許禮進(jìn)， 陳青， 代鵬， 王風(fēng)濤

（1.埃夫特智能裝備股份有限公司，安徽 蕪湖 241000；2.安徽工程大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

0 引言

鑒于漸開線直齒輪副瞬時(shí)傳動(dòng)比穩(wěn)定、傳遞功率范圍廣、使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中。作為主要?jiǎng)討B(tài)激勵(lì)，時(shí)變嚙合剛度與齒輪副的振動(dòng)息息相關(guān)，成為研究齒輪副振動(dòng)特征的重要參數(shù)[1]。然而，受裝備工藝的影響，高速轉(zhuǎn)軸和低速轉(zhuǎn)軸的軸心線出現(xiàn)平行度誤差，齒輪副不能進(jìn)行正常的嚙合傳動(dòng)，嚙合剛度受到重大影響[2]。

目前對(duì)漸開線直齒輪副時(shí)變嚙合剛度理論的研究趨于成熟，眾多學(xué)者也討論了齒輪副出現(xiàn)故障時(shí)的振動(dòng)特性和故障檢測(cè)。在齒輪副的時(shí)變嚙合剛度的研究中，Yang[3]通過(guò)勢(shì)能法推導(dǎo)輪齒的彎曲剛度、徑向壓縮剛度和赫茲接觸剛度，進(jìn)而建立齒輪副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型。Tian[4]在2004年基于齒輪剪切變形能提出觀點(diǎn)，齒輪副時(shí)變嚙合剛度還包括剪切剛度分量。Sainsot和Velex[5]研究了直齒輪傳動(dòng)過(guò)程中因齒輪基體形變而產(chǎn)生的基體剛度，進(jìn)一步完善了齒輪副嚙合傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度理論。在對(duì)齒輪副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算時(shí)，此5種剛度分量被大量學(xué)者驗(yàn)證和應(yīng)用。

齒輪副在潤(rùn)滑失效工況下運(yùn)行時(shí)，輪齒表面會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的摩擦，加速齒輪副的疲勞磨損，也降低齒輪副的使用壽命。并且齒面摩擦力與嚙合線相垂直，激發(fā)齒輪副的垂直于嚙合方向的振動(dòng)，對(duì)齒輪副的嚙合剛度和振動(dòng)特征有著重要的影響。Saxena等[6]將庫(kù)倫摩擦模型應(yīng)用到齒輪副齒面摩擦的計(jì)算中，將齒輪簡(jiǎn)化為基圓加懸臂梁模型，研究了定摩擦因數(shù)對(duì)齒輪副時(shí)變嚙合剛度的影響。在此模型基礎(chǔ)上，楊勇等[7]建立了基于時(shí)變摩擦因數(shù)的嚙合剛度計(jì)算模型，分析了可變摩擦因數(shù)下齒輪時(shí)變嚙合剛度變化規(guī)律；王明凱等[8]研究了不同工況條件對(duì)直齒輪副彈流潤(rùn)滑特性的影響，分析了不同齒輪副運(yùn)轉(zhuǎn)工況下齒面時(shí)變摩擦因數(shù)。

目前國(guó)內(nèi)針對(duì)齒輪副故障時(shí)變嚙合剛度研究中，大多數(shù)是主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的故障，而忽略了傳動(dòng)軸的安裝誤差，所以本文對(duì)直齒輪副傳動(dòng)軸安裝的平行度誤差進(jìn)行研究，討論在非標(biāo)準(zhǔn)安裝下齒輪副的時(shí)變嚙合剛度。同時(shí)考慮齒面摩擦，研究傳動(dòng)軸平行度誤差和齒面摩擦對(duì)齒輪副時(shí)變嚙合剛度的耦合作用，為研究齒輪副動(dòng)力學(xué)提供參考。

1 傳動(dòng)軸的安裝平行度誤差

齒輪副在不對(duì)中時(shí)受力如圖1所示。當(dāng)傳動(dòng)軸出現(xiàn)平行度誤差后，將直接影響主動(dòng)輪和從動(dòng)輪之間的受力，改變齒輪嚙合傳動(dòng)過(guò)程中彎曲剛度、剪切剛度和徑向壓縮剛度。下面利用勢(shì)能法對(duì)齒輪副嚙合剛度進(jìn)行建模[3]。齒輪副出現(xiàn)平行度誤差時(shí)各分力的表達(dá)式如表1所示。

表1 輪齒間傳力

圖1 齒輪副輪齒受力分析

當(dāng)齒輪軸存在平行度誤差時(shí)，假設(shè)兩軸夾角為θ，嚙合輪齒間載荷分布不均，呈現(xiàn)拋物線分布，如圖2所示。由于輪齒兩側(cè)受力不均，以致輪齒發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)生齒輪副扭轉(zhuǎn)剛度。于是，將拋物線分布載荷采用等效作用力矩代替，以勢(shì)能法計(jì)算齒輪副扭轉(zhuǎn)剛度。

圖2 齒間分布載荷

扭轉(zhuǎn)變形能Uτ的計(jì)算公式為

化簡(jiǎn)后，可得齒輪副扭轉(zhuǎn)剛度kτ的計(jì)算公式為

赫茲接觸剛度和基體形變產(chǎn)生的剛度可參考文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[6]。因?yàn)檩嘄X發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)剛度，所以此時(shí)齒輪副的時(shí)變嚙合剛度可由下式計(jì)算：

