李 好 徐志玲 徐 勇 趙有為

1.中國計(jì)量大學(xué)質(zhì)量與安全工程學(xué)院，杭州，3100182.臺(tái)州方圓質(zhì)檢有限公司，臺(tái)州，3180003.浙江天馬軸承集團(tuán)有限公司，湖州，313200

0 引言

機(jī)械產(chǎn)品的裝配由于各零件尺寸鏈偏差累積，導(dǎo)致合格零件經(jīng)裝配后無法滿足企業(yè)要求，雖然可通過提高零件制造精度來滿足裝配要求， 但勢必會(huì)增加相應(yīng)的制造成本。選擇裝配法是在不增加制造成本的條件下，在裝配層通過對(duì)零件的質(zhì)量特性進(jìn)行匹配選擇，使產(chǎn)品滿足企業(yè)的裝配要求。

目前，國內(nèi)外學(xué)者主要針對(duì)零件的精確選擇裝配和分組選擇裝配兩種方法進(jìn)行選擇裝配方法研究。對(duì)于分組選擇裝配的方法，KANNAN等[1-2]提出了一種基于遺傳算法尋求最優(yōu)分組的方法以獲得最小間隙變化，將裝配過程分為三階段，但該方法要求零件尺寸服從正態(tài)分布。KUMAR等[3]提出了一種兩階段方法，通過遺傳算法來最大程度減少剩余件。RAJ等[4-5]提出了一種基于粒子群算法的選擇裝配方法，在多質(zhì)量要求下通過應(yīng)用分批選擇裝配法來提高裝配效率。RAJESH等[6]提出一種人工免疫系統(tǒng)(AIS)算法，以裝配公差變化及質(zhì)量損失最小為目標(biāo)，獲得最佳裝配組合。WANG等[7]提出了一種改進(jìn)的遺傳算法用以解決非正態(tài)分布零件的選擇裝配問題，提高了選擇裝配的合格率。在精確選擇裝配方面，任水平等[8]提出構(gòu)建面向三維空間的同一選擇裝配信息模型，以公差項(xiàng)為單元的編碼方式對(duì)多質(zhì)量要求下的選擇裝配進(jìn)行優(yōu)化。宿彪等[9]針對(duì)再制造裝配問題，以裝配精度和再制造利用率為目標(biāo)建立選擇裝配模型，有效提高了重用件和修復(fù)件的利用率。王康等[10]提出基于強(qiáng)度Pareto算法對(duì)多質(zhì)量要求選擇裝配問題進(jìn)行求解。曹杰等[11]建立考慮形位公差與尺寸公差的選擇裝配模型，在保證裝配精度的情況下，減小產(chǎn)品的形位公差。段黎明等[12]提出考慮零件尺寸與尺寸鏈關(guān)聯(lián)關(guān)系，利用基于密度的多目標(biāo)進(jìn)化算法(DMOEA)對(duì)多目標(biāo)選擇裝配問題進(jìn)行求解。

綜上，精確選擇裝配能有效提高選擇裝配中的裝配精度以及裝配合格率，但大批量生產(chǎn)的方式往往采用分組選擇裝配。分組選擇裝配研究通常以零件尺寸服從正態(tài)分布為前提，當(dāng)零件尺寸出現(xiàn)非正態(tài)分布時(shí)則不適用。本文提出一種非正態(tài)分布下的分組選擇裝配方法，綜合考慮裝配精度和裝配合格率，分析各組成環(huán)偏差分布的特點(diǎn)，以決策者對(duì)裝配精度和裝配成功率的偏好選定目標(biāo)值，借鑒田口質(zhì)量損失函數(shù)構(gòu)建分組選擇裝配綜合數(shù)學(xué)模型。利用第二代非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)混合模擬退火算法求解數(shù)學(xué)模型，借助成績標(biāo)量函數(shù)(achievement scalarizing function，ASF)[13]將多目標(biāo)問題通過聚合函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)標(biāo)量，利用模擬退火算法進(jìn)行局部搜索，提升種群收斂速度和求解精度，最終得到最優(yōu)分組方案。

