協議進行了推廣,更具一般性.本文利用代數圖論、矩陣理論和固定時間穩(wěn)定性理論給出系統解決固定時間包含控制最弱的拓撲條件.

1 預備知識

1.1 圖論

1.2 相關引理

引理1[16]令x1,x2,…,xn≥0,0

(1)

引理2[8]考慮如下系統:

(2)

其中:x(t)∈Rn表示信息狀態(tài);f:Rn×R+→Rn是連續(xù)非線性函數.假設原點是平衡點,如果存在一個連續(xù)的徑向無界函數V:Rn→R和一些常數a,b>0,0<μ<1<ν使得:

(3)

則原點是全局固定時間穩(wěn)定,且滿足:

(4)

2 模型描述與結果

設所研究的多智能體系統包含m個跟隨智能體和n-m個領導智能體,分別用F={1,2,…,m}和S={m+1,m+2,…,n}表示跟隨智能體和領導智能體的集合.該系統的動力學模型為

(5)

其中:xi(t)表示第i個智能體在時刻t的信息狀態(tài);ui(t)∈R是第i個跟隨智能體的控制輸入;f(xi(t),t):R×R→R是第i個智能體的非線性動態(tài).

定義1如果存在控制協議ui,i=1,…,m,且對于一個不依賴于初始值的正實數T和有界正常數Tmax,滿足T

(6)

則稱該協議解決固定時間包含控制問題.

假設1對于每個跟隨智能體,都存在來源于領導智能體的有向路徑.

為研究方便,將Laplacian矩陣L寫成如下分塊矩陣的形式:

(7)

其中L1∈Rm×m,L2∈Rm×(n-m).

定義2[18]若對于一個非奇異的實方陣A,其非對角線元素是非正的,并且每個特征值具有正實部,則稱矩陣A是M-矩陣.

(8)

由假設2明顯看出當m=n-1時,即系統只有一個領導智能體時,該條件為Lipschitz條件.

考慮如下控制協議:

(9)

其中β≥α>0,μ>1>ν>0.

令

xF(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T,

xS(t)=(xm+1(t),xm+2(t),…,xn(t))T,

F(xF(t))=(f(x1(t),t),…,f(xm(t),t))T,

F(xS(t))=(f(xm+1(t),t),…,f(xn(t),t))T,

則有:

L2xS(t))[ν]+F(xF(t)).

(10)

令加權跟蹤誤差δ(t)=L1xF(t)+L2xS(t),可以得到:

L1(-αδ(t)[μ]-βδ(t)[ν])+

L1F(xF(t))+L2F(xS(t)).

(11)

在下文中,為了表示方便,在不引起混淆的情況下,我們有時去掉時間變量t.下面給出本文的主要結論.

定理1在假設1和假設2的條件下,如果控制增益參數α,β滿足以下條件:

(12)

則協議(9)解決固定時間包含控制問題.

證明首先構造如下李雅普諾夫函數:

(13)

其中W=diag(w1,w2,…,wm)是引理4中定義的對角陣.

對其求導得到:

-(αδ[μ]+βδ[ν])TWL1(αδ[μ]+βδ[ν])+

(14)

又由于β≥α>0,所以

‖δ[μ]+δ[ν]‖2.

(15)

(16)

再由假設2可以得到:

(17)

(18)

又根據β≥α>0,所以

‖δ[μ]+δ[ν]‖2.

(19)

-γ‖δ[μ]+δ[ν]‖2.

(20)

又由于

(21)

(22)

(23)

即

(24)

(25)

(26)

即

(27)

最后結合不等式(20)、(24)和(27),可以得到:

(28)

(29)

圖1 系統的通信拓撲Fig.1 System communication topology

3 數值仿真

圖2 加權跟蹤誤差的狀態(tài)隨時間的變化曲線Fig.2 State curve of the weighted tracking error over time

多智能體系統的通信拓撲如圖1所示,分別由2個領導智能體(用頂點5、6表示)和4個跟隨智能體(用頂點1、2、3、4表示)組成.設智能體的非線性動態(tài)為f(xi,t)=xisint.當l=1時,滿足條件假設2.經過計算,取對角矩陣W=diag(2,0.8,1,0.5),選擇參數μ=1.5,ν=0.5,α=30,β=35,取跟隨智能體的初始狀態(tài)xF(0)=(5,-2,3,-7)T,領導智能體的初始狀態(tài)xS(0)=(4,-9)T,可以得到初始加權跟蹤誤差的狀態(tài)δ(0)=(1,-12,12,2)T,加權跟蹤誤差的狀態(tài)隨時間的變化曲線如圖2所示.從圖 2可以看出,加權跟蹤誤差大約在0.01 s內收斂到0,比Tmax=0.89 s要小得多,這意味著系統能在固定時間內解決包含控制問題,驗證了理論結果的正確性.

4 結論

本文研究了非線性多智能體系統在有向網絡拓撲下的固定時間包含控制問題.假設所有智能體之間的通信拓撲是有向的,而且每個跟隨智能體都至少有一個領導智能體能夠直接或間接地與其通信,在這最弱拓撲條件下,所給出的控制協議能夠解決固定時間的包含控制問題.仿真實例驗證了所提理論結果的正確性.