單齒嚙合時(shí)，

利用以上所建立的數(shù)學(xué)模型，選定表2為齒輪副主要參數(shù)，選取不同的平行度誤差θ，進(jìn)行計(jì)算，得到齒輪副嚙合傳動(dòng)過(guò)程中輪齒扭轉(zhuǎn)剛度和齒輪副時(shí)變嚙合剛度如圖3和圖4所示。

表2 齒輪副主要參數(shù)

圖3 齒輪副扭轉(zhuǎn)剛度

由圖3和圖4可以看出，當(dāng)齒輪副傳動(dòng)軸出現(xiàn)平行度誤差時(shí)，由于輪齒的齒間受力不均，導(dǎo)致輪齒發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，從而產(chǎn)生輪齒的扭轉(zhuǎn)剛度，而且扭轉(zhuǎn)剛度隨齒輪軸平行度誤差增加而減小。同時(shí)齒輪副時(shí)變嚙合剛度受齒輪軸安裝誤差影響較大，當(dāng)齒輪軸出現(xiàn)平行度誤差時(shí)，時(shí)變嚙合剛度減小，而且隨著誤差角θ增大，時(shí)變嚙合剛度減小幅度增大。在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)盡量減小齒輪軸的安裝誤差，保證齒輪副的正常運(yùn)行，延長(zhǎng)實(shí)用壽命。

圖4 齒輪副時(shí)變嚙合剛度

2 齒輪軸不對(duì)中與摩擦學(xué)耦合

圖5給出從動(dòng)輪一個(gè)輪齒的嚙入和嚙出階段摩擦力方向示意圖，可根據(jù)勢(shì)能法建立齒輪軸安裝誤差和摩擦學(xué)的耦合模型。表3給出了考慮齒間摩擦力后的輪齒受力。

圖5 從輪齒嚙入階段和嚙出階段

表3 考慮齒面摩擦后輪齒受力

因?yàn)榭紤]了齒間摩擦力，其嚙入階段和嚙出階段的彎曲剛度、剪切剛度、徑向壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度數(shù)學(xué)模型如下?；?jiǎn)得到彎曲剛度kb的計(jì)算公式為：

式中：v0為潤(rùn)滑油動(dòng)力黏度；S為齒面粗糙度；PhK為最大赫茲接觸應(yīng)力；Vek為卷吸速度；SRk為齒輪滾滑比；Rk為綜合曲率半徑；bi（i=1…9）為回歸系數(shù)。各參數(shù)具體計(jì)算可參考文獻(xiàn)[10]。

根據(jù)此模型計(jì)算直齒輪副傳動(dòng)過(guò)程中齒面時(shí)變摩擦因數(shù)，齒輪及潤(rùn)滑特性如表4所示，回歸系數(shù)如表5所示，可得到一個(gè)輪齒嚙合過(guò)程中時(shí)變摩擦因數(shù)，如圖6所示。

表4 齒輪及潤(rùn)滑特性

表5 回歸系數(shù)bi

如圖6 所示，齒面時(shí)變摩擦因數(shù)隨嚙合參數(shù)變化，并且在節(jié)點(diǎn)位置處，兩嚙合輪齒純滾動(dòng)，摩擦力為零，當(dāng)嚙合點(diǎn)遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)時(shí)，摩擦因數(shù)增大，而且在整個(gè)輪齒嚙合過(guò)程中，摩擦力不發(fā)生突變。

圖6 時(shí)變摩擦因數(shù)

將彈流潤(rùn)滑理論下齒面時(shí)變摩擦因數(shù)代入齒輪副傳動(dòng)軸安裝誤差和齒面摩擦學(xué)的耦合模型，可得到基于時(shí)變摩擦因數(shù)下齒輪副時(shí)變嚙合剛度，如圖7所示。

圖7 安裝誤差和摩擦耦合作用齒輪副嚙合剛度

由圖7可以看出，當(dāng)采用齒面時(shí)變摩擦因數(shù)時(shí)，因時(shí)變摩擦因數(shù)隨嚙合狀態(tài)連續(xù)變化，齒輪副在單嚙合區(qū)間嚙合剛度也呈連續(xù)變化的趨勢(shì)。并且在雙齒嚙合區(qū)間內(nèi)，齒輪副的嚙合剛度減小。在單齒嚙合區(qū)間的嚙入階段，嚙合剛度增大，在嚙出階段，嚙合剛度減小。在齒輪副的節(jié)圓位置處，嚙合剛度幾乎不發(fā)生變化。

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)齒輪副中傳動(dòng)軸出現(xiàn)安裝平行度誤差時(shí)齒輪副時(shí)變嚙合剛度變化規(guī)律問(wèn)題，本文建立齒輪軸安裝平行度誤差模型，發(fā)現(xiàn)輪齒會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形并產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)剛度，并根據(jù)勢(shì)能法推導(dǎo)出現(xiàn)故障后的齒輪副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算解析式，進(jìn)行仿真計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)齒輪軸出現(xiàn)安裝誤差時(shí)，齒輪副時(shí)變嚙合剛度減小，且減小的幅度隨安裝平行度誤差的增大而增大。

根據(jù)彈流潤(rùn)滑理論得到隨齒輪副嚙合狀態(tài)連續(xù)變化的摩擦因數(shù)，當(dāng)采用時(shí)變摩擦因數(shù)計(jì)算時(shí)，在單齒嚙合區(qū)間的嚙入階段，嚙合剛度增大，在嚙出階段，嚙合剛度減小。在齒輪副的節(jié)圓位置處，嚙合剛度幾乎不發(fā)生變化。