1 非正態(tài)分布分組選擇裝配優(yōu)化模型

1.1 非正態(tài)分布剩余偏差分析

傳統(tǒng)的選擇裝配為獲得較高的裝配精度，通常在各組成環(huán)中挑選合適的零件尺寸相互匹配，使裝配而成的產(chǎn)品其封閉環(huán)實(shí)際尺寸接近理想尺寸，但實(shí)際上由于不同的零件加工難度不同，其尺寸分布也不相同，出現(xiàn)非正態(tài)分布的情況，如圖1所示，如果仍按照傳統(tǒng)的方式進(jìn)行選擇裝配將產(chǎn)生大量剩余件。徐知行等[14]從所有組成環(huán)偏差總體的角度分析，得出封閉環(huán)尺寸在平均偏差位置的附近分布概率最大，以封閉環(huán)的平均偏差位置為目標(biāo)值進(jìn)行選擇裝配，將獲得較高匹配率。封閉環(huán)的平均偏差即所有組成環(huán)偏差算術(shù)平均值的代數(shù)和，其表達(dá)式如下：

(1)

圖1 封閉環(huán)偏差尺寸分布Fig.1 Closed loop deviation size distribution

通常封閉環(huán)的理想尺寸為公差帶中心值dcen，若以dcen為目標(biāo)值進(jìn)行選擇裝配，將得到較高的裝配精度；若以封閉環(huán)平均偏差dave為目標(biāo)值進(jìn)行選擇裝配，則得到較高裝配成功率。裝配精度和裝配成功率無法同時(shí)獲得最優(yōu)，兩個(gè)參數(shù)的協(xié)調(diào)和優(yōu)選需要決策者根據(jù)裝配的具體要求，通過加權(quán)的方式來選擇權(quán)重a和b,協(xié)調(diào)對(duì)裝配精度和裝配成功率之間的偏好，如下所示：

(2)

式中,d0∈[dave,dcen]；a,b為[0,1]的常數(shù)且a+b=1。

a越大，d0越偏向dave，此時(shí)得到較高裝配成功率。實(shí)際生產(chǎn)中，企業(yè)往往優(yōu)先考慮制造成本，即提高裝配合格率，減少生產(chǎn)浪費(fèi)，其次考慮裝配精度。b越大，d0越偏向dcen，使得裝配精度越高，產(chǎn)品質(zhì)量越好。選擇偏好a或b由企業(yè)的受眾群體決定。當(dāng)封閉環(huán)的平均偏差為0時(shí)，則dave=dcen，此時(shí)的d0即為dcen，即正態(tài)分布。

1.2 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建

選擇裝配既要獲得較高的裝配精度又要減少剩余件，提高裝配成功率，因此是多目標(biāo)優(yōu)化問題。以裝配精度和裝配成功率作為分組配對(duì)方案的選擇裝配質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)，建立模型。

1.2.1基于質(zhì)量損失函數(shù)的裝配精度評(píng)價(jià)指標(biāo)

由田口質(zhì)量損失函數(shù)定義，質(zhì)量特征值距離目標(biāo)值越近，即封閉環(huán)實(shí)際尺寸與理想尺寸的偏差越小，造成的質(zhì)量損失越小；反之，造成的質(zhì)量損失越大。為保證封閉環(huán)總的偏差波動(dòng)最小，提升產(chǎn)品性能，根據(jù)田口質(zhì)量損失函數(shù)，構(gòu)建產(chǎn)品裝配質(zhì)量損失的適應(yīng)度函數(shù)來評(píng)價(jià)裝配質(zhì)量。由于目標(biāo)值不一定為公差帶的中心值，造成公差帶不對(duì)稱，如圖2所示，且在公差帶的左端點(diǎn)和右端點(diǎn)造成的質(zhì)量損失應(yīng)相等[15]，故引入α和β，α、β分別表示公差帶左右端點(diǎn)與目標(biāo)值的距離占總公差帶范圍的比例，α+β=1，d0-αT、d0+βT分別表示公差帶的左邊界和右邊界，T為封閉環(huán)公差帶的寬度。

圖2 質(zhì)量損失評(píng)價(jià)函數(shù)Fig.2 Quality loss evaluation function

構(gòu)建質(zhì)量損失函數(shù)：

q(dp)=

(3)

式中，dp為第p件零件的實(shí)際尺寸；λ為[0,1]內(nèi)的常數(shù)，表示產(chǎn)品配合參數(shù)位于公差帶邊界時(shí)的可接受程度，根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)給出。

在對(duì)單個(gè)配對(duì)關(guān)系評(píng)價(jià)q(dp)的基礎(chǔ)上，對(duì)整個(gè)選擇裝配方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)：

(4)

式中，S為零件分組配對(duì)方案。

1.2.2裝配成功率評(píng)價(jià)指標(biāo)

裝配成功率指選擇裝配得到滿足封閉環(huán)公差要求的產(chǎn)品數(shù)量與參與選擇裝配總的產(chǎn)品數(shù)量的比值，即

(5)

式中，N2為一次選擇裝配后得到的產(chǎn)品件數(shù)；N1為一次選擇裝配后滿足質(zhì)量要求的產(chǎn)品件數(shù)。

1.3 多目標(biāo)選擇裝配綜合模型

多目標(biāo)要求下的選擇裝配，考慮其裝配精度及裝配成功率對(duì)裝配質(zhì)量的影響，定義多目標(biāo)選擇裝配綜合模型：

minR(S)=[Q(S),δ(S)]S∈Ω

(6)

式中，R為目標(biāo)函數(shù)；Ω表示解空間;δ(S)為不合格率。

為了使目標(biāo)優(yōu)化方向一致，令不合格率

δ(S)=1-φ(S)

(7)

2 基于局部搜索NSGA-Ⅱ算法求解模型

NSGA-Ⅱ算法對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題求解具有魯棒性和收斂性好等特點(diǎn)，通過快速非支配排序比較個(gè)體優(yōu)劣，采用擁擠度比較個(gè)體，可保證種群的多樣性，但算法局部搜索能力較差，后期的搜索速度較慢?？紤]到模擬退火算法局部搜索能力強(qiáng)，在NSGA-Ⅱ算法的基礎(chǔ)上以ASF函數(shù)作為評(píng)價(jià)函數(shù)，利用模擬退火算法實(shí)現(xiàn)局部搜索。

2.1 分組選擇裝配的編碼方法

2.1.1分組數(shù)量計(jì)算

與傳統(tǒng)分組選擇裝配統(tǒng)一將零件依照過程能力分為6組不同，根據(jù)零件的尺寸公差帶范圍和封閉環(huán)公差帶寬度，確定零件分組的組數(shù):

(8)

式中，k為分組的組數(shù)；Ti為第i個(gè)組成環(huán)設(shè)計(jì)公差帶的寬度；Tσ為封閉環(huán)公差帶要求的寬度；ceiling(·)表示向上取整。

2.1.2分組方案編碼

為了將分組選擇裝配方案中的具體信息映射到基因編碼中，采用浮點(diǎn)數(shù)和整數(shù)相結(jié)合的編碼形式構(gòu)建染色體，染色體結(jié)構(gòu)如下：

(9)

f=1,2,…，mg=1,2,…,k

式中，m為零件類型的數(shù)量；tf,g為浮點(diǎn)數(shù),表示第f類零件的第g組相對(duì)公差范圍寬度，實(shí)際公差范圍寬度為tf,g×tf；Gf,g為整數(shù),表示第f類零件中分組的組號(hào)為g。

矩陣中的每個(gè)元素都由Gf,g+tf,g得到，它的整數(shù)部分表示組號(hào)，小數(shù)部分表示相對(duì)公差范圍寬度。

對(duì)于染色體矩陣，它的每一列所代表的是一個(gè)匹配方案，以軸承為例。軸承由外環(huán)、內(nèi)環(huán)和滾珠構(gòu)成，假設(shè)它的染色體結(jié)構(gòu)為

(10)

其中，第1列中3個(gè)基因的整數(shù)部分4、2、1分別表示外環(huán)分組中的第4組、內(nèi)環(huán)分組中的第2組和滾珠分組中的第1組進(jìn)行匹配，組成一個(gè)匹配方案；而第1個(gè)基因的小數(shù)部分0.3149表示外環(huán)的第4分組公差帶范圍占外環(huán)設(shè)計(jì)公差帶寬度的31.49%。以此類推，整個(gè)染色體結(jié)構(gòu)為總的分組選擇裝配的方案。

同時(shí)，為確保解的可行性，染色體結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足：

(11)

即每一行中的各基因小數(shù)部分之和為1，且整數(shù)部分不重復(fù)。

2.2 分組方案的解碼方式

為了得到分組選擇裝配方案中封閉環(huán)的實(shí)際尺寸，針對(duì)分組方案編碼，設(shè)計(jì)了一種解碼方法。具體過程如下：

(2)通過遍歷操作，將每類零件的尺寸數(shù)據(jù)存入各分組所對(duì)應(yīng)的空矩陣中。

(3)由于在每個(gè)匹配方案中，落在各分組公差帶的零件數(shù)量會(huì)存在不均等或?yàn)榱愕那闆r，因此Num=min(G1,s,G2,s,…,Gm,s)。其中，s表示任意一列，Num為每一個(gè)匹配方案中落在各類零件分組里最少零件的數(shù)量，作為這個(gè)匹配方案的配對(duì)成功數(shù)量。假設(shè)分組后每組零件的數(shù)量分布如表1所示，當(dāng)一個(gè)匹配方案的整數(shù)部分為4、2、1時(shí)，Num為10，即從A零件的第4組中取10個(gè)零件，從B零件的第2組中取10個(gè)零件與C零件的第1組中取10個(gè)零件進(jìn)行裝配。

表1 軸承分組后各組零件的數(shù)量

(4)為了模擬實(shí)際裝配過程情形，對(duì)于匹配方案的各類零件的選取，均為從各分組中隨機(jī)選取Num個(gè)零件，將它們隨機(jī)配對(duì)，再通過裝配尺寸鏈計(jì)算得到封閉環(huán)的實(shí)際尺寸。

2.3 基于局部搜索的NSGA-Ⅱ算法流程

2.3.1遺傳算子設(shè)計(jì)

2.3.1.1 選擇算子

采用錦標(biāo)賽選擇法，每次從種群中抽取一定比例的個(gè)體，依據(jù)非支配排序?qū)訑?shù)進(jìn)行比較；若層數(shù)相同,優(yōu)先選擇NSGA-Ⅱ定義的擁擠度高的個(gè)體。重復(fù)操作，直到新種群規(guī)模達(dá)到原先種群規(guī)模。

2.3.1.2 交叉算子

為充分交換基因位中的基因信息，使交叉前后有較廣的空間分布，采用隨機(jī)兩點(diǎn)交叉方法，對(duì)參與交叉的兩個(gè)父代個(gè)體中隨機(jī)選擇子串X1、X2進(jìn)行交叉運(yùn)算。通過隨機(jī)的方式確定兩個(gè)交叉點(diǎn)，再生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)r,r∈{0,1,2}，當(dāng)r為0時(shí)，染色體在交叉點(diǎn)1之后交叉；當(dāng)r為1時(shí)，染色體在兩個(gè)交叉點(diǎn)之間交叉；當(dāng)r為2時(shí)，染色體在交叉點(diǎn)2之前交叉。圖3為隨機(jī)數(shù)為1時(shí)的交叉操作。

圖3 隨機(jī)數(shù)為1時(shí)交叉操作Fig.3 Crossover operation when the randomnumber is 1

為了保證染色體在交叉操作中滿足式(11)定義的約束保證解的可行性，在交叉操作中將X1的基因保留部分與X2進(jìn)行比較，從X2中移除與X1基因保留部分相同組號(hào)的基因，再對(duì)X2余下組號(hào)中的分組公差相對(duì)寬度進(jìn)行隨機(jī)分配，使得X2剩余的基因部分與X1基因保留部分拼接形成新的子代染色體，且新的子代染色體每個(gè)基因的小數(shù)部分和為1。同理，對(duì)X2進(jìn)行相同的操作生成新的子代。圖4所示為一個(gè)隨機(jī)數(shù)r為1的交叉操作實(shí)例。

圖4 隨機(jī)數(shù)為1時(shí)交叉操作實(shí)例Fig.4 Example of crossover operation when therandom number is as 1

2.3.1.3 變異算子

變異的方法是選擇染色體的某個(gè)基因作為變異點(diǎn)與該染色體后一位基因位進(jìn)行交換(若選中了最后一個(gè)基因則與第一位基因進(jìn)行交換)，同樣為了保證解的可行性，使染色體在變異過程中滿足式(11)的要求，交換后的兩個(gè)基因需要重新分配分組公差相對(duì)寬度。

2.3.2基于成績標(biāo)量函數(shù)的局部搜索

(12)

依據(jù)模擬退火算法的Metropolis準(zhǔn)則，判斷是否接受父代中的低劣解作為下一代種群的起始值，接受概率如下：

(13)

式中，P為接受低劣解的突跳概率；Tc為當(dāng)前溫度；B為玻爾茲曼常數(shù)；F(Xold)為父代ASF函數(shù)值；F(Xnew)為子代ASF函數(shù)值。

2.3.3局部搜索的NSGA-Ⅱ算法流程

該算法由輸入模塊、初始種群模塊、評(píng)價(jià)模塊、子代產(chǎn)生模塊、局部搜索模塊和輸出模塊構(gòu)成。算法流程如圖5所示，步驟如下：

(1)輸入選擇裝配問題參數(shù)：零件的公差帶、種類數(shù)、零件的數(shù)量、裝配精度要求；設(shè)置算法參數(shù)：迭代次數(shù)、種群初始大小、交叉、變異概率，初始溫度、衰減系數(shù)、結(jié)束溫度。

(2)構(gòu)建初始種群，通過解碼計(jì)算出每個(gè)染色體代表的裝配方案中成功匹配產(chǎn)品的封閉環(huán)實(shí)際尺寸。

(3)計(jì)算適應(yīng)度值，對(duì)父代進(jìn)行非支配排序和擁擠度計(jì)算，再計(jì)算父代的ASF值。

(4)對(duì)父代種群中的個(gè)體進(jìn)行交叉、變異操作產(chǎn)生子代，計(jì)算子代的ASF值。

(5)對(duì)子代進(jìn)行模擬退火搜索，比較父代與子代的ASF值，通過Metropolis準(zhǔn)則判斷是否納入新的解集，將新的解集與父代合并。

(6)通過選擇操作判斷是否滿足終止條件或迭代次數(shù)大于Z，若滿足則輸出結(jié)果，否則返回步驟(3)。

圖5 算法流程圖Fig.5 Algorithm flow chart

3 實(shí)例分析

以某軸承企業(yè)生產(chǎn)的6224深溝球軸承(圖6)的選擇裝配為例，設(shè)計(jì)公差要求見表2。

圖6 6224深溝球軸承Fig.6 6224 deep groove ball bearing

表2 6224深溝球軸承公差設(shè)計(jì)要求

現(xiàn)場采集的50套軸承產(chǎn)品的待裝配零件如表3所示，對(duì)其進(jìn)行選擇裝配分析。由于滾珠(零件C)的制造精度明顯高于內(nèi)圈滾道(零件B)和外圈滾道(零件A)，滾珠尺寸誤差可以忽略不計(jì)，假設(shè)每套軸承產(chǎn)品所用滾珠大小均相等，因此表3給出的零件的尺寸偏差數(shù)據(jù)中每個(gè)滾珠的尺寸偏差代表每套軸承中所有滾珠的尺寸偏差。軸承裝配間隙

dp=dA-dB-2dC

(14)

表3 零件尺寸偏差數(shù)據(jù)

根據(jù)式(11)求得分組數(shù)k為4，零件的種類m為3，零件數(shù)量為50。零件的公差帶和裝配精度如表2所示，為了優(yōu)先考慮裝配合格率，設(shè)定式(2)中a=0.6，λ=0.4，初始種群的大小N為50，交叉概率Pc=0.85，變異概率Pm=0.3，最大進(jìn)化代數(shù)Gen=300,初始溫度為100，衰減系數(shù)為0.8，結(jié)束溫度為60。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)，2個(gè)目標(biāo)函數(shù)值最終趨于穩(wěn)定，有較好的收斂效果，如圖7、圖8所示，其中最優(yōu)裝配方案如表4所示。

圖7 產(chǎn)品裝配不合格率δ(S)平均值變化曲線Fig.7 Product assembly failure rate δ(S) averagechange curve

圖8 產(chǎn)品裝配質(zhì)量損失Q(S)平均值變化曲線Fig.8 Change curve of Q(S) average value of productassembly quality loss

為了證明方法的有效性，在原始數(shù)據(jù)相同的情況下，將順序裝配法、文獻(xiàn)[8]的選擇裝配方法與基于局部搜索的NSGA-Ⅱ選擇裝配方法進(jìn)行比較，結(jié)果如表5所示?？梢姡捎谖墨I(xiàn)[8]僅考慮產(chǎn)品的合格率，裝配精度無法保證，而本文的分組選擇裝配方法在裝配成功率和裝配質(zhì)量方面均優(yōu)于其他兩種方法。

表4 最優(yōu)分組選擇裝配方案

表5 不同選擇裝配方法的結(jié)果

4 結(jié)語

本文針對(duì)大批量機(jī)械產(chǎn)品的分組選擇裝配問題，當(dāng)零件尺寸為非正態(tài)分布的情況，考慮決策偏好的影響，改進(jìn)田口質(zhì)量損失函數(shù)，并提出一種分組選擇裝配的方法，構(gòu)造了面向分組選擇裝配的綜合數(shù)學(xué)模型，在保證裝配精度的基礎(chǔ)上，尋求更高的裝配成功率。同時(shí)，在NSGA-Ⅱ算法的基礎(chǔ)上，利用模擬退火算法進(jìn)行局部搜索，采用ASF函數(shù)將多個(gè)目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)量，從而便于應(yīng)用模擬退火算法。通過實(shí)例驗(yàn)證了方法的有效性。此外，本文方法還能有效保證產(chǎn)品的裝配質(zhì)量，得到全局最優(yōu)的分組選擇裝配方案。在裝配過程中只需從各匹配方案分組中挑選零件，可降低后續(xù)裝調(diào)工作的難度，提高生產(chǎn)效率。